2025版高中数学课时作业13直线与平面垂直的判定新人教A版必修2

PAGEPAGE1课时作业13直线与平面垂直的判定基础巩固1．如图1所示，假如MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()图1A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直解析：因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.明显直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交．答案：C2．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，肯定能推出m⊥β的是()A．α∥β，且m⊂α B.m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且n⊂β D.m⊥n，且n∥β解析：A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的随意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的随意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.答案：B3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()图2A．有且只有一个 B．至多一个C．有一个或多数个 D．不存在解析：若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．答案：B4．假如PA，PB，PC两两垂直，那么点P在平面ABC内的投影肯定是△ABC的()A．重心 B．内心C．外心 D．垂心解析：如图2，由PA，PB，PC两两相互垂直，可得AP⊥平面PBC，BP⊥平面PAC，CP⊥平面PAB，所以BC⊥OA，AB⊥OC，AC⊥OB，所以点O是△ABC三条高的交点，即点O是△ABC的垂心，故选D.答案：D图35．如图3，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________.解析：∵EA⊥α，CD⊂α，依据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.答案：CD⊥AB6．如图4所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．图4解析：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC))⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.答案：47．在三棱柱ABC­A′B′C′中，底面ABC是正三角形，AA′⊥底面ABC，且AB＝1，AA′＝2，求直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值．解：如图5所示，取A′B′的中点D，连接C′D，BD.图5∵底面△A′B′C′是正三角形，∴C′D⊥A′B′.∵AA′⊥底面ABC，∴A′A⊥C′D.又AA′∩A′B′＝A′，∴C′D⊥侧面ABB′A′，故∠C′BD是直线BC′与平面ABB′A′所成角．等边三角形A′B′C′的边长为1，C′D＝eq\f(\r(3),2)，在Rt△BB′C′中，BC′＝eq\r(B′B2＋B′C′2)＝eq\r(5)，故直线BC′与平面ABB′A′所成角的正弦值为eq\f(C′D,BC′)＝eq\f(\r(15),10).实力提升1．下列四个命题中，正确的是()①若一条直线垂直于一个平面内的多数条直线，则这条直线与这个平面垂直；②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线相互垂直；④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．A．①② B.②③C．②④ D.③④解析：若一条直线垂直于一个平面内的多数条平行的直线，则这条直线与这个平面不肯定垂直，所以①错误．若一条直线平行于一个平面，垂直于这条直线的直线也可能平行于这个平面，所以②错误．若一条直线平行于一个平面，则平面内必有一条直线与之平行，另一条直线垂直于这个平面，则该直线与平面内的那条直线垂直，从而这两条直线相互垂直，所以③正确．明显若两条直线垂直，则过其中一条直线与另外一条直线垂直的平面只有一个，所以④正确．答案：D2．若直线l不垂直于平面α，那么在平面α内()A．不存在与l垂直的直线B．只存在一条与l垂直的直线C．存在多数条直线与l垂直D．以上都不对解析：过斜足，简单在α内找到一条直线与l垂直，则在α内与此直线平行的多数条直线都与l垂直．答案：C3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交 B.相交但不肯定垂直C．垂直但不相交 D.不垂直也不相交图6解析：取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O，∴BD⊥面AOC，又AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.答案：C4．设α表示平面，a、b表示直线，给出下列四个说法，其中正确的是()①a∥α，a⊥b⇒b∥α②a∥b，a⊥α⇒b⊥α③a⊥α，a⊥b⇒b⊂α④a⊥b，b⊂α⇒a⊥αA．①② B.①④C．② D.②④解析：①中可能有b∥α，b⊂α或b与α相交；③中可能有b⊂α或b∥α；④中可能有a与α不垂直，或a⊥α；只有②正确．答案：C5．如图7，四棱锥S­ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．图7①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．解析：因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确；因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确；因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确；因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．答案：4图86．(2024年河北正定高一检测)直三棱柱ABC­A1B1C1(侧棱与底面垂直的棱柱)中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝eq\r(2)，D是A1B1的中点．(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？请证明你的结论．图9解：(1)证明：∵ABC­A1B1C1是直三棱柱，由已知得A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求．事实上，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.∵AA1＝A1B1＝eq\r(2)，∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点，∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.7．如图10，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上随意一点，AN⊥PM，N为垂足．图10(1)求证：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.证明：(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM.∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.8．如图11所示，三棱锥A­SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．图11解析：因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图12所示，取BC的中点D，图12连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.拓展要求1．如图13，动点P在正方体ABCD­A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是()图13解析：取A1A、CC1中点E、F，则点P移动时，M，N为菱形EBFD1的边上的点，当M在EB上时，eq\f(\f(1,2)MN,BP)＝eq\f(\f(y,2),x)＝tan∠EBD1为常数，函数y＝f(x)的图象应为直线的一部分，再由对称性知选B.答案：B2．如图14甲，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图14乙．图14(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC.因为DE⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥C