湖南省浏阳市2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试卷 含解析

高考资源网(）您身边的高考专家（AI教学）订购热线：188110597022024年下学期期末质量监测试卷高一数学（时量：120分钟总分：150分考试形式：闭卷）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先解不等式，然后根据交集的定义计算即可.【详解】由，解得，则，又，所以.故选：C.2.若，，则与的关系是（

）A. B. C. D.与的值有关【答案】A【解析】【分析】利用作差法比较数的大小即可.【详解】因为，所以.故选：A.3.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（）A.或 B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程根的关系求得，再代入不等式，化简求解即可.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以是方程的两个根，且，由韦达定理得，所以，所以不等式，又，则，即，解得，所以不等式的解集是.故选：B.4.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（）A.3 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，根据，得到，.【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则，所以，得，又，所以.

故选：A5.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将所求角用已知角表示，然后利用诱导公式化简即可求值.【详解】.故选：B.6.已知a，b为正实数且，则的最小值为（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】将代入，利用基本不等式可求最小值.【详解】由题意，，又a，b为正实数，所以由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.7.莱洛三角形以机械学家莱洛的名字命名，这种三角形应用非常广泛，不仅用于建筑和商品的外包装设计，还用于工业生产中．莱洛三角形的画法是：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，边长长为半径画圆弧得到的三角形．如图，若莱洛三角形的面积是，则弓形的周长为（）A. B. C.6 D.【答案】A【解析】【分析】设，利用莱洛三角形的面积求出R的值，即可求得答案.【详解】设，则以点分别为圆心，圆弧所对的每个扇形面积均为，等边的面积，所以莱洛三角形的面积是，则．，弓形的周长为．故选：A8.函数的部分图象如图所示，若，且，则（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】利用图象求出函数的解析式，利用正弦型函数的对称性可求出的值，代值计算可得出的值.【详解】由图可知，函数的最小正周期为，则，所以，因为，且函数在附近单调递减，所以，解得，又因为，所以，则，因为，可得，所以，因为，则，，因为，则，所以，故.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，不正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AB【解析】【分析】利用不等式的性质，推理判断ACD；举例说明判断B.【详解】对于A，由，得，A错误；对于B，取，满足，而，B错误；对于C，由，得，则，因此，C正确；对于D，由，得，而，则，D正确.故选：AB10.下列命题是真命题的有（）A.函数的值域为B.定义域为C.函数的零点所在的区间是D.对于命题，使得，则，均有【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数的值域、函数的定义域、零点存在性定理、存在量词命题的否定等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，，令，则的开口向下，对称轴为，所以当时，取得最大值为；当时，取得最小值为，所以的值域为，A选项正确.B选项，对于函数，由得，解得，所以的定义域为，B选项错误.C选项，在上单调递增，，所以函数的零点所在的区间是，C选项正确.D选项，命题，使得，其否定是，均有，D选项错误.故选：AC11.把函数图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则（）A.的最小正周期为B.关于点对称C.在是上单调递增D.若在区间上存在最大值，则实数的取值范围为【答案】ACD【解析】【分析】首先化简函数，再结合函数的性质求，并结合函数的性质，判断选项.【详解】因为，所以把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，因为关于轴对称，所以又因为，所以，对A，所以，故A正确；对B，，所以的图象关于点对称，故B错误；对C，由，当时，的单调递增区间为，，所以在上单调递增，故C正确；对D，若函数在上存在最大值，由选项C可知，在上单调递增，且，即在时取得最大值，所以，即实数的取值范围为，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则_____.【答案】##0.8【解析】【分析】根据同角三角函数关系及诱导公式计算即可.【详解】因为，，所以则.故答案为：.13.