数列的极限教学课件

数列的极限数列的极限极限的思想是由于求某些实际问题的精确解而产生的.例如，我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用.又如，《庄子·天下篇》中对“截丈问题”有一段名言：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，其中也隐含了深刻的极限思想.

极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学中许多基本概念，如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上.极限方法也是研究函数的一种最基本的方法.本节将首先给出数列及数列极限的定义.

为了研究一般函数的极限,下面先讨论一种特殊函数的极限——数列的极限.

一、数列极限的定义定义1按一定次序排列的无穷多个数x1，x2，…，xn，…称为无穷数列，简称数列，可简记为{xn}.其中的每个数称为数列的项，xn称为数列的通项(或一般项)，n称为xn的下标.

在几何上，数列{xn}可看成数轴上的一个动点，它在数轴上依次取值x1，x2，…，xn，…(见图2-1).

图2-1一、数列极限的定义数列{xn}可看成自变量为正整数n的函数：xn=f(n)，称为整标函数,其定义域是全体正整数.当自变量n依次取1，2，3，…时，对应的函数值就排成数列{xn}(见图2-2).图2-2一、数列极限的定义引入案例在很长一段时间内，人们试图采用各种图形(如矩形、三角形)去近似计算圆的面积.约公元263年我国的数学家刘徽注解《九章算术》时，提出了“割圆术”，用圆的内接(或外切)正多边形穷竭的方法求圆面积.“割圆术”求圆的面积的做法和思路是(见图2-3)：图2-3一、数列极限的定义先作圆的内接正三角形，把它的面积记作A1，再作内接正六边形，其面积记作A2，再作内接正十二边形，其面积记作A3,…,照此下去，把圆的内接正3×2n－1(n=1,2,…)边形的面积记作An，这样得到一个数列

A1,A2,A3,…,An,…从图形上不难看出：随着圆内接正多边形边数的增加，内接正多边形的面积与圆的面积越来越接近.可以想象，当边数n无限增大时，圆的内接正3×2n－1边形的面积An会无限地接近圆的面积A.为刻画数列的这种变化趋势，下面引入数列极限的概念.

一、数列极限的定义定义2若对于数列{xn}，当n无限增大时，数列的通项xn无限接近于常数A，则称A是数列{x

n}的极限，或称数列{xn}收敛于A，记作limn→∞xn=A或xn→A(n→∞).若数列{xn}没有极限，则称数列{xn}发散.

有了数列极限的概念，圆的面积A可以表示为A=limn→∞An，即圆的面积等于圆的内接正3×2n－1边形的面积所构成的数列A1,A2,A3,…,An,…的极限.一、数列极限的定义写出下列数列的前五项，考察其极限.【例1】一、数列极限的定义(3)xn=(－1)n+1,其前五项为：1,－1,1,－1,1，其奇数项为1，偶数项为－1,当n→∞时，数列的通项在1和－1之间来回摆动，这样的数列称为摆动数列，我们不能说该数列的极限为±1,这不符合数列极限的定义，所以该数列发散.如果一个数列有极限，其极限值是唯一的.(4)xn=2n+1,其前五项为：3,5,7,9,11

.当n→∞,2n+1→∞，故该数列发散.

通过上述讨论可知：对于数列{xn}的极限问题，我们所关心的不仅是它的前几项或每一项如何，而更重要的是研究当n→∞时，xn的变化趋势.特别是这样一类数列{xn}：当n无限增大时，数列的通项xn无限趋近于常数A，则称A是数列{xn}的极限.

一、数列极限的定义定义3若对于任意给定的正数ε(不论多么小)，总有正整数N存在，使得当n>N时，不等式

|xn－A|<ε(2-1)

恒成立，则称常数A为数列{xn}当n→∞时的极限，或者说数列{xn}当n→∞时收敛于A，记作limn→∞xn=A或xn→A(n→∞).

一、数列极限的定义数列极限的几何解释：将数列xn和极限A在数轴上的对应点表示出来，给定正数ε后，在数轴上作出点A的ε邻域(A－ε,A+ε)(见图2-4).图2-4一、数列极限的定义

因为不等式|xn－A|<ε与不等式A－ε<xn<A+ε等价，所以当n>N时，所有点xn都落在开区间(A－ε,A+ε)内，而数列xn中只有有限项落在该区间外.或者形象地说，在点A的无限小的ε邻域内，聚集着数列{xn}的无穷多个点，所以点A也叫数列{xn}的聚点.

