2019届浙江专版高考数学一轮复习第十四章数系的扩充与复数的引入讲义

第十四章数系的扩充与复数的引入

高考数学考点复数的概念及运算1.形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i是虚数单位,i2=-1.把复数a+

bi的形式叫做复数的代数形式.记作z=a+bi(a,b∈R).当且仅当①

b=0

时,z为实数;当且仅当②

a=b=0

时,z=0;当③

b≠0

时,z叫做虚数;

当④

a=0且b≠0

时,z叫做纯虚数.a与b分别叫做复数z=a+bi的实部和

虚部.2.两个复数的实部和虚部分别相等⇔这两个复数相等.即如果a,b,c,d∈

R,那么a+bi=c+di⇔a=c且b=d;a+bi=0⇔⑤

a=b=0

.知识清单3.

4.复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,

d∈R,c+di≠0):加减法:(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i;乘法:(a+bi)(c+di)=⑥(ac-bd)+(ad+bc)i

;除法:

=

=⑦

.5.复数加法、乘法满足交换律、结合律及乘法对加减法的分配律,实数

的正整数指数幂运算也能推广到复数集中,即zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=

·

.(m,n∈N*)6.(1)i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,其中k∈N*.(2)常用的i的性质:(1±i)2=±2i;

=i;

=-i;in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).7.复数z=a+bi(a,b∈R)的模,也就是向量

的模,即有向线段

的长度,计算公式:|a+bi|=

.当b=0时,复数a+bi就是实数.由上面的公式,有|a|=

.这与以前关于实数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对

值概念的扩充.z=a+bi与

=a-bi(a,b∈R)互为共轭复数,且z+

=2a,z-

=2bi,z·

=|z|2=|

|2,运算性质有:

=

±

,

=

·

,

=

(z2≠0).9.设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=

,且有:(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(2)|z|=1⇔z·

=1;(3)|z|2=|

|2=|z2|=|

|=z·

.8.共轭复数及其运算性质复数概念的解题策略掌握一个复数为实数、虚数、纯虚数的充要条件,两个复数互为共轭复

数的充要条件,两个复数相等的充要条件.明确复数问题实数化是解决

复数问题的最基本的思想方法.例1

(2017浙江嘉兴基础测试,2)已知复数

(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a=

()A.-2

B.-1

C.0

D.2方法技巧方法1A解题导引

将复数

化为m+ni(m,n∈R)的形式→由纯虚数定义得a的值解析∵

=

=

是纯虚数,∴a+2=0,2-a≠0,∴a=-2.评析

本题考查复数的运算和纯虚数的定义,考查运算求解能力.复数运算的解题策略复数的代数形式运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项,乘法类

似多项式乘多项式,除法类似分母有理化(实数化),但复数运算有它独特

的技巧,如(1±i)2=±2i,i3=-i等.例2

(2017浙江镇海中学模拟卷一,2)已知复数z=1+i(其中i是虚数单

位),则

=

()A.

-

iB.

+

iC.-

-

iD.-

+

i方法2A解题导引

把复数

化为

-z2→由复数的运算得结论解析本题考查复数的四则运算.

=

-z2=

-(1+i)2=

-2i=

-

i,故选A.复数几何意义的解题策略复数的几何意义有下面三个结论.(1)复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点Z(a,b)一一对应.(2)复数z=a+bi(a,b∈R)与平面向量

(O(0,0),Z(a,b))一一对应.(3)复数z=a+bi(a,b∈R)的模|z|=

表示点Z(a,b)到原点O(0,0)的距离.例3

(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,1)已知复数z=a-1+(a2-2)i在复

平面上对应的点落在第四象限,则实数a的取值范围是

()A.(-

,1)