定 积分的应用

定积分的应用一、定积分的元素法

定积分的所有应用问题，一般可按“分割、近似、求和、取极限”这四个步骤把所求量表示为定积分的形式.为更好地说明这种方法，先来回顾本章第一节中讨论过的求曲边梯形面积的问题.假设一曲边梯形由连续曲线y=f(x)（f(x)≥0），x轴与两条直线x=a，x=b所围成，试求其面积A.

（1）分割用任意一组分点把区间［a,b］分成长度为Δxi(i=1,2,…,n）的n个小区间，相应地把曲边梯形分成n个小曲边梯形，记第i个小曲边梯形的面积为ΔAi.

（2）近似第i个小曲边梯形面积的近似值ΔAi≈f(ξi)Δxi(xi－1≤ξi≤xi).(3）求和所求曲边梯形面积A的近似值（4）取极限所求曲边梯形面积A的精确值其中λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}.一、定积分的元素法

由上述过程可见，把区间［a,b］分割成n个小区间时，所求面积A（总量）也被相应地分成n个小曲边梯形（部分量），而所求总量等于各部分量之和(即A=∑ni=1ΔAi)，这一性质称为所求总量对于区间［a,b］具有可加性.此外，以f(ξi)Δxi近似代替部分量ΔAi时，其误差是一个比Δxi更高阶的无穷小.这两点保证了求和、取极限后能得到所求总量的精确值.对上述过程，在实际应用中可略去下标i，改写如下：一、定积分的元素法

（1）分割把区间［a,b］分割为n个小区间，任取其中一个小区间［x,x+dx］（区间元素），用ΔA表示［x,x+dx］上小曲边梯形的面积，于是，所求面积A=∑ΔA.一、定积分的元素法（2）近似取［x,x+dx］的左端点x为ξ.以点x处的函数值f(x)为高、dx为底的小矩形的面积f(x)dx(面积元素，记为dA）作为ΔA的近似值(见图5-10)，即ΔA≈dA=f(x)dx.图5-10一、定积分的元素法（3）求和所求曲边梯形面积A的近似值A≈∑dA=∑f(x)dx.（4）取极限所求曲边梯形面积A的精确值由上述分析，可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U（总量)表示为定积分的方法——元素法，这个方法的主要步骤如下：一、定积分的元素法（1）根据具体问题，选取一个积分变量，如x为积分变量，并确定它的变化区间［a,b］，任取［a,b］的一个区间元素［x,x+dx］，求出相应于这个区间元素上的部分量ΔU的近似值，即求出所求总量U的元素dU=f(x)dx.（2）根据dU=f(x)dx写出表示总量U的定积分一、定积分的元素法

应用元素法解决实际问题时，用定积分所表示的量U有三个共同特征：(1)所求总量U的大小取决于某个变量x的一个变化区间［a,b］，以及定义在该区间上的函数f(x).(2)所求总量U关于区间［a,b］应具有可加性，即区间［a,b］上的总量U等于各子区间上的部分量之和.（3）部分量ΔU可以求近似值，且有f(x)dx=dU≈ΔU.一、定积分的元素法在通常情况下，要检验ΔU－f(x)dx是否为dx的高阶无穷小并非易事，因此，在实际应用中要注意dU=f(x)dx的合理性.元素法的应用十分广泛，以下几节将介绍元素法在几何、物理以及经济中的应用.一、定积分的元素法二、定积分在几何中的应用求平面图形的面积1.1）直角坐标系下平面图形的面积

由定积分的几何意义知，连续曲线y=f(x)(f(x)≥0)及直线x=a,x=b(a<b)与x轴所围成的曲边梯形的面积A是定积分其中被积表达式f(x)dx就是直角坐标系下的面积元素，它表示高为fx、底为dx的一个矩形面积.应用定积分，不但可以计算曲边梯形的面积，还可以计算一些比较复杂的平面图形的面积.（1）设平面图形是由连续曲线y=fx,y=gx及直线x=a,x=b(a<b)围成，且在［a,b］上fx≥gx(见图5-11).图5-11二、定积分在几何中的应用

利用定积分的元素法，选x为积分变量,其变化区间为[a,b].在区间[a,b]上任取一小区间[x,x+dx]，则该区间上的面积元素dA近似等于高为f(x)－g(x)、底为dx的小矩形的面积,即dA=[f(x)－g(x)]dx,以面积元素为被积表达式，在a,b上积分，得所求平面图形的面积二、定积分在几何中的应用（2）平面图形由连续曲线x=φ(y),x=ψ(y)及直线y=c,y=d(c<d)围成，且在［c,d］上φ(y)≥ψ(y)(见图5-12).图5-12二、定积分在几何中的应用

