2023年高中数学A版必修五全册教案

1.1.1正弦定理•教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长

和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定

与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学

已有的几何知识出发，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引

导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定

理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问

题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正

弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。•教学重

点正弦定理的探索和证明及其基本应用。•教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形

时判断解的个数。•教学过程一.课题导入如图1.1T,固定AABC的边CB及NB,使边

AC绕着顶点C转动。思考：NC的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数

量关系？显然，边AB的长度随着其对角NC的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种

关系精确地表示出来？二.讲授新课［探索

研究］在初中，我们已学过如何

解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图，在RtZXABC

中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有日=$汨力.令砒区虚

乂sinC=l=£贝ji

C

==C从而在直角三角形ABC中，

sin/lsin8sinC

思考i：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍

然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1.1-3,

（1）当4ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD,根据任意角三角函数的定义，有

CD=asinB=bsinA,贝I」二」一,C同理可得

sinJsinS

---=-乂—,ba从而

sin。sin"

abc

—；=­；---=-----ACB

sin/1sinBsin。

（2）当aABC是钝角三角形时，以上关系式仍

然成立。（由学生课后自己推导）

思考2:还有其方法吗？

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究

这问题。

（证法二）：过点A作单位向量j,加，由向量

的加法可得AB=AA

则j.AB=j.(AC<B)

•:jAEj・AGj

ABM900-A)4^K3|COS(90O-C)

.\csinA=asinc,即

sin4sinC

同理，过点C作j，C,可得上

sm8sine

从而3=上二—

〈idQR\

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的

正弦的比相等，即已-匕=二

sin/1sinnsine

［珊锭理

(1)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正

弦成正比，且比例系数为同一正数，

即存在正数k使a=ksinA,b=ksinB,c=ksinc;

(2)3=上=，等价于3=上，」=±，上二,

sinJsin/fsinCsin力sinAsinTsinZ?sin力sinC

思考：正弦定理的基本作用是什么？

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他

边，如八作皿！

sinA:

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可

以求其他角的正弦值,如si“Jsin6

bo

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边

和角的过程叫作解三角形。

［例题分析］

例1.在ABC中，已知A=32.0。，B=81.8。，a=429cm,解三角

形。

解：根据三角形内角和定理，

C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;

根据正弦定理，,吗=华黑国8。」(加；

sin.4sin32.0°

根据正弦定理，”当「2.9：、99金

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算

器。

练习：在ABC中，已知下列条件解三角形。

(1)A=45,C=30,c=10cm,(2)A=60,B=45

c=20cm

例2.在AABC中，已知a=20cm,b=28Cm,A=40。,解三角

形(角度精确到1。，边长精确到1cm)。

解：根据正弦定理，

加8=蛆吆=生嗯=0.8999.因为0°<g<180°,所以

a20

B^64°,或氏116。

(1)当B*4。时，C=180-A(+B4°18°0f・，

siAnSiif40

⑵当於116°时，C480°-(A-+B)^180°-(40°+116)=24°,

3笔=型吗工］砧M

sin/sin40°

应注意已知两边和其中一边的对角解三角

形时，可能有两解的情形。

课堂练习

第4页练习第2题。

思考题：在AABC中，」一，一=，=总咐，这个k与

sinJsin8sine

AABC有什么关系？

三.课时小结(由学生归纳总结)

(1)定理的表示形式：

就r磊=品=/工ind=*(*>°)；

a=ksinAb=ksinB

c=ksinC(k>0)

