2024-2025学年安徽省六安市高二上册12月联考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年安徽省六安市高二上学期12月联考数学检测试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．“且”是“方程表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件3．若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（

）A． B．C． D．4．六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（

）A． B． C． D．5．已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．6．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围为（

）A． B．C． D．7．焦点为的抛物线上有一点（不与原点重合），它在准线上的投影为，设直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．8．若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点与右支上一点，作直线交“伴随圆”于，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．给出下列命题，其中真命题为（

）A．过点与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有3条B．已知点，，则满足到点距离为2，到点距离为3的直线有且仅有3条C．过点与抛物线仅有1个公共点的直线有3条D．过双曲线的右焦点被截得线段长为5的直线有且仅有3条10．已知正方体的棱长为2，动点满足，，下列说法正确的是（

）A．当，，时，的最小值为B．当，，时，三棱锥的体积为3C．当，，时，经过，，三点截正方体所得截面面积的取值范围是D．当，且时，则的轨迹总长度为11．过抛物线上一点作斜率分别为，的两条直线，与分别交于两点（异于点），则（

）A．过点与相切的直线方程为B．若点，关于轴对称，则为定值C．若，则直线经过定点D．分别以，，为切点作抛物线的三条切线，，，若，两点的横坐标相等，则三、填空题（本大题共3小题）12．抛物线的焦点坐标是.13．蓄有水的圆柱体茶杯，适当倾斜能得到椭圆形水面，当椭圆形水面与圆柱底面所成的二面角为30°时，则水面椭圆的离心率为.14．如图，在正方体中，，分别为棱和上的点，则与所成角的余弦值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.过定点的动直线与圆交于，两点，为坐标原点.(1)求圆的标准方程；(2)求的最大值.16．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率，左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，与轴交于点，且，(1)求双曲线的方程；(2)过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于点，求的最小值.17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，是边长为6的正三角形，，分别是线段和上的点，.(1)试确定点的位置，使得平面，并证明；(2)若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值.18．如图，已知椭圆与椭圆有相同的离心率，在上，过点的两条不重合的直线，与椭圆相交于，两点，与椭圆相交于，和，四点.(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：；(3)设直线，的倾斜角互补，求证.19．设和是空间中的两个不同点，则，，三点共线的充要条件是存在实数，使得，并且每个实数唯一对应直线上的点.仿照上面定义，设，，是共线的三个不同点，定义点关于，的分比为.(1)设，为空间中任意取定的一点，求证：；(2)若，，，是共线的四个不同点，满足，求的值；(3)如图，设，和分别是的边，和上的点，若三条直线，和交于一点，求证.

答案1．【正确答案】C【详解】因为，，由题意，得，解得，即.故选：C.2．【正确答案】B【分析】根据充分条件、必要条件的定义和椭圆的标椎方程，判断可得出结论.【详解】解：充分性：当，方程表示圆，充分性不成立；必要性：若方程表示椭圆，则，必有且，必要性成立，因此，“且”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.3．【正确答案】A【详解】因为是直线和的公共点，所以，且，所以两点和都在同一条直线上，故直线的方程是.故选：A.4．【正确答案】D【详解】易知，设中点为，则，所以，故选：D.5．【正确答案】B【详解】由题意直线的方向向量，，则，，，所以点到直线的距离为，故选：B.6．【正确答案】C【详解】由圆的方程知：圆心C0,1，半径，，的几何意义是圆上的点与点2,1连线的斜率，设过点2,1的圆的切线方程为：，即，圆心C0,1到切线的距离，解得：，，.故选：C.7．【正确答案】B【详解】方法一：F1,0，故，，过点作于A点，过点作于B点，设与轴交于点，如图,由抛物线定义可知，由∽得，，又，故，令，则，故，所以，故，即为的中点，由∽得，又，得，则，将代入中，，由图可知，取正值，则点，由∽得，，又，故，则，将代入中，，由图可知，取负值，即，由对称性可知，所以，中，令，解得，故，故⊥轴，于是所求三角形的面积；方法二：F1,0，故，，过点作于A点，过点作于B点，设与轴交于点，如图,由抛物线定义可知，由∽得，，又，故，令，则，故，所以，故，即为的中点，由∽得，又，得，则，将代入中，，由图可知，取正值，则点，由∽得，，又，故，则，将代入中，，由图可知，取负值，即，由对称性可知，所以，中，令，解得，故，则，又，故.故选：B.8．【正确答案】C【详解】设双曲线的右焦点为，连接，过作于，则，因为，，所以，因为，所以，即为线段的中点，因为为的中点，所以，所以，，设，则，，，所以，在中，由勾股定理可得，即，解得，所以，，在中，由勾股定理得，即，解得，所以.故选：C.9．【正确答案】BCD【详解】对于A：设过点与坐标轴相交的直线方程为：，则，即，又，即当时可得：，解得：或当时可得：，即，此时，方程也有两组解，故共有4组解，即过点与坐标轴围成三角形的面积为16的直线有且仅有4条，A错误对于B：因为，以为圆心，分别以2，3为半径作圆，则圆与圆相外切，它们的3条公切线即为满足条件的直线，所以B正确；对于C：因为，当时，，所以在抛物线的外部，显然过与抛物线相切的直线有两条，过与轴平行时，与抛物线也只有一个交点，故共有3条直线，所以C正确，对于D：设双曲线的右焦点为，过的直线与双曲线右支相交于，当直线斜率不存在时，直线的方程为则，当直线斜率存在时，设直线的方程为联立，消去，得，，由，解得或，所以，所以当直线与轴垂直时，的长最小，即最小值为，过双曲线的右焦点作垂直实轴的直线，被双曲线右支截得的弦（通径）长为，又双曲线的实轴长，所以结合对称性可知，被双曲线左右两支截得的线段长为5的直线有2条，共有3条，所以D正确；故选：BCD10．【正确答案】AD【详解】对于A，因为，，，即，故点在上，将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图：连接交于，此时，，三点共线，取到最小值即，即，A正确；对于B，由于，时，则为的中点，以为空间直角坐标原点，以，，分别为，，轴建系，如图