利用定积分的元素法，选y为积分变量,其变化区间为[c,d].在区间[c,d]上任取一小区间[y,y+dy],则该区间上的面积元素dA近似等于以φ(y)－ψ(y)为底、dy为高的小矩形的面积,即dA=[φ(y)－ψ(y)]dy,以面积元素为被积表达式，在区间c,d上积分,得所求平面图形的面积二、定积分在几何中的应用

如图5-13所示，选x为积分变量,其变化区间为[0,1].在[0,1]上任取一小区间[x,x+dx]，其对应的面积元素dA=(ex－e－x)dx,于是【例1】图5-13二、定积分在几何中的应用

求由两抛物线x=5y2,x=1+y2所围成平面图形的面积A.【例2】二、定积分在几何中的应用其中A1为两抛物线在第一象限部分与x轴所围成的图形的面积，如图5-14所示.取y为积分变量，则面积元素为dA1=[(1+y2）－5y2]dy=(1－4y2)dy，所以图5-14二、定积分在几何中的应用

图5-15二、定积分在几何中的应用

由例2可以看出，求平面图形的面积时，选择恰当的积分变量可使计算方便.通过两种方法比较，体会选择积分变量的重要性.二、定积分在几何中的应用

解椭圆关于两坐标轴都对称,所以椭圆所围成的面积为A=4A1,

其中A1为该椭圆在第一象限部分与两坐标轴所围图形的面积,因此【例3】二、定积分在几何中的应用

二、定积分在几何中的应用设曲线的方程由极坐标形式给出r=r(θ)(α≤θ≤β).现在用元素法求由曲线r=r(θ)，射线θ=α和θ=β所围成的曲边扇形（见图5-17）的面积A.2）极坐标系下平面图形的面积图5-17二、定积分在几何中的应用

选取极角θ为积分变量，其变化范围为［α,β］.任取其一个区间元素［θ,θ+dθ］，则相应于［θ,θ+dθ］区间的小曲边扇形的面积可以用半径为r=r(θ)、中心角为dθ的圆扇形的面积来近似代替，从而曲边扇形的面积元素所求曲边扇形的面积.（5-13）二、定积分在几何中的应用

求三叶玫瑰线r=asin3θ围成的全面积A（见图5-18）.解令sin3θ=0,则θ=0；令sin3θ=1,则3θ=π/2,因此θ=π/6.应用公式（5-13）,则【例4】图5-18二、定积分在几何中的应用

求由曲线r(1+cosθ)=3和直线rcosθ=1所围成图形的面积A，如图5-19所示.【例5】图5-19二、定积分在几何中的应用解法1

这里也可把它化为在直角坐标系下的曲线进行计算.二、定积分在几何中的应用解法2

二、定积分在几何中的应用求立体图形的体积2.1）旋转体体积

由一个平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体.这条直线称为旋转轴.例如，圆柱可视为由矩形绕它的一条边旋转一周而成的立体，圆锥可视为直角三角形绕它的一条直角边旋转一周而成的立体，而球体可视为半圆绕它的直径旋转一周而成的立体.这里主要考虑以x轴和y轴为旋转轴的旋转体，下面利用元素法来推导求旋转体体积的公式.二、定积分在几何中的应用设旋转体是由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的（见图5-20）.下面求旋转体的体积V.图5-20二、定积分在几何中的应用取x为自变量，其变化区间为［a,b］.设想用垂直于x轴的平面将旋转体分成n个小薄片，即把［a,b］分成n个区间元素，其中任一区间元素［x,x+dx］所对应的小薄片的体积可近似视为以f(x)为底半径、dx为高的扁圆柱体的体积，即该旋转体的体积元素dV=π［f(x)］2dx，从而，所求旋转体的体积二、定积分在几何中的应用

求由直线y=(r/h)x，x=h及x轴围成的直角三角形绕x轴旋转一周构成的一个底半径为r、高为h的圆锥体的体积（见图5-21）.【例6】图5-21二、定积分在几何中的应用

解取x为积分变量，其变化区间为［0,h］.圆锥体中相应于［0,h］上任一小区间x,x+dx的薄片的体积近似等于底半径为rhx、高为dx的扁圆柱体的体积，即体积元素

于是所求圆锥体的体积二、定积分在几何中的应用用与上面类似的方法可以推出：由连续曲线x=φy,直线y=c,y=d(c<d)及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体(见图5-22)的体积为图5-22二、定积分在几何中的应用

