2025年北师版八年级数学寒假复习 专题05 代数复习篇-位置与坐标、一次函数

专题05代数复习篇-位置与坐标、一次函数题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺提升专练：真题感知+精选专练，全面突破【题型1确定位置】【题型2平面直角坐标系】【题型3轴对称与坐标变化】【题型4坐标变换作图题】【题型5函数有关的概念】【题型6正比例函数】【题型7一次函数的图像与性质】【题型8一次函数的实际应用】【题型9一次函数的几何应用】【题型10解答题】知识点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思。知识点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：知识点三、坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．2．用坐标表示点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．知识点四、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.知识点五、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.

是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.

函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.知识点六、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.知识点七、一次函数的图象及性质

1、函数的图象

如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

要点：直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.

2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）题型归纳【题型1确定位置】1．若将教室里第5行、第3列的座位表示为（5，3），则第4行、第6列的座位表示为．2．下列数据中不能确定物体位置的是（）A．电影票上的“5排8号”B．小明住在某小区3号楼7号C．南偏西37°D．东经130°，北纬54°的城市3．如图是雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的位置分别表示为(120°，5)，(240°，4)，按照此方法可以将目标C的位置表示为（）A．(30°，1) B．(210°，6) C．(30°，6) D．(60°，2)4．如图是某个小岛的简图，试用数的对表示出相关地点的位置．【题型2平面直角坐标系】5．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（）A．实数 B．有理数C．有序实数对 D．有序有理数对6．下列语句正确的是（

）．A．在平面直角坐标系中，与表示两个不同的点B．平行于轴的直线上所有点的横坐标都相同C．若点在轴上，则D．点到轴的距离为37．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到轴的距离等于4，则点的坐标是（

）A．或 B．或 C．或 D．或8．已知点在轴上，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【题型3轴对称与坐标变化】9．已知点P(﹣2，4)与点Q关于原点对称，那么点Q的坐标是．10．在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（

）A． B． C． D．11．在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，得到的点的坐标为（

）A． B． C． D．12．已知点与点关于x轴对称，则．13．已知点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称，那么m+n的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．214．点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（

）A． B． C． D．【题型4坐标变换作图题】15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，(1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标．(2)的面积为__________．(3)在轴上画一点，使得的值最小．16．如图所示，平面直角坐标系中，已知，，．(1)在平面直角坐标系中画出．(2)请画出关于轴对称的，并写出各顶点坐标．(3)已知为轴上的动点，当和的面积相等时，求点的坐标．【题型5函数有关的概念】17．函数中自变量x的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．−218．下列表示的图象，y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

19．若与成正比例，则y是x的（

）A．正比例函数 B．－次函数C．没有函数关系 D．以上答案均不正确20．下列函数中，一次函数一共有（）个．（1）；（2）y＝kx+b；（3）y＝3x；（4）y＝（x+1）2﹣x2；（5）y＝x2﹣2x+1．A．1 B．2 C．3 D．421．若关于的函数是一次函数，则的值为．【题型6正比例函数】22．已知正比例函数图像经过点，则此函数图像必经过（

）A． B． C． D．23．如果正比例函数的自变量增加5，函数值减少2，那么当时，．24．正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是．【题型7一次函数的图像与性质】25．点在函数的图象上，则代数式的值等于．26．对于一次函数，下列说法正确的是（

）A．图象不经过第四象限 B．随的增大而增大C．图象经过点. D．若点都在图象上，且，则27．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（

）A． B． C． D．28．已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围．29．若一次函数图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式是．30．已知点P在直线上，且点P到y轴的距离为1，则点P的坐标为．31．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致应为（

）A．

B．

C．

D．

32．已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是．33．直线与x轴交于点，下列说法正确的是（）A．B．直线上两点，若，则C．直线经过第四象限D．关于x的方程的解为【题型8一次函数的实际应用】34．清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量与所需金额（元）的函数关系如图所示．小丽用元去购买该种水果，则她购买的数量为（

