2025版高考数学一轮复习高频考点集中练三角与向量含解析新人教B版

PAGE高频考点集中练三角与向量1.(2024·全国卷Ⅱ)下列函数中,以QUOTE为周期且在区间QUOTE单调递增的是 ()A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|【命题思维分析】本题以三角函数图象与性质为背景,主要对函数图象的翻折、对称以及函数的奇偶性、周期性的考查,其中渗透直观想象、逻辑推理等数学素养.我们只要画出各函数图象,数形结合即可做出选择.【解析】选A.分别画出上述函数的图象可得选项A的周期为QUOTE,选项B的周期为QUOTE,而选项C的周期为2π,选项D不是周期函数.结合图象的升降状况可得A正确.【真题拾贝】利用二个结论:①函数y=QUOTE的周期是函数y=f(x)周期的一半;②y=sinQUOTE不是周期函数.2.(2024·全国卷Ⅰ)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sinQUOTE,则下面结论正确的是 ()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移QUOTE个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移QUOTE个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的QUOTE倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移QUOTE个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的QUOTE倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移QUOTE个单位长度,得到曲线C2【解析】选D.C1:y=cosx,C2:y=sinQUOTE,首先把曲线C1,C2统一为同一三角函数名,可将C1:y=cosx用诱导公式处理.y=cosx=cosQUOTE=sinQUOTE.横坐标变换需将ω=1变成ω=2,即y=sinQUOTEy=sinQUOTE=sin2QUOTEy=sin2x+QUOTE=sin2QUOTE.留意ω的系数,在左右平移时需将ω=2提到括号外面,这时x+QUOTE平移至x+QUOTE,依据“左加右减”原则,“x+QUOTE”到“x+QUOTE”需加上QUOTE,即再向左平移QUOTE.【真题拾贝】对于三角函数图象变换问题,①首先要将不同名函数转换成同名函数,利用诱导公式,须要重点记住sinα=cosQUOTE,cosα=sinQUOTE;②在进行图象变换时,提倡先平移后伸缩,而先伸缩后平移在考试中常常出现,无论哪种变换,记住每一个变换总是对变量x而言.3.(2024·全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是 ()A.-2 B.-QUOTE C.-QUOTE D.-1【解析】选B.取BC的中点D,以BC为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立坐标系,则A(0,QUOTE),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以=(-x,QUOTE-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),·(+)=2x2-2y(QUOTE-y)=2x2+2QUOTE-QUOTE≥-QUOTE,当PQUOTE时,·(+)取得最小值,最小值为-QUOTE.【真题拾贝】平面对量中有关最值问题的求解通常有两种思路:一是“形化”,即利用平面对量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题,然后依据平面图形的特征干脆进行推断;二是“数化”,即利用平面对量的坐标运算,把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题,然后利用函数、不等式、方程的有关学问来解决.4.(2024·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为QUOTE. 世纪金榜导学号(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.【解析】(1)因为△ABC面积S=QUOTE且S=QUOTEbcsinA,所以QUOTE=QUOTEbcsinA,所以a2=QUOTEbcsin2A,由正弦定理得sin2A=QUOTEsinBsinCsin2A,由sinA≠0得sinBsinC=QUOTE.(2)由(1)得sinBsinC=QUOTE,又cosBcosC=QUOTE,因为A+B+C=π,所以cosA=cosQUOTE=-cosQUOTE=sinBsinC-cosBcosC=QUOTE,又因为A∈QUOTE,所以A=QUOTE,sinA=QUOTE,cosA=QUOTE,由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9①,由正弦定理得b=QUOTE·sinB,c=QUOTE·sinC,所以bc=QUOTE·sinBsinC=8②,由①②得b+c=QUOTE,所以a+b+c=3+QUOTE,即△ABC的周长为3+QUOTE.【真题拾贝】依据已知条件配凑余弦定理是求解正余弦定理解三角形的必备技巧,一般依据题意配凑成平方和、平方差公式,及两角和、差的正余弦公式、二倍角公式综合运用.5.(2024·山东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a. 世纪金榜导学号【命题思维分析】高考命题趋势常常把三角函数的图象与性质、正余弦定理以及向量有机结合起来,从而使三角与几何产生联系,为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和圆面积等)供应了理论依据,也是推断三角形形态、证明三角形中有关等式的重要依据.【解析】因为·=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=QUOTE,又b=3,所以c=2QUOTE,由余