已知幂函数是上的奇函数，则实数的值为_____.【答案】3【解析】【分析】根据幂函数的定义得，解得的值，再利用常见幂函数的奇偶性逐个判断即可.【详解】由是幂函数，得，解得或，当时，函数是偶函数，不符合题意；当时，函数是奇函数，符合题意；因此，.故答案为：.14.已知函数，且，则不等式的解集为_____.【答案】【解析】【分析】由求出，根据二次函数与指数型函数的图象和性质可知在R上单调递增，结合函数的单调性解不等式即可.【详解】由题意知，，解得.当时，单调递增，当时，单调递增，且当时，，所以在R上单调递增，由，得，即，解得，即原不等式的解集为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）代入算出，根据并集概念计算即可；（2）根据交集概念，结合空集条件，由此列不等式来求得取值范围.（3）根据充分不必要条件转化为集合与集合的关系，由此列不等式来求得取值范围.【小问1详解】当时，由得，，【小问2详解】，.又.实数的取值范围.【小问3详解】“”是“”充分不必要条件，即是的真子集，，..实数的取值范围是.16.已知函数的最大值为1，（1）求常数的值；（2）求函数的单调递减区间；（3）求使成立的的取值集合.【答案】（1）（2），（3）【解析】【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值；（2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可；（3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式.【小问1详解】，因为的最大值为1，且函数的最大值为1，所以，解得.【小问2详解】由（1）可知.由，解得，，所以函数的单调递减区间为，；【小问3详解】由，得，即.所以，.解得因此，成立的的取值范围是.17.某地区上年度电价为0.8元，年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为0.4元．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比，且比例系数为（注：若与成反比，且比例系数为，则其关系表示为）．该地区的电力成本价为0.3元．（1）下调后的实际电价为（单位：元），写出新增用电量关于的函数解析式；（2）写出本年度电价下调后电力部门的收益（单位：元）关于实际电价（单位：元）的函数解析式；（注：收益=实际电量（实际电价－成本价））（3）设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长?【答案】（1），（2）（3）0.6元【解析】【分析】（1）由已知，列出函数关系即可得出结果；（2）由（1）得到本年度实际用电量，再乘以即可；（3）根据上年度电力部门实际收益以及本年度电力部门预收益，然后由求解即可.【小问1详解】因为下调电价后新增用电量和实际电价元，与用户的期望电价0.4元的差成反比，且比例系数为，所以，依题意知用电量关于的函数表达式为，【小问2详解】依题意知用电量增至，所以，电力部门的收益为；【小问3详解】依题意有，整理得，解此不等式组得．答：当电价最低定为0.6元仍可保证电力部门的收益比上年至少增长．18.已知函数是定义在上奇函数，且.（1）求和的值；（2）判断在上的单调性，并用定义证明；（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1），（2）单调递增，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由是定义在R上的奇函数，可得，再结合已知条件列方程组即可求解；（2）由（1）知，可求得函数的解析式，设任意，且，再根据函数单调性的定义证明即可；（3）结合单调性可得在上的值域，再得出二次函数在上的值域，结合已知可得，列不等式组即可求解.【小问1详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以满足，又，可得，解得，可得，，是奇函数，满足题意，所以，.【小问2详解】，在上单调递增，证明如下：设任意，且，则，由，可得，又，，，则，则，则在上单调递增；【小问3详解】对任意的，由在上单调递增，可得，即，则在上的值域为，的对称轴为，当时，在上为增函数，值域为，由题意可得，则，解得，综上，实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题第二问解题按照单调性的定义经历“设元”、“作差”、“变形”、“定号”等过程即可完成；第三问的关键是函数的值域为函数的值域的子集，并由集合的包含关系建立关于参数的不等式，即可求解.19.若函数满足：对于任意正数m，n，都有，，且，则称函数为“速增函数”.（1）试判断函数与是否是“速增函数”；（2）若函数为“速增函数”，求的取值范围；（3）若函数为“速增函数”，且，求证：对任意，都有.【答案】（1）是，不是（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义进行判断即可，利用特殊值，举出反例；（2）根据定义可知，即对一切正数恒成立，可得，由，可得得出，最后求出的范围；（3）根据定义，令，可知，即，故对于正整数与正数，都有，进而得出结论．【小问1详解】对于函数，当，时，，又，所以，故是“速增函数”.对于函数，当时，，故不是“速增函数”.【小问2详解】当，时，由是“速增函数”，可知，即对一切正数恒成立，又，可得对一切正数恒成立，所以.由，可得，即，故，又，故，由对一切正数，恒成立，可得，即．综上可知，的取值范围是．【小问3详解】由函数为“速增函数”，可知对于任意正数，，