）A． B． C． D．35．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应．当两种收费相差元时，的值为．36．已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y(米)与甲所用的时间x(分钟)之间的关系如图所示．（1）站点B到C地的距离为米；（2）当x=时，甲、乙两人相遇．37．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．以下叙述正确的有（

）①轿车行驶的速度为；②货车行驶的速度为；③线段所在直线的函数表达式为；④两车出发2小时或4小时后相距．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【题型9一次函数的几何应用】38．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、点B，过点A作直线将分成周长相等的两部分，则直线的函数表达式为()A． B． C． D．39．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（

）A． B． C． D．40．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等．A．2 B．4 C．5 D．6【题型10解答题】41．已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x的函数关系式；(2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值．42．已知一次函数．

(1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象；(2)把该函数图象向下平移3个单位，判断点是否在平移后的直线上．43．已知与成正比例，且当时，．(1)求与之间的函数表达式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象；并结合图象，当时，直接写出的取值范围．44．校本研修是种针对学校教职工进行的专业培训和提升的方式，自在通过集中培训活动来促进教师专业发展和学校教育水平的提高．为推进基层学校更好地开展校本研修，2024年昭通市某校需要印刷批校本研修（听课）记录册，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为（份），甲、乙两个印刷厂的收费分别为（元）和（元）．(1)分别求和关于的函数表达式；(2)根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？45．如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点．(1)求点的坐标．(2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标．46．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点．(1)求线段的长；(2)当时，求点的坐标；(3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值．过关检测一、单选题1．在平面直角坐标系中，点落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于C．与轴交于 D．随的增大而减小3．甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车；②乙车行驶的速度是；③两地相距；其中正确的个数是（

）A． B． C． D．二、填空题4．小明从镜子里看到镜子对面墙上的时钟如图所示，则实际时间是．5．若点和点在一次函数的图象上，则（用“”、“”或“”连接）．6．在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，则经过第次变换后所得的点对应点的坐标是．三、解答题7．已知一次函数．(1)当为何值时，图像与直线的交点在轴上？(2)当为何值时，图像平行于直线？(3)当为何值时，随的增大而减小？8．一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点．（1）求一次函数的表达式；（2）画出一次函数的图象；（3）结合图象解答下列问题：①当时，的取值范围是___________；②当时，的取值范围是___________；9．在平面直角坐标系中，，，连接AB交y轴于C．(1)求出点C的坐标；(2)如图1，点P是y轴上一点，且三角形的面积为8，求点P的坐标；(3)如图2，直线BD交x轴于，将直线BD平移经过点A交y轴于E，点在直线上，且，直接写出点Q横坐标x的值．

专题05代数复习篇-位置与坐标、一次函数题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺提升专练：真题感知+精选专练，全面突破【题型1确定位置】【题型2平面直角坐标系】【题型3轴对称与坐标变化】【题型4坐标变换作图题】【题型5函数有关的概念】【题型6正比例函数】【题型7一次函数的图像与性质】【题型8一次函数的实际应用】【题型9一次函数的几何应用】【题型10解答题】知识点一、有序数对把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中经常以有序数对为工具表达一个确定的意思。知识点二、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图：知识点三、坐标方法的简单应用1．用坐标表示地理位置(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．2．用坐标表示点的平移点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))．知识点四、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为(a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为(－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为(－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.知识点五、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.

是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.

函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.知识点六、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数.知识点七、一次函数的图象及性质

1、函数的图象

如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.

要点：直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图象之间可以相互转化.