(2)正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角；

②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

四.课后作业：P10面1、2题。

1.1.2余弦定理(二)一、

教学目标L知识与技能：掌握在已知三角形的两边及

其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等

情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理

的应用。2,过程与方法：通过引导学生分析，解答三个

典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角

函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。3.情态

与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通

了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物

之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而

从本质上反映了事物之间的内在联系。二、教学重、

难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解

三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种

类型的判定方法；三角形面积定理的应用。难点：正、

余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。四、教学

设想［复习引入］余弦定理及基本作用①已知三

角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边

a2=b2+e2-2b6ccos.Ab^a2-^acosc^+b^abcosdD已知三

角形的三条边就可以求出其它角。侬介号/

38金卢侬小冬^练习］lo教材P8面第2

题2.在AABC中，若a2=b2+c2+bc,求角A（答案：A=120°）

思考。解三角形问题可以分为几种类型？分别怎样求

解的？求解三角形一定要知道一边吗？（1）已知

三角形的任意两边与其中一边的对角；例如

a=12b=5,A=120（先由正弦定理求B,由三角形内角和

求C,再由正、余弦定理求C边）（2）已知三角形的

任意两角及其一边；例如A=70°fB=50fa=10

（先由三角形内角和求角C,正弦定理求a、b）（3）

已知三角形的任意两边及它们的夹角；例如

a=12b=13C=50。（先由余弦定理求C边，再由正、余

弦定理求角A、B)(4)已知三角形的三条边。

例如a=10,b=12c=9(先由余弦定理求最大边所对的角)

［探索研究］例1.在AABc中,已知下列条件解三角形

(l)A=30,a=10,b=20(—解)(2)A=30,

a=10,b=6(一解)

(3)A=30,a=10,b=15(二解)(4)A=120,

a=10,b=5(一解)

(5)A=120,a=10,b=15(无解)

分析：先由sin6=空也可进一步求出B；则

夕

C=180°-(A+B)从而。=跑吆

A

归纳：(1)如果已知的A是直角或钝角，a>b,

只有一解；

(2)如果已知的A是锐角，a>b,或@='

只有一解；

(3)如果已知的A是锐角，a<b,

1、a>bsinA,有二解；

2、a=bsinA,只有一解；

3、a<bsinA,无解。

评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的

对角解三角形时，只有当A为锐角且

bsinA<a<b时，有两解；其它情况时则只有一

解或无解。

[随堂练习1]

(1)在AABC中，已知a=80,b=100,NA=45。，试判断

此三角形的解的情况。

⑵在ZkABC中，若笠1,号44攻。，则符合题意

的b的值有个。

(3)在AABC中,a=xcm,b=2cm,NB=45。,如果利用正

弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。

(答案：(1)有两解；(2)0;(3)2<X<2A/2)

例2.在AABC中，已知a=7,b=5,c=3,判断AABC

的类型。

分析：由余弦定理可知

a^^+cA是直角今z^ABC是直角三角形

a'b*A是钝角o/\ABC是钝角三角形

a2Vb2+c2A是锐角蟀^ABC是锐角三角形

解：・.・7>5+3,即M〉b+c,，AABC是好三角形。

[随堂练习2]

(1)在AABC中，已知sinA:sinB:sinC=l:2:3,判断AABC

的类型。

(2)已知△ABC潢足条件acosA二bcosB,判断AABC的

类型。

(答案：(1)AABC是钝角三角形；⑵△ABC是等腰或直角

三角形)

例3.在AABC中，A=6(r,b=l,面积为遒求一<"十。一

理'°、sin-+sin6+sinC

的值

分析：可利用三角形面积定理

S=[absinC=〈MsinS=]Acsin」以及正弦7E理

444

ahca+b+c

sin力sin4sinCsinl+sind+sinC

解：由S=%sinH=4得0=2,则a2=b2+c22buos=3,

即4V3,

从而一丝比—=」_=2

sin」+sin〃+sinCsin力

[随堂练习3]

(1)在AABC中，若a=55,b=16,且此三角形的面积

s=220t3,求角C

(2)在AABC中，其三边分别为a、b、c,且三角形

的面积§=上好，求角C

(答案：(1)60°或120。;(2)45°)

[课堂小结]

(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角

形时，有两解或一解或无解等情形；

(2)三角形各种类型的判定方法；

(3)三角形面积定理的应用。

五、作业(课时作业)

(1)在AABC中，已知b=4,c=10,B=30。，试判断此

三角形的解的情况。

(2)设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实

数X的取值范围。

（3）在AABC中，A=60°,a=l,b+c=2,判断AABC的

形状。

⑷三角形的两边分别为3cm,5cm,它们所夹的角

的余弦为方程5x2-7x-6=0的根，

求这个三角形的面积。

1.1.2余弦定理（一）（一）教学目标1.知识与技能：掌

握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量

方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问

题。2.过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及

其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类

基本的解三角形问题，3.情态与价值：培养学生在方

程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三

角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，

来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。（二）教学重、

难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应

用；难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中

的作用。（三）教学设想复习旧知运用正弦定理能解

怎样的三角形？①已知三角形的任意两角及其一

边，②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，

［创设情景］

问题1:如果已知三角形的两边及其夹角，根据三角

形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确

定的三角形。从量化的角度来看，如何从已知的两边

和它们的夹角求三角形的另一边和两个角？问题2:

如何从已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？

即：如图1.1-4,在AABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,

已知a,b和zC,求边c?

［探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途

径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A、B

均未知，所以较难求边c。由于涉及边长问题，从而

可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1.1-5,设B=a,C=b,AB=c,那么C=a-b,则

b=a-a+-2a.bCa

B从而c2=a2+b22ados

（图L1-5）

同理可证a^t^+c^bccosAb2=a2+c22acos

余弦定理：

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的

和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即a2=b2+c2-2bccosAh2=a2+c2-2accosB

c2=a2+b2-2(ibcosC

思考3:你还有其它方法证明余弦定理吗？（两点间

距离公式，三角形方法）

思考4:这个式子中有几个量？从方程的角度看已知

其中三个量，可以求出第四个量，能否由三

边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

00s介缥W8s代注土30=土烂

2nr2ac2ba

思考5:余弦定理及其推论的基本作用是什么？

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可

以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考6:勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间

的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边

平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关

系？

（由学生总结）若AABC中，C=90°,则cosc=0,这

时c?二a^b2

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理

是余弦定理的特例。

［例题分析］

例1.在4的中，已知a=2J3,c=J6+V2,B=60°,求b

及A

(1)解：•,HWB2ccosB=@J3)2+(J6bV2)2-2-2J3(J什72)0645°

二12KM72)2-4V3(V3+l)=8・；b=M

求4可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

布日注一••ccu/+/一『(2&)■(#+我>-(2万)2」

用牛/六：•COS力-2bc-2x2&X(#+无)一2

/.A=60P,

解法二・.・、卷出第一又・・・J&WD241N

2V3<2X1,-83a<c,即O<A<90,

A=60

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

思考7。在解三角形的过程中，求某一个角时既可用

正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么

利弊呢?

例2.在4ABC中，已知a=134.6cm,M87.8cm5c=161.7cm,解

三角形

解：由余弦定理的推论得:

87.82+161.7--134.62

COS-%0.5543,

介FT2x87.8x161.7

A=562;

cf134.62+161.72-87.82

cosB=Q0.8398,

2ca2x134.6x161.7

B=325;

