第九章微分方程定义资料教程

第9章微分方程求变量间的函数关系的方法(1)通过科学实验获得实验数据,再对实验数据进行数学处理,从而得到所需函数关系(P272,最小二乘法等).(2)建立函数满足的数学模型,一般是函数方程,

而微分方程是最重要,最常见的函数方程,通过求解数学模型(微分方程),从而得到所需函数关系.19.1微分方程的基本概念9.1.1定义例1.已知一曲线通过点(1,2),且该曲线上任一点M(x,y)处的切线斜率为3x2,求此曲线方程.解:设所求曲线方程为:y=y(x),(1)两边积分得:由y(1)=2,得:

1+C=2,

C=1,

所求曲线为方程:

2例2.一列车在直线轨道上以20m/s的速度行驶,当制动解:设列车在制动后t秒时间内行驶了s=s(t)米,时列车获得的加速度为0.4m/s2,问开始制动后列车行驶了多少时间才停车?又问列车在这段时间内行驶了多少二阶导数的物理意义:且s=s(t)还应满足:s(0)=0,s

(0)=20,

(2)的两边积分得:距离?再积分一次得:3定义含有未知函数及其导数的等式称为微分方程.定义微分方程中出现的未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.是一阶微分方程,是二阶微分方程,一般地,n阶微分方程的形式是:

5定义若把某一个函数代替微分方程中的未知函数能使如果微分方程的解中含有一些独立的任意常数,任意常数的个数与方程的阶数相同,则称这样的解为微分方程的通解.方程成为恒等式,则称此函数为该微分方程的解.6如果微分方程的解中不含任意常数,则称为微分方程

的特解,确定通解中的任意常数的取值从而得到特解的条

件称为定解条件.常见的定解条件有初始条件.例1中的y(1)=2,例2中的s(0)=0,s

(0)=20都是初始条件.n阶微分方程y(n)=f(x,y,y

,y

…,y(n

1))的初始条件为:y(x0)=y0,y

(x0)=y1,y

(x0)=y2,…,y(n

1)(x0)=yn

1,7微分方程解的图形称为微分方程的积分曲线.为初始问题.并称8例3.验证解:9例4.求曲线y=C1x+C2x2所满足的微分方程.解:求导得:109.1.2建立微分方程举例解:在轴截面上取坐标系,求水面高度h与时间t的函数关系。在[t,t+dt]时间段内,水面高度有h下降到h+dh(dh<0),容器内水的体积减少量的微元:

dv=r2dh=[1002(100h)2]dh=(200hh2)dh,

hh100Oh+dh例6.有一半径为1(m)的半球形容器,盛满水,水从底部小孔流出.已知小孔截面积A=1(cm2).从水力学知:当水面高度为h(cm)时,水从小孔流出的速率为:11流出的水的体积微元:且12例7.一电动机在不考虑冷却的情况下,运转时将以每小时解:

设时刻t的电动机的温度为T(t),10

C的速率升温。今若电动机环境具有良好的通风条件,使环境能保持恒温15

C,则电动机在运转过程中同时受空气冷却,按牛顿冷却定律,冷却速率正比与机温与室温之差(设比例系数为K)。试求电动机温度T与时间t的函数关系。在[t,t+dt]内,电动机温度升高:10dt,电动机自然降温:k(T15)dt,电动机温度改变量的微元为:dT=10dt

k(T15)dt,即:dT=(10kT+15k)dt,139.2一阶微分方程9.2.1可分离变量的微分方程程14例1.求微分方程

解:分离变量得:15例2.求解:

满足初始条件y(0)=1的特解.16例3.曲线y=y(x)与曲线族解:在椭圆族中任取一椭圆:中的任一椭圆都正交,(即在交点处切线都垂直),若已知曲线y=y(x)经过点(a,b)(ab0),求此曲线方程.与曲线y=y(x)相交于点M(x,y),曲线y=y(x)在点M(x,y)处的切线斜率为:k1=y

,

椭圆在点M(x,y)处的切线斜率为:k2=x/2y

,

17作业P10,1(3);4;1(1),(3);2;5;作业P32,1.(1),(3);2(3);189.2.2一阶线性微分方程

一阶线性微分方程的标准形式:当Q(x)0时,称y+P(x)y=0为一阶线性齐次方程.

当Q(x)0时,称y+P(x)y=Q(x)为一阶线性非齐次方程.19先求齐次方程的通解20可写成:是线性齐次方程的通解,是线性非齐次方程的特解.21例4.求微分方程解:用常数变易法,22用公式法:原方程的通解为:23例5.求解:24例6.求微分方程解:25例7.有一质量为m的质点,从液面由静止状态开始垂直解:下沉,设沉降过程中质点所受的阻力与沉降速度v成正比,比例系数为k(k>0),求质点沉降速度v及位置x与沉降时间t的关系.26故由27例8.一容器盛有盐水100升,内含盐量50克。现若以3升/分解:设经过时间t(分钟)后,容器含盐量为:y(t),在[t,t+dt]时间段内,的流量注入浓度为2克/升的盐水,