2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）题型归纳【题型1确定位置】1．若将教室里第5行、第3列的座位表示为（5，3），则第4行、第6列的座位表示为．【答案】【分析】根据题意用有序实数对表示位置即可，第一个数是行数，第二个数是列数，据此写出即可【解析】若将教室里第5行、第3列的座位表示为（5，3），则第4行、第6列的座位表示为；故答案为：【点睛】本题考查了用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键．2．下列数据中不能确定物体位置的是（）A．电影票上的“5排8号”B．小明住在某小区3号楼7号C．南偏西37°D．东经130°，北纬54°的城市【答案】C【分析】根据以坐标确定位置需要两个数据对各选项进行判断即可．【解析】A．电影票上的“5排8号”，位置明确，故本选项不符合题意；B．小明住在某小区3号楼7号，位置明确，故本选项不符合题意；C．南偏西37°，位置不明确，故本选项符合题意；D．东经130°，北纬54°的城市，位置明确，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了坐标确定位置，理解位置的确定需要两个数据是解答本题的关键．3．如图是雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标A，B的位置分别表示为(120°，5)，(240°，4)，按照此方法可以将目标C的位置表示为（）A．(30°，1) B．(210°，6) C．(30°，6) D．(60°，2)【答案】C【分析】根据点A、B的位置表示方法可知，横坐标为度数，纵坐标为圈数，由此即可得到目标C的位置．【解析】解：∵A，B的位置分别表示为(120°，5)，(240°，4)，∴目标C的位置表示为(30°，6)，故选：C．【点睛】此题考查了有序数对，正确理解有序数对的表示方法及图形中点的位置是解题的关键．4．如图是某个小岛的简图，试用数的对表示出相关地点的位置．【答案】码头，营房，雷达，小广场，哨所1，哨所2【分析】根据图中的格点中的数据，用数对表示位置即可．【解析】根据题图可知，码头，营房，雷达，小广场，哨所1，哨所2【点睛】本题考查了利用有序实数对表示位置，理解题意是解题的关键．【题型2平面直角坐标系】5．与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系的是（）A．实数 B．有理数C．有序实数对 D．有序有理数对【答案】C【分析】根据平面直角坐标系与有序实数对的关系，可得答案【解析】有序实数对与平面直角坐标系中的点具有一一对应关系，故选C．【点睛】本题考查了点的坐标，关键是知道平面直角坐标系与有序实数对一一对应6．下列语句正确的是（

