正定二次型和正定矩阵

正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵正定二次型一、定义7-7设f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个实二次型.如果对于任意一个非零实向量α=(a1,a2,…,an)T，均有f(a1,a2,…,an)=αTAα>0（7-19）则称f(x

1,x

2,…,x

n)是一个正定二次型.首先，给出关于正定二次型的两个结论.定理7-5二次型f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n

是正定的当且仅当di>0,i=1,2,…,n.证明充分性：显然，对于任意的非零实向量α=(a1,a2,…,an)T，均有αTAα=d1a21+d2a22+…+dna2n>0

因此，原二次型是正定的.必要性：利用反证法，假设存在某个i使得di≤0，那么取向量β=εTi，即第i个n维单位向量，于是f(0,…,0,1,0,…,0)=βT

Aβ=di≤0

这与二次型的正定性矛盾.因此di>0,i=1,2,…,n.定理7-6非退化线性替换保持二次型的正定性，即经过一次非退化线性替换前后的二次型具有相同的正定性.证明设是一个正定二次型，对这个二次型经过一次非退化的线性替换（7-20）将其化成（7-21）则α也是一个非零向量.否则，若α=0，由P是可逆矩阵，β=P－1α=0，与β是非零向量矛盾.又因为g(b1,b2,…,bn)=βT(PTAP)β=(Pβ)TA(Pβ)=αTAα且f(x1,x2,…,xn)=XTAX是正定的，所以g(b1,b2,…,bn)=βTBβ=αTAα>0

从而g(y1,y2,…,yn)是正定二次型.由于非退化线性替换是可逆的变换，所以式（7-21）的二次型可以由非退化线性替换Y=P－1X

变到式（720）的二次型，且根据上面的讨论，当g(y1,y2,…,yn)正定时，f(x1,x2,…,xn)也是正定的.于是，非退化线性替换保持二次型的正定性.由定理7-5和定理7-6看出：（1）如果一个二次型f(x1,x2,…,xn)是标准形式，那么根据定理7-5，能很容易地判别它是否正定.（2）如果二次型f(x1,x2,…,xn)不是标准形式，那么可以经过一次非退化的线性替换X=PY将其化成标准形式d1y21+d2y22+…+dny2n（7-22）这个二次型与原二次型f(x1,x2,…,xn)具有相同的正定性，从而可以判别原二次型是否正定.由于f(x1,x2,…,xn)的标准型式（7-16）中大于0的di的个数，即为f(x1,x2,…,xn)的正惯性指数，因此，得到以下的定理.定理7-7

二次型f(x1,x2,…,xn)是正定的当且仅当其正惯性指数是n.正定矩阵二、定义7-8设A是一个n阶实对称矩阵.如果二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX

是正定二次型，具体地说，对于任意非零n维向量α=(a1,a2,…,an)

T，均有αTAα>0，则称A是一个正定矩阵.c根据正定矩阵的定义，若要判别一个对称矩阵A是否正定，按照前面的讨论，可以利用一个非退化的线性替换X=PY，将二次型XTAX化成标准型（与其具有同样正定性）YTBY=YT(PTAP)Y=d1y21+d2y22+…+dny2n

从而，利用正定二次型的判别定理，判别XTAX的正定性，也就得到了A的正定性.但是，更希望从矩阵的本身，直接判别其是否正定.由于标准形式的二次型f(x1,x2,…,xn)=d1x21+d2x22+…+dnx2n

的矩阵是对角矩阵于是，根据定理7-5，有以下的定理.（7-23）定理7-8n阶对角矩阵式（7-17）是正定矩阵当且仅当di>0,i=1,2,…,n.根据第二节的讨论，二次型通过一次非退化线性替换化成标准型，对与之相对应的矩阵来说，存在一个可逆矩阵P，使得二次型的矩阵A合同于一个对角矩阵，即这样，由定理7-1和定理7-6可得如下的定理.定理7-9合同的两个矩阵具有相同的正定性.定理7-10设A是一个n阶实对称矩阵，则下列命题是等价的：（1)A是正定的.（2)二次型XTAX是正定的.（3)A合同于单位矩阵E，即A=E.（4)存在可逆矩阵P，使得A=PTP.（5)A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0.证明“（1）（2）”即为正定矩阵的定义.我们将其列出只是为了说明，下面的判别矩阵正定的充要条件，也可以作为判别二次型正定的方法.“（1）（3）”A是正定矩阵，根据第六章的定理6-19，对于实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使得由定理7-8和定理7-9知λi>0,i=1,2,…,n.令“（5）（1）”由于A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0，再根据第六章的定理6-19，对于实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使得其中λ1,λ2,…,λn是矩阵A的特征值.由定理7-8和定理7-9知，A是正定矩阵.推论7-1

正定矩阵A的行列式|A|>0.证法一由定理的等价条件（4），存在可逆矩阵P，使得A=PTP.于是|A|=|PT||P|=|P|2>0证法二由定理的等价条件（5），A的特征值λ1,λ2,…,λn全大于0，于是|A|=λ1λ2…λn>0为了给出一个更方便的判别矩阵正定的方法，引入如下定义.定义7-9设A=(aij)是一个n阶方阵.将A的子式称为A的顺序主子式.也就是说，A的第i个顺序主子式就是A的前i行前i列交叉位置的元素，按照原来的位置构成的子式.定理7-11设A是一个n阶实对称矩阵，则二次型f(x1,x2,…,xn)=XTAX

是正定二次型（或者说，A是正定矩阵）当且仅当A的顺序主子式均大于0.证明必要性.设二次型f(x1,x2,…,xn)的具体形式为显然fk(x1,x2,…,xk)也是一个以x1,x2,…,xk为变元的二次型，其对应的矩阵为Ak的行列式|Ak|即为A的k阶顺序主子式Pk.下面证明fk(x1,x2,…,xk)是正定的.事实上，对于任意的一个k维非零向量α=(c1,c2,…,ck)，由f(x1,x2,…,xn)是正定的，则有于是，根据定理7-10的推