2019届新课标高考数学二轮复习专题二函数2.2二次函数及函数方程讲义理

第2讲二次函数及函数方程-2-热点考题诠释高考方向解读1.(2017浙江,5)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m(

)A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关答案解析解析关闭答案解析关闭-3-热点考题诠释高考方向解读答案解析解析关闭答案解析关闭-4-热点考题诠释高考方向解读3.(2017全国3,理11)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(

)答案解析解析关闭答案解析关闭-5-热点考题诠释高考方向解读答案:C-6-热点考题诠释高考方向解读如图,作出函数y=|loga(x+1)+1|(x≥0)的图象,由图知当x≥0时,方程|f(x)|=2-x只有一解.当x<0时,|f(x)|=2-x,即x2+(4a-3)x+3a=2-x只有一负实根,整理得x2+(4a-2)x+3a-2=0,Δ=(4a-2)2-4×1×(3a-2)=4(4a2-7a+3)=4(4a-3)(a-1).-7-热点考题诠释高考方向解读-8-热点考题诠释高考方向解读从近几年的浙江高考试卷来看,对二次函数及其综合问题的考查仍是重点,常作为各类试题的压轴题,难度较大.常见的命题形式有:(1)对三个“二次”的综合考查,二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,三者之间的互相转化是考查的重点,深刻理解它们之间的相互关系是解题的关键;(2)结合函数与方程的关系、根的存在性定理或函数的图象,对函数以及复合函数是否存在零点(方程是否存在实根)进行判断;利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或范围.(3)把二次函数与绝对值、不等式、数列等综合在一起考查,通常会体现知识点的交汇,含多个参数的分类讨论、含绝对值的不等式证明、不等式恒成立等诸多问题,综合考查函数与方程思想、等价转化思想的灵活应用能力.随着浙江进入新高考,导数回归高考数学,函数的压轴题会转向用导数的应用,对二次函数(特别是含绝对值和多参数的二次函数)问题的考查会有所淡化.-9-热点考题诠释高考方向解读对函数与方程的考查主要体现在以下几个方面:一、结合函数与方程的关系,求函数的零点;二、结合根的存在性定理或函数的图象,对函数或复合函数的根的个数进行判断;三、利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或范围.考向预测:二次函数是浙江省高考热点之一,这部分知识主要综合最值、零点、不等式和绝对值等进行考查,以选择题和填空题为主,也可以结合导数问题在解答题中考查,难度中等或较大;而函数与方程常常综合分段函数、基本初等函数的性质进行考查,以选择题和填空题为主,函数零点问题多结合导数在解答题中进行考查.-10-命题热点一命题热点二命题热点三例1已知函数f(x)=|x2-1|+x2-kx.(1)若k=2,求出函数f(x)的单调区间及最小值;(2)若f(x)≥0恒成立,求实数k的取值范围.答案答案关闭-11-命题热点一命题热点二命题热点三-12-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练1

已知a>0,b∈R,函数f(x)=4ax2-2bx-a+b,x∈[0,1].

(1)求函数f(x)的最大值;(2)若-1≤f(x)≤1对任意的x∈[0,1]恒成立,求a+b的取值范围.-13-命题热点一命题热点二命题热点三(2)先证明f(x)+|2a-b|+a≥0.令g(x)=4ax2-2bx+b+|2a-b|,当b≤2a时,g(x)=4ax2-2bx+2a≥4ax2-4ax+2a=2a(2x2-2x+1),当b>2a时,g(x)=4ax2+2b(1-x)-2a≥4ax2+4a(1-x)-2a=2a(2x2-2x+1),-14-命题热点一命题热点二命题热点三

A.k<0 B.k<1 C.0<k<1 D.k>1(2)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在区间(0,1)上有两个零点,则3a+b的取值范围是

.

答案:(1)D

(2)(-5,0)-15-命题热点一命题热点二命题热点三-16-命题热点一命题热点二命题热点三-17-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法1.确定函数零点存在区间及个数的方法(1)利用零点存在的判定定理.(2)利用数形结合法.当方程两端所对应的函数类型不同或对应的函数解析式为绝对值、分式、指数、对数及三角函数式时,常用数形结合法求解.2.应用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.-18-命题热点一命题热点二命题热点三迁移训练2

已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(0)=0,对于任意x∈R都有f(x)≥x,且

,令g(x)=f(x)-|λx-1|(λ>0),

(1)求函数f(x)的表达式;(2)函数g(x)在区间(0,1)上有两个零点,求λ的取值范围.-19-命题热点一命题热点二命题热点三解:

(1)∵f(0)=0,∴c=0.又∵f(x)≥x,即ax2+(b-1)x≥0对于任意x∈R都成立,∴a>0,且Δ=(b-1)2≤0,∵(b-1)2≥0,∴b=1,a=1,∴f(x)=x2+x.(2)①当0<λ≤2时,可知函数g(x)在区间(0,1)上单调递增,又g(0)=-1<0,g(1)=2-|λ-1|>0,故函数g(x)在区间(0,1)上只有一个零点,-20-命题热点一命题热点二命题热点三-21-命题热点一命题热点二命题热点三A.当k>0时,有4个零点;当k<0时,有1个零点B.无论k为何值,均有2个零点C.当k>0时,有3个零点;当k<0时,有2个零点D.无论k为何值,均有4个零点-22-命题热点一命题热点二命题热点三答案:(1)A

(2)D

若f(f(x))=-1,则问题转化为存在多少个x0的值使得函数值t=f(x0),且使得f(t)=f(f(x0))=-1.则当k=0时,因y=1与函数y=ln

x的图象的交点的纵坐标为1,f(1)=0≠-1,即函数y=f(f(x))+1无零点;当k<0时,存在唯一的直线y=kx+1与函数y=ln

x的图象的交点的横坐标满足0<t<1使得ln

t=-1,故函数y=f(f(x))+1只有一个零点;当k>0时,分别存在两个t值使得直线y=kx+1与函数y=ln

x的图象的交点的横坐标满足题设,故函数y=f(f(x))+1有四个零点,应选A.-23-命题热点一命题热点二命题热点三-24-命题热点一命题热点二命题热点三-25-命题热点一命题热点二命题热点三规律方法已知一个具体的函数f(x),然后求解f(f(x))=a的方程根的个数问题,可以先把原方程分解为2个方程:f(t)=a,t=f(x),再结合两个函数的图象来考察原方程解的情形.-26-命题热点一命题热点二命题热点三答案解析解析关闭答案解析关闭-27-答题规范提分解答题解题过程要求“解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤”,因此,在解答题答题过程中应该有规范的书写步骤,分步得分.-28-例题(本题15分)已知a≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x2-2ax+4a-2},(1)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围.(2)①求F(x)的最小值m(a);②求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).解:

(1)因为a≥3,所以当x≤1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x2+2(a-1)(2-x)>0;2分当x>1时,(x2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).4分故使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立的x的取值范围为[2,2a].6分-29--30-1231.已知[x]表示不超过实数的最大整数,g(x)=[x],x0是函数的零点,则g(x0)等于(

)A.1 B.2 C.3 D.4答案解析解析关闭答案解析关闭-31-123答案解析解析关闭答案解析关闭-32-1233.已知函数f(x)=|x2-a|,g(x)=x2-ax,a∈R.(1)当a=1时,求f(x)在区间[-1,1]上的最大值;(2)求f(x)在区间[-1,1]上的最大值M(a)的最小值;(3)若关于x的方程f(x)+g(x)=0在区间(0,2)上有两个解,求a的取值范围.解：

(1)∵当a=