）．A．在平面直角坐标系中，与表示两个不同的点B．平行于轴的直线上所有点的横坐标都相同C．若点在轴上，则D．点到轴的距离为3【答案】A【分析】根据平行与坐标轴的直线上点的坐标特点、坐标的概念、坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离等知识点逐一判断即可得.【解析】A.在平面直角坐标系中，(−3，5)与(5，−3)表示两个不同的点，此选项正确，符合题意；B.平行于x轴的直线上所有点的纵坐标都相同，此选项错误，不符合题意；C.若点P(a，b)在y轴上，则a=0，此选项错误，不符合题意；D.点P(−3，4)到x轴的距离为4，此选项错误，不符合题意；故选：A.【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，解题的关键是掌握平行与坐标轴的直线上点的坐标特点、坐标的概念、坐标轴上点的坐标特点及点到坐标轴的距离等知识点.7．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到轴的距离等于4，则点的坐标是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等求出，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出，然后写出点的坐标即可．【解析】解：点与点在同一条平行于轴的直线上，，到轴的距离等于4，，点的坐标为或．故选：C．【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于轴的直线上点的坐标特征，点到轴的距离等于横坐标的绝对值．8．已知点在轴上，则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据在x轴上的点的性质求出m的值，即可求出点的坐标．【解析】∵点在轴上∴解得即∴点故答案为：B．【点睛】本题考查了点坐标的问题，掌握在x轴上的点的性质是解题的关键．【题型3轴对称与坐标变化】9．已知点P(﹣2，4)与点Q关于原点对称，那么点Q的坐标是．【答案】（2，-4）【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【解析】解：点P（-2，4）与点Q关于原点对称，则点Q的坐标（2，-4），故答案是：（2，-4）．【点睛】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．10．在平面直角坐标系中，将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可求解【解析】解：将点向右平移3单位长度，再向上平移4个单位长度正好与原点重合，，，点A的坐标是，故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，熟记平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．11．在平面直角坐标系中，将点绕原点旋转，得到的点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】点P绕原点旋转180°，实质是点P关于原点对称，根据点关于原点对称的特点即可求得点Q的坐标．【解析】由题意知，点P、Q关于原点对称，两点关于原点对称的特点是：横坐标与纵坐标分别变为它们的相反数，则点Q的坐标为．故选：A．【点睛】本题考查了关于原点对称的两点之间的坐标特征，弄清其坐标特征是本题的关键．12．已知点与点关于x轴对称，则．【答案】8【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的特点，以及代数式求值，先根据关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标相反得出a，b的值，然后代入代数式求解即可．【解析】解：∵点与点关于x轴对称，∴，，∴，故答案为：8．13．已知点A（m，2）与点B（1，n）关于y轴对称，那么m+n的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【答案】B【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此先求出m，n的值，然后代入代数式求解即可得．【解析】解：∵与点关于y轴对称，∴，，∴，故选：B．【点睛】题目主要考查点关于坐标轴对称的特点，求代数式的值，理解题意，熟练掌握点关于坐标轴对称的特点是解题关键．14．点向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，则点B的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．【解析】解：点A的坐标为（3，5），将点A向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，点B的横坐标是：33=6，纵坐标为：5+4=1，即（6，1）．故选：C．【点睛】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．【题型4坐标变换作图题】15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，(1)画出关于轴对称的，并写出点的坐标．(2)的面积为__________．(3)在轴上画一点，使得的值最小．【答案】(1)见解析，(2)5.5(3)见解析【分析】本题主要考查作图—轴对称变换．（1）分别作出三个顶点关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）用长方形的面积减去四周三个三角形的面积；（3）连接，与x轴的交点即为所求．【解析】（1）解：如图所示，；（2）解：，故答案为：5.5；（3）解：如图，连接与x轴交于P，则此时的值最小，点P即为所求．16．如图所示，平面直角坐标系中，已知，，．(1)在平面直角坐标系中画出．(2)请画出关于轴对称的，并写出各顶点坐标．(3)已知为轴上的动点，当和的面积相等时，求点的坐标．【答案】(1)见解析(2)见解析，；；(3)或【分析】本题主要考查了网络作图，轴对称，平移，三角形面积等，掌握在网络图中作图，关于y轴对称的点坐标特征，点沿y轴平移的坐标特征.网络三角形面积计算是关键.(1)根据，，，在平面直角坐标系网格图中描点，用线段顺次连接各点，得到，(2)利用轴对称的性质分别作出A,B,C的对应点即可；(3)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形面积即可.【解析】（1）如图为所求（2）如图为所求；；（3）设，，，故或，故点的坐标为或．【题型5函数有关的概念】17．函数中自变量x的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．−2【答案】C【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可．【解析】解：由题意，得：，∴，故自变量x的取值可以是2；故选C．18．下列表示的图象，y是x的函数的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据函数的定义识别函数的图象的方法即可求解．【解析】解：A、y不是x的函数的图象，故不符合题意；B、y不是x的函数的图象，故不符合题意；C、y不是x的函数的图象，故不符合题意；D、y是x的函数的图象，故符合题意；故选D．【点睛】本题考查了函数的图象，熟练掌握根据定义识别函数的图象的方法是解题的关键．19．若与成正比例，则y是x的（