C=180-A+B-)180°(5620=904

［随堂练习］第8页练习第1(1)、(2)题。

［课堂小结］

(1)余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规

律，勾股定理是余弦定理的特例；

(2)余弦定理的应用范围：①.已知三边求三角；

②.已知两边及它们的夹角，求第三边。

课后作业

①课后阅读：课本第5—6页

②课时作业：第11页［习题1.11A组第3题。

L2解三角形应用举例第二课时一、教学目标1、

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些

有关底部不可到达的物体高度测量的问题2、巩固深

化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、

探索习惯。3、进一步培养学生学习数学、应用数学

的意识及观察、归纳、类比、概括的能力二、教学重

点、难点重点：结合实际测量工具，解决生活中的测

量高度问题难点：能观察较复杂的图形，从中找到解

决问题的关键条件三、教学过程I.课题导入提问：现

实生活中，人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高

度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山

顶的海拔高度呢？今天我们就来共同探讨这方面的

问题H.讲授新课［范例讲解］例1、AB是底部B不可到

达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测

量建筑物高度AB的方法。

AB长的关键是先求AE,在AACE中，如能求出C点

到建筑物顶部A的距离CA,再测出由C点观察A的

仰角，就可以计算出AE的长。解：选择一条水平基

线HG,使H、G、B三点在同一条直线上。由在H、

G两点用测角仪器测得A的仰角分别是。、g,CD=a,

测角仪器的高是h,那么，在AACD中，根据正弦定

理可得AC=5AB=AE+

sinfa-

h=ACsina+h=.山”+h例2、如图，在山顶铁塔上B

smta-3\

处测得地面上一点A的俯角。=54°40°,在塔底C处测

得A处的俯角g=50r。已知铁塔BC部分的高为27.3

m,求出山高CD（精确至Ulm）师：根据已知条件，大家能

设计出解题方案吗？若在AABD中求CD,则关键需

要求出哪条边呢？

生：需求出BD边。

师：那如何求BD边呢？

生：可首先求出AB边，再根据NBAD=a求得。

解：在AABC中，NBCA=90+p,NABC=90〜-a,

ZBAC=a-p,ZBAD=a.根据正弦定理，，..BC.=

sin(90+

所以AB=*(90+为=更咄在RtAABD中，得

s\n(a-fl)s\n(a-fl]

BD=ABsinzBAD=i?rcos/?sing

sin(a-S)

将测量数据代入上式，得BD=也吩空虚

sin(544O,-501')

-27.3cos50Tsin544(r-177(m)

CD=BD-BC~177-27.3=150(m)

答：山的高度约为150米.

思考：有没有别的解法呢？若在AACD中求CD,可

先求出AC。思考如何求出AC?

例3、如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，

到A处时测得公路

南侧远处一一个山顶D

在东偏南二^久15°的方

向上，行驶I5km后

到达B处，测得此

山顶在东偏南25的方向上，仰角为8，求此山的高度

CD.

思考1:欲求出CD,大家思考在哪个三角形中研究比

较适合呢？(在4BCD中)

思考2:在ABCD中，已知BD或BC都可求出CD,

根据条件，易计算出哪条边的长？(BC边)

解：在AABC中，ZA=15,ZC=25-15=10。，根据正弦

定理，

£=,BC=4nc=7.4524(km)

CD=BCxtanZDBC-BCxtan8-1047(m)