一、数列极限的定义①掌握极限概念的关键在于对正数ε二重性的理解.一方面，ε必须具有任意性，ε可以代表任意小的正数，只有这样才能保证数列{xn}无限地趋近于A；另一方面，ε必须具有相对固定性，一旦给了ε，那么它是相对固定的，否则论证工作无法进行.②自然数N显然依赖于正数ε，一般地说，所给定的ε越小，N应该越大.有时为了表示这种关系，就写成N(ε)，但N并不是ε的函数.因为从极限定义可以看出，如果当n>N时，式(2-1)成立，那么对任意一个N1>N，当n>N1时，式(2-1)也必然成立，所以说，找到一个N，就能找到许多N满足要求.注一、数列极限的定义【例2】一、数列极限的定义一、数列极限的定义设|q|<1，证明等比数列q,q2,…,qn,…的极限是0.证对于任意给定的正数ε(不妨设ε<1)，为了使|xn－0|<ε成立，即|q|n<ε成立，只要nln

|q|<lnε成立，因|q|<1，所以lnq<0，故有【例3】一、数列极限的定义特别地，当q=1时，数列{qn}成为常数数列{1}，按数列极限定义，显然它的极限是1；同理，当q=－1时，数列{qn}是发散的.

一、数列极限的定义“ε-N”证法的一般步骤是：①ε>0；②令xn－A<ε；③推出n>φ(ε)；④取N=［φ(ε)］.其中关键的一步是由xn－A<ε=n>φ(ε)，找到N=［φ(ε)］，并用定义叙述结论.注二、数列极限的性质定理1(唯一性)若数列{xn}有极限，则其极限是唯一的.

证假设{xn}有两个极限a与b，即二、数列极限的性质二、数列极限的性质【例4】证明数列xn=(－1)n(n=1,2,…)是发散的.二、数列极限的性质定理2(有界性)若数列{xn}收敛，即limn→∞xn=A，则数列{xn}有界.

证因limn→∞xn=A，所以对于给定ε=1，总存在正整数N，当n>N时，恒有

xn－A<1，从而，当n>N时，有

xn=(xn－A)+A<1+A.

现取M=max{x1,x2,…,xN,1+A}，则对一切n，都有

xn≤M，所以，数列{xn}有界.二、数列极限的性质收敛数列必有界，但有界数列未必收敛.如数列xn=(－1)n(n=1,2,…)是有界的，但它却发散.注二、数列极限的性质定理3二、数列极限的性质定理说明：一个数列的极限为正(负)的，则从某项起，以后的所有项也都是正(负)的；反之，若一个数列从某项起，以后的所有项都是正(负)的，则该数列的极限非负(非正)，故有下面推论.

二、数列极限的性质推论若limn→∞xn=A，且存在正整数N，当n>N时，都有xn>0(或xn<0)，则有A≥0(或A≤0).

二、数列极限的性质定理4(保序性)若limn→∞xn=A，limn→∞yn=B，且A>B，则存在一个正整数N，当n>N时，不等式xn>yn恒成立；反之，若存在正整数N，当n>N时，不等式xn>yn恒成立，且有limn→∞xn=A，limn→∞yn=B，则有A≥B

.

在无穷数列{xn}中，依序取其一部分项构成的无穷数列{xnk}(nk∈N)，称为{xn}的子数列(或子列).

二、数列极限的性质定理5(子列极限)数列{xn}收敛于A的充要条件是它的任意子列{xnk}(nk∈N)都收敛于A.

证充分性是显然的，因{xn}也是自身的一个子列.下证必要性.

因limn→∞xn=A，所以，ε>0,存在正整数N,当n>N时，恒有xn－A<ε，从而当k>N时，有nk≥k>N，有xnk－A<ε，所以limn→∞xnk=A.

二、数列极限的性质推论limn→∞xn=A的充要条件是奇、偶子列都收敛于A.

该推论可用来判断某些数列是发散的.比如，上面提到的数列xn=(－1)n，由于它的奇数项和偶数项的子列收敛于不同的极限，从而可知该数列发散.三、数列极限的四则运算本节将在极限定义的基础上，建立数列极限的运算法则.在很多情况下，利用法则可以不必把一切与极限运算有关的问题都追溯到“极限”定义.这将简化极限的运算.

三、数列极限的四则运算定理6三、数列极限的四则运算【例5】三、数列极限的四则运算【例6】三、数列极限的四则运算【例7】三、数列极限的四则运算【例8】三、数列极限的四则运算通过这几个例题可以看到，运用极限的运算法则求极限时，一般都要先进行适当的恒等变形使之符合法则的条件后，再使用法则求极限.注四、数列极限收敛准则由数列极限的性质可知：有界数列未必有极限，在分析本节例1中，数列(1)是一个单调递减数列，且有下界；数列(2)是一个单调递增数列，且有上界.它们都是单调有界数列且都有极限.由这两个例子，我们不由得会想：是否单调有界数列都有极限呢？回答是肯定的.

四、数列极限收敛准则定理7单调有界数列必