）A．正比例函数 B．－次函数C．没有函数关系 D．以上答案均不正确【答案】B【分析】根据正比例函数及一次函数的定义解答即可．【解析】解：∵与成正比例，∴设，整理得：，∴y是x的一次函数，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了一次函数与正比例函数的联系，解题的关键是求出函数的关系式．20．下列函数中，一次函数一共有（）个．（1）；（2）y＝kx+b；（3）y＝3x；（4）y＝（x+1）2﹣x2；（5）y＝x2﹣2x+1．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据一次函数的定义，逐一判断即可．【解析】解：（1）y＝+1不是一次函数，不符合题意；（2）y＝kx+b中，当k＝0时不符合题意；（3）y＝3x是一次函数，符合题意；（4）y＝（x+1）2﹣x2=2x+1是一次函数，符合题意；（5）y＝x2﹣2x+1不是一次函数，不符合题意；综上，一共有2个一次函数，故选：B．【点睛】本题考查了一次函数的定义，准确掌握该定义是解题的关键．21．若关于的函数是一次函数，则的值为．【答案】1【分析】由一次函数的定义可知，，从而可求得m的值．【解析】解：∵关于x的函数是一次函数，∴，．解得．故答案为：1．【点睛】本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键．【题型6正比例函数】22．已知正比例函数图像经过点，则此函数图像必经过（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正比例函数的解析式为，通过待定系数法求出正比例函数的解析式，然后逐一代入验证即可．【解析】设正比例函数的解析式为，∵正比例函数图像经过点，，，∴正比例函数的解析式为，A中，当时，，∴函数图象过点，故该选项正确；B中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；C中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；D中，当时，，∴函数图象不过点，故该选项错误；故选：A．【点睛】本题主要考查正比例函数，掌握待定系数法是解题的关键．23．如果正比例函数的自变量增加5，函数值减少2，那么当时，．【答案】【分析】根据可得当时，，当时，，再根据自变量和函数值的变化关系可得，从而求得正比例函数解析式，再把代入求值即可．【解析】解：由题意可得，当时，，∵正比例函数的自变量增加5，函数值减少2，∴时，，∴，∴，∴正比例函数解析式为．∴当时，．【点睛】本题主要考查正比例函数的概念及性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．24．正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是．【答案】/【分析】本题考查了正比例函数的图像与系数的关系；根据正比例函数的图像经过第一、三象限时列式解答即可．【解析】解：∵正比例函数的图像经过第一、三象限，∴，解得：，故答案为：．【题型7一次函数的图像与性质】25．点在函数的图象上，则代数式的值等于．【答案】【分析】根据已知条件可得，代入代数式即可求解．【解析】解：∵点在函数的图象上，∴即∴，故答案为：．【点睛】本题考查了求函数关系式，代数式求值，熟练掌握函数的定义是解题的关键．26．对于一次函数，下列说法正确的是（