答：山的高度约为1047米

III.课堂练习：课本第17页练习第1、2、3题

IV.课时小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时.，要学会审题

及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进

行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。

V.课后作业

1、作业：《习案》作业五

L2解三角形应用举例第三课时一、教学目标1、

能够运用正弦定理、余弦定理

等知识和方法解决一些有关

计算角度的实际问题2、通过

综合训练强化学生的相应能

力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过

程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。3、

培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的

能力，并激发学生的探索精神。二、教学重点、难点

重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条

件和所求角的关系难点：灵活运用正弦定理和余弦定

理解关于角度的问题三、教学过程I.课题导入［创设

情境］提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这

些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余

边的问题。然而在实际的航海生活中，人们又会遇到新

的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方

向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这

方面的测量问题。n.讲授新课［范例讲解］例1、如图，

一艘海轮从A出发，沿北偏东75的方向航行67.5n

mile后到达海岛B,然后从B出发，沿北偏东32•的方向

航行54.0nmile后达到海岛C.如果下次航行直接从A

出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多

少距离？（角度精确到0.1。，距离精确到0.Olnmile）

学生看图思考并讲述解题思路分析：首先根据三角形

的内角和定理求出AC边所对的角NABC,即可用余

弦定理算出AC边，再根据正弦定理算出AC边和AB

边的夹角NCAB。解：在AABC中，ZABC=180-75°+

32°=137,根据余弦定理，AC=^AB^BC2-2ABxBCxcosZABC

H67.5斗54.02-2x67.5x54.0xosl37^113.15根据正弦定

皿,BC=*sinzCAB=BCsi必BC=54.0sinl37

理‘sinNG46sinZJSCAC113.15

^0.3255,所以ZCAB=19.0°,

75。-NCAB=56.0・答：此船应该沿北偏东56.1。的方向

航行，需要航行H3.15nmile例2、在某点B处测得建

筑物AE的顶端A的仰角为e,沿BE方向前进30m,

至点C处测得顶端A的仰角为2o,再继续前进10J3m

至D点，测得顶端A的仰角为4o,求。的大小和建筑

物AE的高。（用正

弦定理求解）由已知可得在△ACD中，

AC=BC=30,AD=DC=1(W3,ZADC

=180°-40,,•诬=___^2_____©因为

sin26sin(18O-4〃)

sin4o=2sin2ocos2o:cos2o=®,得2o=30

0=15,在RtZXADE中，AE=ADsin60=15

答：所求角。为15,建筑物高度为15m

解法二：（设方程来求解）设DE=x,AE=h

在RAACE中，（10V3+x）2+h2=302在

RtZ\ADE中，x¥h』（10^5）2

两式相减，得x=5V5,h=15:在RtAACE

中9tan2o=—4—=—

IOA/3+X3

：2O=30O,0=15°

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=8,由

题意，得

ZBAC=0,NCAD=2o,AC=BC=30m,AD

=CD=1043m

在RtAACE中，§in2®=二一I在RtAADE

中，加4"=康一②

②+①得co§2，=坐,20=30。，6=15,

AE=ADsin60°=15

答：所求角。为15°,建筑物高度为15m

例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C

处有一艘走私船，正沿南偏东75。的方向以10海里/

小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小

时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方

向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

个北

A

师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建

立数学模型

分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要

引入时间这个参变量。

解：如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B

处追上走私船，则CB=10x,AB=14x,AO9,

ZACB=75°+45°=120°

.(14x)2=92+(l0x)2-2x9x1Oxcos12o

.化简得32x2-30x-27=0,即的|,或尸片(舍去)

所以BC=10x=15,AB=14x=21,

又因为sinzBAC=更变型=$也=在

AB21214

:NBAC=3813',或NBAO14147'(钝角不合题意，

舍去)，

:38°13'+45=83。13'

答：巡逻艇应该沿北偏东8313方向去追，经过1.4小

时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定

义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，

必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而

得出实际问题的解

II.课堂练习

课本第16页练习

IV.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：

(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，

依次利用正弦定理或余弦定理解之。

(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这

时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐

步在其余的三角形中求出问题的解。

V.课后作业

《习案》作业六

L2解三角形应用举例第四课时一、教学目标1、能

够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决

有关三角形的问题，掌握三角形的面积公式的简单推

导和应用2、本节课补充了三角形新的面积公式，巧

妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，

循序渐进地具体运月于相关的题型。另外本节课的证

明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让

学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理

和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学

生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有

利地进一步突破难点。3、让学生进一步巩固所学的

知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一

步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉

悦的成功体验二、教学重点、难点重点：推导三角形

的面积公式并解决简单的相关题目难点：利用正弦定

理、余弦定理来求证简单的证明题三、教学过程L

课题导入［创设情境］师：以前我们就已经接触过了三

角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公

式。在4ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为

ho、hz、h,那么它们如何用已知边和角表示？生：

h=bsinC=csinBh.=csinA=asinC

h=asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公

式S=，ah,应用以上求出的高的公式如ho=bsinC代

入，可以推导出下面的三角形面积公式，辨为bsinC,

大家能推出其它的几个公式吗？生：同理可得，

^IbcsinA,S=lacsinBII.讲授新课［范例讲解］例1、在

AABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确

到0.km?)⑴已知a=14cm,c=24cm,B=15O°;

(2)已矢口B=60°,C=45,b=4cm;(3)已矢口三

边的长分别为a=3cm,b=4cm,c=6cm分析：这是一

道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三

角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积

的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，

就可以求出三角形的面积。解：略例2、如图，在某市

进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成

室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长

分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？(精

确到0.Icm2)?

