有理函数的积分积分表的使用

有理函数的积分积分表的使用有理函数的积分积分表的使用

本节将介绍一种比较简单的特殊类型函数的不定积分——有理函数的积分，以及积分表的使用.一、有理函数的积分有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和有理分式两类：有理整式有理分式其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实数，并且a0≠0,b0≠0.

一、有理函数的积分在有理分式中，n<m时，称为真分式；n≥m时，称为假分式.

利用多项式除法，可以把任意一个假分式化为一个有理整式和一个真分式之和.例如，有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.

一、有理函数的积分最简分式的积分1.下列四类分式统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数；A,M,N,a,p,q均为常数，且p2－4q<0.

下面先讨论这四类最简分式的不定积分.

前两类最简分式的不定积分可以由基本积分公式直接得到.对第三类最简分式，将其分母配方得一、有理函数的积分一、有理函数的积分综上所述，最简分式的不定积分都能被求出，且原函数都是初等函数.根据代数学的有关定理可知，任何真分式都可以分解为上述四类最简分式的和，因此，有理函数的原函数都是初等函数.

一、有理函数的积分有理分式化为最简分式的和2.一、有理函数的积分对式(5-18)，应注意到以下两点：(1)若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，则分解后含有下列k个最简分式之和：其中A1,A2,…,Ak都是常数.

(2)若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－4q<0，则分解后含有下列k个最简分式之和：其中Mi,Ni(i=1,2,…,k)都是常数.一、有理函数的积分(5-19)(5-20)一、有理函数的积分第二种方法在恒等式(5-20)中，代入特殊的x值，从而求出待定的常数.在式(5-20)中，令x=2，得A=－5;令x=3，得B=6.同样得到(5-21)一、有理函数的积分有理函数积分举例3.【例53】一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分三角函数有理式的积分1.由sinx，cosx和常数经过有限次四则运算构成的函数称为三角有理函数，记为R(sinx,

cosx).

三角函数的积分比较灵活，方法很多.在换元积分法和分部积分法中介绍过一些方法.这里主要介绍三角函数有理式的积分方法，其基本思想是通过适当的变换，将三角有理函数化为有理函数的积分.

二、可化为有理函数的积分二、可化为有理函数的积分二、可化为有理函数的积分【例55】二、可化为有理函数的积分简单无理函数的积分2.求简单无理函数的积分，其基本思想是利用适当的变换将其有理化，转化为有理函数的积分.下面通过例子来说明.二、可化为有理函数的积分【例57】二、可化为有理函数的积分【例58】三、积分表的使用本章介绍了不定积分的概念及计算方法.必须指出的是：初等函数在它的定义区间上不定积分一定存在，但不定积分存在与不定积分能否用初等函数表示出来不是一回事.事实上，有很多初等函数，它们的不定积分是存在的，但它们的不定积分却无法用初等函数表示出来，如

同时还应了解，求函数的不定积分与求函数的导数的区别.求一个函数的导数总可以循着一定的规则和方法去做，而求一个函数的不定积分却没有统一的规则可循，需要具体问题具体分析，灵活应用各类积分方法和技巧.

三、积分表的使用实际应用中常常利用积分表(见附录)来计算不定积分.求不定积分时可按被积函数的类型从表中查到相