）A．图象不经过第四象限 B．随的增大而增大C．图象经过点. D．若点都在图象上，且，则【答案】D【分析】根据一次函数的性质逐项进行分析即可．【解析】解：A、，，故图象经过第一、二、四象限，故错误，不符合题意；B、，所以随的增大而减小，故不正确，不符合题意．C、当时，．所以图象不过，不符合题意；D、随的增大而减小，若点，，，都在图象上，且，则，故正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象与系数的关系．27．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向下平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一次函数的平移规律求解即可．【解析】解：正比例函数的图象向下平移3个单位长度得：，故选：C．【点睛】题目主要考查一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题关键．28．已知一次函数的图象不经过第二象限，则的范围．【答案】【分析】根据一次函数经过的象限得到，求解即可．【解析】解：∵一次函数的图象不经过第二象限，∴图象经过第一，三，四象限，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了一次函数的性质：时图象经过一，二，三象限；时图象经过第一，三，四象限；时图象经过一，二，四象限；时经过二，三，四象限，熟记一次函数的性质是解题的关键．29．若一次函数图象与直线平行，且过点，则此一次函数的解析式是．【答案】/【分析】设一次函数的解析式是，根据两直线平行求出，把点的坐标代入函数解析式，求出b即可．【解析】解：设一次函数的解析式是，∵一次函数图象与直线平行，∴，即，∵一次函数的图象过点，∴代入得：，解得：，即，故答案为：．【点睛】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题的关键．30．已知点P在直线上，且点P到y轴的距离为1，则点P的坐标为．【答案】或【分析】根据点P到y轴的距离是1可得出点P的横坐标是，再求出其纵坐标的值即可．【解析】解：∵点P在直线上，且点P到y轴的距离是1，∴点P的横坐标是，∴当时，；当时，，∴点P的坐标为：或．故答案为：或．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．31．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致应为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据图象分别确定的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能．【解析】解：根据图象知：A、，则，正比例函数的图象不对，不符合题意；B、，则．图象正确，符合题意；C、当，过一、二、三象限，不符合题意；D、正比例函数的图象不对，不符合题意；故选：B．【点睛】一次函数的图象有四种情况：①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．32．已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是．【答案】或【分析】先根据面积求出三角形在轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．【解析】解：根据题意，设与轴交点坐标为则，解得，，当时，与轴交点为∴，解得，函数解析式为；当时，与轴的交点为∴解得，函数解析式为．这个一次函数的解析式是或．故答案为：或．【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．33．直线与x轴交于点，下列说法正确的是（）A．B．直线上两点，若，则C．直线经过第四象限D．关于x的方程的解为【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数的图象和系数的关系、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的性质、一次函数与方程的关系逐项判断即可．【解析】解：A．由与x轴交于点，则，解得，故A错误，不符合题意；B．由，则y随x的增大而增大，直线上两点，若，则，故B错误，不符合题意；C．由、，则直线经过一、二、三象限，故C错误，不符合题意；D．由直线与x轴交于点，则当时，函数，即关于x的方程的解为，故D正确，符合题意．故选：D．【题型8一次函数的实际应用】34．清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．店庆来临之际，某超市对清徐葡萄采取促销方式，购买数量超过5千克后，超过的部分给予优惠，水果的购买数量与所需金额（元）的函数关系如图所示．小丽用元去购买该种水果，则她购买的数量为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一次函数的运用，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．根据图示，可得小丽用元去购买该种水果，数量应超过，应根据点，运用待定系数法求出解析式，即求解．【解析】解：根据图示，当时，，∵小丽用元去购买该种水果，∴小丽购买的水果数量应超过，已知点，∴设由此函数解析式为：，∴，解得，，∴一次函数解析式为，∵小丽用元去购买该种水果，∴，解得，，∴她购买的数量为，故选：D．35．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有、两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌的收费方式对应，品牌的收费方式对应．当两种收费相差元时，的值为．【答案】或【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是从图象中获取信息，求出相关直线的函数解析式．利用待定系数法求解各对应函数解析式，又根据题意和图象可知：两种收费相差元时分两种情况，列出相应的方程求解即可．【解析】解：设品牌的函数关系式为∵点在函数的图象上，∴，解得，∴品牌的函数关系式为．故答案为：；由图可知，两种收费相差元时，可能在内或以后①在内时，，解得；②在以后时，设品牌的函数关系式为∵点，在该函数图象上，∴，解得：，∴品牌的函数关系式为，∴，解得因此的值为或，故答案为：或．36．已知A，C两地之间有一站点B，甲从A地匀速跑步去C地，2分钟后乙以50米/分钟的速度从站点B走向C地，两人到达C地后均原地休息．甲、乙两人与站点B的距离y(米)与甲所用的时间x(分钟)之间的关系如图所示．（1）站点B到C地的距离为米；（2）当x=时，甲、乙两人相遇．【答案】80010【分析】（1）由图象可知乙从站点B到C地所用时间，再用时间×速度=路程得出结论；（2）先求出甲的速度，再根据追击问题写出方程，解方程即可．【解析】解：（1）根据题意，站点B到C地的距离为：50×(18-2)=800(米)，故答案为：800；（2）由图象可知甲的速度：400÷5=80(米/分)，设经过x分钟，甲、乙两人相遇，则80x=400+50(x-2)，解得x=10，∴甲出发10分钟，甲、乙两人相遇，故答案为：10．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的实际含义，并根据题意列方程是解题的关键．37．货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行．轿车出发后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为x（单位：），货车、轿车与甲地的距离为（单位：），（单位：），图中的线段、折线分别表示与之间的函数关系．以下叙述正确的有（