思考：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？

本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，

再利用三角形的面积公式求解。

解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推

论,

CQ§B=c+/*=1272+68--88—-0.7532

2ca2x127x68

sinB=41・0.75322〜0.6578应用

S=VacsinB

S^1x68x127x0.6578^2840.38

2

答：这个区域的面积是2840.38m2。

变式练习1:已知在AABC中，NB=30,b=6,c=6J3,求

a及AABC的面积S

提示：解有关已知两边和其中一边对角的问

题，注重分情况讨论解的个数。

答案：a=6,S=9d5;a=12,S=18d3

例3、在AABC中，求证：

(])a2_sin2/14-sin:B

~~sin2c

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC)

分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问

题，观察式子左右两边的特点，用正弦定理来证明

证明：(1)根据正弦定理，可设

」_=3=二=k显然"0,所以

siEsinC

左边=《+/>._Nsin'"/一/B=sin\"sin、B=彳

e2k2sin2Csin2C

边

(2)根据余弦定理的推论,

右边=2(bc"-一”+ca上+<i*士+ab'J+M

2hclea2ab-)

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左边

变式练习2:判断满足sinC=$叱+§吗条件的三角

COS/1+COSD

形形状

提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为

角”或“化角为边”（解略）直角三角形

III.课堂练习课本第18页练习第1、2、3题

IV.课时小结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只

含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察

边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些

条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者

混用。

V.课后作业

《习案》作业七

1.2解三角形应用举例第一课时一、教学目

标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解

决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相

关术语2、激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应

用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意

和应用转化思想解决数学问题的能力二、教学重点、

难点教学重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角

形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解教学难

点：根据题意建立数学模型，画出示意图三、教学设

想1、复习旧知复习提问什么是正弦定理、余弦定理

以及它们可以解决哪些类型的三角形？2、设置情境请

学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”