求高为h的球缺的体积,其中球的半径为R（见图5-23）解此球缺可以看成由(R－h≤y≤R)的一段圆弧绕y轴旋转一周所形成的,因而【例7】图5-23二、定积分在几何中的应用2）平行截面面积为已知的立体的体积

设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为x轴，则在x处的截面面积A(x)是x的已知连续函数，求该物体介于x=a和x=b(a<b)之间的体积（见图5-24）.图5-24二、定积分在几何中的应用取x为积分变量，它的变化区间为［a,b］，在微小区间［x,x+dx］上A(x)近似不变，即把［x,x+dx］上的立体薄片近似看成A(x)为底、dx为高的扁圆柱体，从而得到体积元素dV=A(x)dx,于是该物体的体积为二、定积分在几何中的应用

求两个柱面x2+y2=a2及x2+z2=a2(a>0)所围成立体Σ的体积V.【例8】二、定积分在几何中的应用

如图5-25所示，画出了立体Σ在第一卦限中的部分.由对称性,它的体积是立体Σ的18,故由体积计算公式有图5-25二、定积分在几何中的应用【例9】二、定积分在几何中的应用求平面曲线的弧长3.1）平面曲线弧长的概念直线的长度是可以直接度量的，而一条曲线段的长度一般不能直接度量.在介绍如何计算平面曲线的弧长之前，首先要建立平面曲线弧长的概念.由初等几何知，求圆周长的方法是：利用圆内接正多边形的周长作为圆周长的近似值，令多边形的边数无限增多而取极限，就可定出圆周的周长.这里也可以类似地来定义平面曲线弧长的概念.二、定积分在几何中的应用定义设A，B是曲线弧L上的两个端点，在L上插入分点A=M0,M1,…,Mi,…,Mn－1,Mn=B,并依次连结相邻分点得一内接折线(见图5-26).设曲线弧L的弧长为s，则图5-26二、定积分在几何中的应用定理

光滑曲线弧是可求长的.二、定积分在几何中的应用2）平面曲线弧长的计算由于光滑曲线弧是可求长的，故可应用定积分来计算弧长.下面利用定积分的元素法来讨论弧长的计算公式.（1）直角坐标情形.设函数y=f(x)在区间［a,b］上有一阶连续导数，即曲线y=f(x)为［a,b］上的光滑曲线，求此光滑曲线的弧长s.二、定积分在几何中的应用如图5-27所示，取x为积分变量，它的变化区间为［a,b］，任取其上一区间元素［x,x+dx］，相应于该元素上的一小段弧的长度近似等于该曲线在点(x,f(x))处的切线上相应的一小段的长度，而切线上相应小段的长度为（5-14）图5-27二、定积分在几何中的应用【例10】图5-28二、定积分在几何中的应用

二、定积分在几何中的应用【例11】图5-29二、定积分在几何中的应用

二、定积分在几何中的应用【例11】二、定积分在几何中的应用三、定积分在物理中的应用求变力沿直线所做的功1.

由初等物理知识知，一个与物体位移方向一致而大小为F的常力，将物体移动了距离s时所做的功为W=F·s.如果物体在运动过程中受到变力的作用，则可利用定积分元素法来计算物体受变力沿直线所做的功.一般的，假设F(x)是［a,b］上的连续函数，下面讨论在变力F(x)的作用下，物体从x=a移动到x=b时所做的功W（见图5-31）.图5-31

取x为积分变量，其变化区间为［a,b］.在［a,b］上任取一小区间［x,x+dx］，物体由点x移动到x+dx的过程中受到的变力近似视为物体在点x处受到的常力F(x)，则功元素为dW=F(x)dx，于是，物体受变力F(x)的作用从x=a移动到x=b时所做的功为

在实际应用中，许多问题都可以转化为物体受变力作用沿直线所做的功的情形.下面通过具体例子来说明.三、定积分在物理中的应用

半径为r的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的密度为1,现将球从水中取出,需做多少功?解建立如图5-32所示的坐标系，将半径为r的球取出水面,在整个运动过程中,球所受的力F(x)为F(x)=G－F浮,【例13】图5-32三、定积分在物理中的应用

三、定积分在物理中的应用

设40N的力使弹簧从自然长度0.1m拉长到0.15m,问需要做多大的功才能克服弹性恢复力,将伸长的弹簧从0.15m处再拉长0.03m?解根据胡克定律（在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力与伸长量（或压缩量）成正比），如图5-33建立坐标系，有F(x)=kx.【例14】图5-33三、定积分在物理中的应用又因为40N的力使弹簧从自然长度0.1m拉长到0.15m时，其伸长量为0.05m,因而F(0.05)=40,即0.05k=40,可得k=800,则F(x)=800x,故弹簧从0.15m拉长到0.18m，所做的功为三、定积分在物理中的应用求水压力2.