）①轿车行驶的速度为；②货车行驶的速度为；③线段所在直线的函数表达式为；④两车出发2小时或4小时后相距．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键．根据图形可得轿车行驶千米，用路程除以时间可得轿车的速度计可以判断①，根据图形可得小时的路程为600千米，根据路程除以时间求得货车的速度，可以判断②；设直线的解析式为：，待定系数法求解析式，继而得到点的坐标为，根据题意得出点坐标为：，然后待定系数法求解析式即可判断③；待定系数法求得解析式，根据Ⅰ当轿车休息前与货车相距时，Ⅱ当轿车休息后与货车相距时，分别列出一元一次方程，解方程即可求解判断④．【解析】解：由图象可得，轿车行驶千米，轿车的速度为：，故①正确；由图象可得，货车行驶的速度为：，故②错误；由题意可得所在直线为关于x的正比例函数，设直线的解析式为：，将代入得：，解得，∴；则时，，∴点的坐标为，∵轿车在休息前行驶，休息后按原速度行驶，∴轿车行驶后需．∴点坐标为：．设线段所在直线的函数表达式为，将点代入得：，解得，∴线段所在直线的函数表达式为，故③正确；设段的函数解析式为，将代入得：，解得，∴．Ⅰ当轿车休息前与货车相距时，有，，解得；Ⅱ当轿车休息后与货车相距时，有，，解得．即两车出发小时或小时后相距．故④错误．正确说法有两个，故答案为：B．【题型9一次函数的几何应用】38．如图，一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A、点B，过点A作直线将分成周长相等的两部分，则直线的函数表达式为()A． B． C． D．【答案】D【分析】设直线与轴交于点，由已知条件求出点的坐标后利用待定系数法可以得到直线的函数表达式．【解析】解：分别令x=0和可得、的坐标为()、()，，则三角形的周长为如图，设直线与轴交于点)，则，即，，即的坐标为()，设的函数表达式为，由经过、可得：，解得：，的函数表达式为：，故选：D．【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象、勾股定理的应用及待定系数法求解析式的方法是解题关键．39．已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合、勾股定理及折叠的性质，熟练掌握一次函数的图象与性质及折叠的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后可得，设点，则有，进而根据勾股定理可进行求解．【解析】解：由折叠可知：，令时，则，解得：，令时，则，∴，∴，∴，∴，设点，则有，在中，由勾股定理可得，解得：；故选B．40．如图，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，于点M，点P为直线l上不与点A、B重合的一个动点．在y轴上存在（）个点Q，使得以O、P、Q为顶点的三角形与全等．A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】先求得点A、B的坐标，可求得的长，利用面积法即可求得的长，分与两种情况讨论，结合图形分析即可求解．【解析】解：对于直线，令，则，令，则，解得：，∴点A、B的坐标分别是，0,3，∴，，∴，∵∴；①当时，如图2和图3，由（1）得，∴，即P点横坐标为或，当P点横坐标为时，纵坐标为：，∴，当P点横坐标为时，纵坐标为：，∴，此时点P的坐标为或；②当时，如图4和图5，∴，即点P、点Q纵坐标为或，由，解得：，由，解得：，此时点P的坐标为或，综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或共4个．故选：B．【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，坐标与图形的性质，正确进行分类讨论是解题的关键．【题型10解答题】41．已知与成正比例，且当时，．(1)求y与x的函数关系式；(2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关键；（1）根据题意设设，再利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）把点代入（1）中的函数解析式即可得到答案．【解析】（1）解：设，当时，，解得：，与x的函数关系式为，即；（2）把代入得，∴．42．已知一次函数．

(1)在平面直角坐标系中，画出该函数图象；(2)把该函数图象向下平移3个单位，判断点是否在平移后的直线上．【答案】(1)详见解析(2)不在此函数的图象上【分析】（1）求出图象与坐标轴交点进而得出图象即可；（2）将代入求出y的值，进而判断得出点是否在图象上．【解析】（1）解：当，则，当，则，如图所示：

（2）解：把该函数图象向下平移3个单位得到，当，则，∴不在此函数的图象上．【点睛】此题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征、一次函数图象画法以及一次函数的平移，熟练记忆一次函数平移性质是解题关键．43．已知与成正比例，且当时，．(1)求与之间的函数表达式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数图象；并结合图象，当时，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意设与的关系式为：=（k≠0），代入求参数即可；（2）准确画出函数图像进行观察即可．【解析】（1）解：∵与成正比例，∴设：与的关系式为：=（k≠0），将：，，代入=得：k=2，∴=，∴与之间的函数表达式为：．（2）如图所示：当时，．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图像与性质，数形结合是解题的关键．44．校本研修是种针对学校教职工进行的专业培训和提升的方式，自在通过集中培训活动来促进教师专业发展和学校教育水平的提高．为推进基层学校更好地开展校本研修，2024年昭通市某校需要印刷批校本研修（听课）记录册，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为（份），甲、乙两个印刷厂的收费分别为（元）和（元）．(1)分别求和关于的函数表达式；(2)根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？【答案】(1)，(2)当时，选择甲印刷厂比较优惠，当时，选择乙印刷厂比较优惠【分析】本题考查一次函数的实际应用：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）求出两个函数的交点的横坐标，图象法进行判断即可．【解析】（1）解：设，由图象可知：，解得：，∴，，∴，∴；（2）当时，，解得：，由图象可知：当时，选择甲印刷厂比较优惠，当时，选择乙印刷厂比较优惠．45．如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点．(1)求点的坐标．(2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标．【答案】(1)(2)或【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求得；（2）利用直线的解析式求得，即可求得，，利用三角形面积求得，，然后分两种情况讨论，设的纵坐标为，列出关于的方程，解方程组求得的纵坐标，把纵坐标代入函数解析式求得横坐标即可．本题是两条直线相交问题，考查了交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，分类讨论是解题的关键．【解析】（1）解，得：，一次函数与的图象交点为．（2）由可知，由可知，，，，，设的纵坐标为，当在的上方，则，解得，当在的下方，则，解得，把代入，得x=0，把代入，得，点的坐标为或．46．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点．(1)求线段的长；(2)当时，求点的坐标；(3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先求出点坐标，得出，再根据等面积法建立等式，计算即可作答．（2）设点D的坐标为，结合，表达出的值，再结合（1）求出的解析式，表达出点F的坐标，根据建立等式，计算即可作答．（3）在上取点，，连接，运用勾股定理求出，然后得到，根据全等性质，得，，点，，三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答．【解析】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点，∴当，则，故；当，则，故；∴，∵，∴，即，∴，∴；（2）解：依题意，设点D的坐标为，∵过点作直线轴，交直线于点，交直线点．且，∴当，则，解得∴，即；过点C作由（1）知，，∴，根据等面积法，得，∴，则，设直线的解析式为，把代入，解得，∴直线的解析式为，则点，∴，∵，∴，解得，∴；（3）解：如图：在取，连接，作关于的对称点，连接，，，，，，，，，，，，由对称的性质可知，，则点，，三点共线时，则有最小值，此时最小值．【点睛】本题考查了一次函数的几何综合：求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度大，运算量大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过关检测一、单选题1．在平面直角坐标系中，点落在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，根据点A的横纵坐标都为负数即可得到答案．【解析】解：∵，∴在平面直角坐标系中，点落在第三象限，故选：C．2．若将直线向下平移3个单位长度后得到直线，则下列关于直线说法正确的是（）A．经过第一、二、四象限 B．与轴交于C．与轴交于 D．随的增大而减小【答案】D【分析】此题主要考查了一次函数图象的平移以及一次函数的性质，正利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．【解析】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线，A、直线经过第二、三、四象限，故本选项错误；B、直线与轴交于，故本选项错误；C、直线与轴交于，故本选项错误；D、直线，随的增大而减小，故本选项正确．故选：D．3．甲、乙两辆汽车从地出发到地，甲车提前出发，以的速度匀速行驶一段时间后，乙车沿同一路线匀速行驶，设甲、乙两车相距为，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：①甲车提前出发，乙车出发后追上甲车；②乙车行驶的速度是；③两地相距；其中正确的个数是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象和甲车行驶的速度，可得甲车小时行驶的路程为，由此即可判断①；根据在乙出发后追上甲，结合甲的速度即可判断②；根据乙车的速度，然后根据乙车在甲车出发小时后到达地，求出两地的距离即可判断③，据此即可求解，正确读懂函数图象是解题的关键．【解析】解：∵甲车的速度为，∴根据