中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我

们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进

的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方

法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距

离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如

可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解

直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题

的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足

够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，

有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前

的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、

余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测

量距离。新课讲授(1)解决实际测量问题的过程一

般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题

里的条件和所求转换成二角形中的已知和未知的边、

角，通过建立数学模型来求解(2)例1、如图，设A、

B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者

在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC

的距离是55m,NBAC=Si°,ZACB=75°o求A、B两

点的距离（精确到0.1m）图L2T

提问1:ZSABC中，根据已知的边和对应角，运用哪

个定理比较适当？提问2:运用该定理解题还需要那

些边和角呢？请学生回答。分析：这是一道关于测量

从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离

的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为己知

边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知

角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：

根据正弦定理，得5m4cg二m4cAB=

dCsinZ/4C8=55§in4C8=55sio750=$5sin75®65.7（m）

sinZIUCsin乙IBCsinflM09-5r-75°）sin54°

答？A、B两点间的距离为65.7米变式练习：两灯塔A、

B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察

站C的北偏东30,灯塔B在观察站C南偏东60,

则A、B之间的距离为多少？老师指导学生画图，建

立数学模型。解略：Vzakm例2、如图，A、

B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、

B两点间距离的方法。分析：这是例1的变式题，研

究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先

需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正

弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求

出另两边的方法，分别求出AC和BC,再利用余弦

定理可以计算出AB的距离。

图I—解：测量者可以在河岸

边选定两点C、D,测得CD=a,并且在C、D两点分

别测得ZBCA=a,ZACD=p,ZCDB-y,NBDA=8,

在AADC和4BDC中，应用正弦定理得

AC=，)=催叱+切

sin(l80°sin(£“+研

=

BCtfsin/=asiny

sin[I8(F-(a+6+sin<a+夕♦力

计算出AC和BC后，再在AABC中，应用余弦定

理计算出AB两点间的距离

AB=^4C2+BC2-2ACxBCcosa

分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方

法进行对比、分析。

变式训练：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测

得ZBCA=60°,ZACD=3O,NCDB=45,NBDA=60・

略解：将题中各已知量代入例2推出的公式，得

AB=20#

评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可

以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，

如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的

特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。

3、学生阅读课本4页，了解测量中基线的概念，并找

到生活中的相应例子。

4、课堂练习：课本第14页练习第1、2题

5、归纳总结

解斜三角形应用题的一般步骤：

(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意

图

(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与

求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个

解斜三角形的数学模型

(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三

角形，求得数学模型的解

(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，

从而得出实际问题的解

四、课后作业

1、课本第22页第1、2、3题

2、思考题：某人在M汽车站的北偏西20•的方向上的

A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行

驶。公路的走向是M站的北偏东40。。开始时，汽

车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到

A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才

能到达M汽车站?

c

解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达

B处。在AABC中，AC=31,BC=20,AB=21,由余

弦定理得

cosC=更*《4"里,

2ACBC31

则sinC=1-cosC=空,

3r'

sinC=殴

31，

所以sinZMAC=sin(120-C)=sin120cosC

-cosl20sinC=羽1

62

在AMAC中，由正弦定理得

MC=4CsinZM4C=31乂356=35

sinZAMCVTX62

7

从而有MB=MC-BC=15

答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。

作业：《习案》作业三

2.1数列的概念与简单表示法(二)教学要求：了解

数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；

会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列

的前n项和与时的关系.教学重点：根据数列的递推公

式写出数列的前几项.教学难点：理解递推公式与通项

公式的关系.教学过程：一、复习：D.以下四个数中，

是数列｛n(n+l)｝中的一项的是(A)A.380B.39

C32D182).设数列为V2,75,2V2,J11…则4J2是该

阚的(OA第9项B.第10项C.第11项

D.第12项3).数列1,-2,3,-4,5的一个通项公式为

a=(-lfno4)、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基

(Sierpinski)三角形。在下图4个三角形中，着色三

角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个

数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图

象。二、探究新知(一)、观察以下数列，并写出其通

项公式：(1)1,3,5,7,9,11,-

a=2n-1(2)0,-2,-4,-6,-8,…

a=-2(n-1)(3)3,9,27,81,...

酝3'思考：除了用通项公式外，还有什么办法可

以确定这些数列的每一项？

(l)ai=l,a2=3=l+2=ai+2,a3=5=a2+2,...,a,=a,-+2

(2)ai=0,a=a-l-2

(3)ai=3,a=3a-l

(二)定义：已知数列｛a,｝的第一项(或前几项)，且

任一项a,与它的前一项a,(或前几项)间的

关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫

做这个数列的递推公式.

练习：运用递推公式确定一个数列的通项：

(1)2,5,8,11,•…ai=2,a=a-

l+3(n>2)

(2)1,1,2,3,5,8,13,21,―

ai=l,a2=l,a,=a-+a-2(n>3)

例1:已知数列｛a,｝的第一项是1,以后的各项由公式

=给出，写出这个数列的前五项.

%

解:1AC

若记数列E｝的前n项之和为S,,贝忆(〃-2)

S](〃=1)

练习：已知数列｛&｝的前n项和

为：(1)S,=2层n;(2)SR%i+l,求数列(&｝的通项公式.

例2.已知&i=2,a=a,-4,求a,•

解法一:可以与出：31=2初=223=6,34=101..,双^^1得：

a,=2+(n-1)(-4)=2-4(n-1)

观察法

解法二：

由题设：a-a,=-4,

.•a-a---4

a-l-a,-2=-4

a-2-a「3=-4一累

a2-ai=-4

相加得：a,-ai=-4(n-l)

an=2-4(n-l)

加法

例3:已知a〕=2,a=2a2,求

解法一：

解法二：------迭乘法

由a=2a,

ai=2,a2=2x2=22,

a3=2x22=23,...,.・・%=2%」,即2=2

观察可得a。=2"—

・-……=

%

三、课堂小结：・・・31・2”」=2"

1.递推公式的概念；

2.递推公式与数列的通项公式的区别是：

(1)通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递

推公式反映的是相临两项(或n项)之间的关系.