由物理学知,在距水面深为h处的压强为p=ρgh（其中ρ为水的密度，g为重力加速度）,并且在同一点处的压强在各个方向是相等的.若一面积为A的平板水平地放置在距水面深度为h处,则平板一侧所受到的水压力为P=pA=ρghA.若平板垂直地放在水中,由于深度不同的点处压强不相同，平板一侧所受压力就不可用上述方法计算.但由于整个平板所受的压力对深度具有可加性，因此可以用定积分的元素法来计算.三、定积分在物理中的应用

如图5-34所示，假设平板的形状为一曲边梯形，它是由y=f(x)与直线x=a,x=b及x轴所围成的.将其垂直地放置在密度为ρ的水中,两腰与水面平行,且距水面的高度分别为a与b(a<b),求平板一侧所受水的压力.图5-34三、定积分在物理中的应用选x为积分变量,其变化区间为[a,b].在[a,b]上任取一小区间x,x+dx,若dx很小,该小区间对应的小曲边梯形所受到的压强可以近似地用深度为x处的压强代替,因此所受到的压力元素为dP=ρgxfxdx,在[a,b]上积分,便得整个平板一侧所受到的压力为下面通过具体例子来说明.三、定积分在物理中的应用

将直角边分别为a及2a的直角三角形薄板垂直地浸入水中,斜边朝下,边长为2a的直角边与水面平行,且该边到水面的距离恰等于该边的边长,求薄板一侧所受水的压力(设水的密度为ρ).

解

如图5-35建立坐标系,取x为积分变量，它的变化范围为0,a,在［0,a］上任取一小区间［x,x+dx］,则小矩形片的面积为2(a－x)dx,小矩形片上各处的压强近似为p=ρg(x+2a)，【例15】三、定积分在物理中的应用图5-35三、定积分在物理中的应用因此,压力元素为dP=ρg(x+2a)·2(a－x)dx,故所求薄板一侧所受水的压力为.三、定积分在物理中的应用求引力3.根据初等物理知识，质量分别为m1，m2，相距r的两个质点间的引力的大小为（k为引力系数）引力的方向为两质点的连线方向.如果要计算一根细棒或一平面对一个质点的引力，由于细棒或平面上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，那么此时应如何计算呢？下面通过具体例子来说明该问题的计算方法.三、定积分在物理中的应用

设有一半径为R,中心角为φ(0<φ<π)的圆弧形细棒,其线密度为常数ρ,在圆心处有一质量为m的质点M,试求这细棒对质点M的引力.

解

如图5-36建立坐标系,质点M位于坐标原点,x轴平分该圆弧的圆心角,由于此图形关于x轴对称,而圆弧形细棒又是均匀的,故细棒对质点M的引力在y轴上的分力Fy=0,只计算引力在x轴上的分力Fx即可.【例16】图5-36三、定积分在物理中的应用

三、定积分在物理中的应用四、定积分在经济中的应用由边际函数求总量函数1.已知边际函数F′(x)，可由牛顿-莱布尼茨公式求得经济函数（原函数）产量由a变到b时，经济函数的增量

生产某产品的边际成本函数为C′(x)=3x2-14x+100,固定成本C(0)=1000,求总成本函数.

解

总成本函数【例17】四、定积分在经济中的应用

已知某产品销售量为x时边际收益为R′(x)=100－x.求：（1）销售量为10时的收益.（2）销售量从20增加到30时，收益是多少？【例18】四、定积分在经济中的应用

设生产某种产品的边际成本C′(x)=100+2x,其固定成本为1000元,产品单价规定为500元.假设生产出的产品能完全售出,问产量为多少时利润最大?并求出最大利润.解总成本函数为总收益函数为R(x)=500x，【例19】四、定积分在经济中的应用故总利润函数为L(x)=R(x)－C(x)=400x－x2－1000,从而L′(x)=400－2x.令L′(x)=0得唯一驻点x=200.而利润必存在最大值，所以,产量为200单位时,利润最大,最大利润为L(200)=400×200－2002－1000=39000(元).四、定积分在经济中的应用求消费者剩余与生产者剩余2.

在经济管理中,一般说来,商品价格低,需求就大;反之,商品价格高,需求就小,因此