则，所以，所以，是平面的一个法向量，，则点到平面的距离为，所以，B错误；对于C，当时，点与点重合，此时经过三点截正方体所得截面是矩形，其面积；当时，点与点重合，经过三点截正方体所得截面是三角形，其面积，当时，设经过三点截正方体所得截面是梯形，梯形的面积随的增大而减小，故截面面积的取值范围是，C错误；对于D，当时，可得四点共面，所以点的轨迹在内（包括边界），由选项B知，，是平面的一个法向量，设点在平面的内的投影为，因为，所以为的中心，所以点到平面的距离为，若，则，即点落在以为圆心，为半径的圆上（如上右图），点到三边的距离为，此时，点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，其轨迹长度为，即D正确；故选：AD.11．【正确答案】ABD【详解】因为点在抛物线上，所以，所以，所以抛物线的方程为.对于A，设过点的切线方程为，联立，得，所以，所以，所以切线方程为，故A正确；对于B，由题意设，，则，又因为，于是为定值，故B正确；对于C，设，，由题意可知，直线斜率存在且不为0，故可设直线的方程为，联立，得，所以，，，所以，，所以，所以，所以直线的方程为，所以直线恒过定点，故C错误；对于D，设，，以为切点的切线方程为，则，令，得，所以切线方程为，同理可得以为切点的切线方程为：，以为切点的切线方程为，联立与的方程可得，即点的横坐标为，由题意，则切线的斜率，又直线的斜率，即，所以，故D正确.故选：ABD.12．【正确答案】【详解】由题意知化简为，所以焦点坐标为.故13．【正确答案】/0.5【详解】设圆柱形杯子的底面半径为，画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长，等于椭圆的短半轴长，则，又，则.故答案为.14．【正确答案】【详解】以为空间直角坐标原点，分别以为，，轴建系如图，设，，设，则，①当或时，；②当且时，令，（当且仅当取等号），令，函数在为增函数，故.故，所以.综上.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）中点坐标为，，故中垂线为，即，与联立，解得圆心点坐标为，圆的半径，故圆（2）法一：设中点坐标为，，故点在为直径的圆上，设中点，，，则，所以，以为直径的圆的方程：，故，当且仅当三点共线时取等号，故.法二：①当直线的斜率不存在时，中点坐标，；②当直线的斜率存在时，设直线：代入整理得：，设，则，，，，因为求的最大值，可令，代入上式可得：，当且仅当，即时取等号.易求，故.16．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由题意结合双曲线的对称性可知，得，即轴，把代入方程，可得，又，即，又，解得，，双曲线的方程为.（2）设直线的方程为：，联立方程，化简得，设，则，，结合直线的方程得，即中点坐标为.于是，（倾斜角，或）当或时，，直线方程为：，令得，此时，于是，令，则，由知，当时，，故的最小值为.17．【正确答案】(1)F为三等分点，且；证明见解析(2)【详解】（1）取为三等分点，且，过作，则，所以为平行四边形，所以，又，，所以平面.（2）由题意平面底面，平面底面，，平面，所以，所以直线与平面所成角的平面角为，在中，由，得.设中点为，设中点为，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为m=x,y,z由，取，可得，易求平面法向量，设平面与平面夹角为，则，故平面与平面夹角的余弦值为.18．【正确答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【详解】（1）椭圆的离心率，令椭圆的半焦距为c，则，椭圆，又点在上，于是，解得，所以椭圆的标准方程.（2）若斜率不存在或为0，由对称性知：；若斜率存在且不为0，设中点为，，则，，两式相减得，，直线的斜率分别为，于是，设中点为，直线的斜率为，同理，则，而点与都在直线，则有点与重合，即，所以.（3）由（2）知，，同理，依题意，直线斜率存在，设直线，由消去得，设，则，，，由直线的倾斜角