⑵对于通项公式，只要将公式中的n依次取1,2,3,4…

即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前

n项），才可依次求出其他项.

3.用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加

法、迭乘法.

四、作业

1•阅读教材P30——33面

2.《习案》作业十

2.1数列的概念与简单表示法（一）一、教学要求：

理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关

系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列

的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项

的特征写出它的一个通项公式.二、教学重点、教学难

点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.

难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的

通项公式.三、教学过程：导入新课“有人说，大

自然是麒学的”“树木的，。。。。。”，（一）、复习准

备：1•在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程

的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之梗，

日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，

畿工部“1，，

取其一半剩I，再取一半还剩7，、、、、、、，如此

下去，即得到1,g,机,电通专气2生活中的三角

形数、正方形数.阅读教材提问：这些数有什么规

律？与它所表示的图形的序号有什么关系？（二）、

讲授新课：1.教学数列C及其有关概念：（1）

234.......

三角形数：1,3,6,10,-（2）正方形

数：1,4,9,16,-（2）1,2,3,4…的倒数排

列成的一列数：

（3）-1的1次幕，2次幕，3次幕，……排列成一

列数：-1,1,-1,1,-1,ooooo（4）无穷多个1排列

成的一列数：1,1,1,1,。。。。。。有什么共同特点？1.

都是一列数；2.都有一定的顺序①数列的概念：按

照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一

个数叫做这个数列的项.辩析数列的概念：（1）“1,2,

3,4,5”与"5,4,3,2,1”是同一个数列吗？与

“132,4,5”呢?---------数列的有

序性（2）数列中的数可以重复吗？（3）数列与集合

有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，

数列讲究：有序性、可重复性、确定性。

②数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为

这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称

为这个数列的第2项......1胜第n位的数称为

这个数列的第n项.

③数列的一般形式可以写成a,a,a,…,a,…，简记为{a,}.

④数列的分类：（1）按项数分：有穷数列与无穷数列，

（2）按项之间的大小关系：递增数列、

递减数列、常数列与摆动数列.

⑤数列中的数与它的序号有怎样的关系？

序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变

动的量。把数列看作函数。

即：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限

子集的函数，当自变量从小到大依次取值对

应的一列函数值。反过来，对于函数y=f(x),

如果fo)a=l、2、3、4)有意义,可以得到一个数

列:f(l)\f^)\f(3)\,.

如果数列｛a,｝的第n项与项数之间的关系可以用

一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通

项公式。

函数数列(特殊的

函数)

定义域R或R的子集N°或它的子

集

解析式y=f(x)a=f(n)

图象点的集合一些离散的

点的集合

2.应用举例

例1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项

分别是下列各数：

(1)⑵2,0,2,0.

练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个

通项公式：

(1)3,5,7,9,11,……;(2)21XX

39斶9翦9融.

W

嬴...；

(3)0,1,0,1,0,1,……;(4)1,3,3,5,5,7,

7,9,9,.........;

(5)2,—6,18,—54,162,…….

例2.写出数列t片旌.•的一个通项公式，并判断它

的增生。

思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列

的前几项写出的通项公式是唯一的吗？

例3.根据下面数列匕,｝的通项公式，写出前五项：

(1)%^⑵a,=(-l)”，n

您

例4.求数列｛-2n2均n+3｝中的最大项。

例5.已知数列｛a,｝的通项公式为a,二log,(r?+3)-2,求，3

是这个数列的第几项？

三.小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应

用.

四、巩固练习：

1.练习：P31面1、2、题、

2.作业：《习案》九