2024年北师大版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大版高一数学上册月考试卷870考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、△中，的对边则的对边等于（）.（A）2（B）（C）（D）12、实数且则连接两点的直线与圆心在原点上的单位圆的位置关系是（A）相切（B）相交（C）相离（D）不能确定3、【题文】二面角的平面角是锐角，点C且点C不在棱AB上，D是C在平面上的射影，E是棱AB上满足∠CEB为锐角的任意一点，则（）A.∠CEB＞∠DEBB.∠CEB=∠DEBC.∠CEB＜∠DEBD.∠CEB与∠DEB的大小关系不能确定4、若直线与直线互相垂直，则a等于（）A.1B.-1C.±1D.-25、已知点B是半径为1的圆O上的点，A是平面内一点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P，则点P的轨迹不可能是（）A.一个点B.双曲线C.椭圆D.抛物线6、甲、乙两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法正确的是（）A.甲的中位数是89，乙的中位数是98B.甲的各科成绩比乙各科成绩稳定C.甲的众数是89，乙的众数是98D.甲、乙二人的各科成绩的平均分不相同7、已知A={（x，y）|x+y=1}，B={（x，y）|x-y=5}，则A∩B=（）A.{3，-2}B.{x=3，y=-2}C.{（3，-2）}D.（3，-2）8、已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在区间（-∞，0）单调递增且f（-1）=0．若实数a满足则实数a的取值范围是（）A.[1，2]B.C.（0，2]D.9、设则（）A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.b＜c＜aD.b＜a＜c评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)10、已知函数与函数的图像关于直线对称，则函数的单调递增区间是____11、函数的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是____。12、【题文】已知函数f(x)＝2x－3x，则函数f(x)的零点个数________．13、【题文】已知函数有零点，则的取值范围是____________．14、函数y=的定义域为____15、已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=x+1，x∈A}，则A∩B=____．16、已知log23=a，log37=b，用含a，b的式子表示log214=______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)17、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．18、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．19、作出下列函数图象：y=20、作出函数y=的图象．21、画出计算1++++的程序框图．22、以下是一个用基本算法语句编写的程序；根据程序画出其相应的程序框图．

23、请画出如图几何体的三视图．

24、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．25、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分四、解答题(共2题，共10分)26、【题文】（本小题满分12分）已知圆C的圆心在直线y=2x上；且与直线l：x+y+1=0相切于点P（-1,0）.

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若A（1,0），点B是圆C上的动点，求线段AB中点M的轨迹方程，并说明表示什么曲线.27、已知函数f（x）=为偶函数．

（1）求实数a的值；

（2）记集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}，λ=（lg2）2+lg2lg5+lg5-判断λ与E的关系；

（3）当x∈[]（m＞0，n＞0）时，若函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，求m，n的值．评卷人得分五、综合题(共4题，共32分)28、设直线kx+（k+1）y-1=0与坐标轴所围成的直角三角形的面积为Sk，则S1+S2++S2009=____．29、已知函数f（x）=ax2+4x+b，其中a＜0，a、b是实数，设关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；f（x）=x的两实根为α；β．

（1）若|α-β|=1，求a、b满足的关系式；

（2）若a、b均为负整数；且|α-β|=1，求f（x）解析式；

（3）试比较（x1+1）（x2+1）与7的大小．30、先阅读下面的材料再完成下列各题

我们知道，若二次函数y=ax2+bx+c对任意的实数x都有y≥0，则必有a＞0，△=b2-4ac≤0；例如y=x2+2x+1=（x+1）2≥0，则△=b2-4ac=0，y=x2+2x+2=（x+1）2+1＞0，则△=b2-4ac＜0．

（1）求证：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2

（2）若x+2y+3z=6，求x2+y2+z2的最小值；

（3）若2x2+y2+z2=2；求x+y+z的最大值；

（4）指出（2）中x2+y2+z2取最小值时，x，y，z的值（直接写出答案）．31、设圆心P的坐标为（-，-tan60°），点A（-2cot45°，0）在⊙P上，试判别⊙P与y轴的位置关系．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】因为所以【解析】【答案】C2、C【分析】【解析】【答案】C3、A【分析】【解析】

试题分析：作垂足为O，连接OD,则为二面角的平面角，

考点：二面角平面角及解三角形。

点评：本题的关键是将要比较的两个角转化为三角形内角【解析】【答案】A4、C【分析】【解答】设

首先讨论斜率不存在的情况。

如果a=1，直线和y轴平行，直线和x轴平行；显然垂直；

如果和y轴平行，不和x平行；所以不垂直；

当斜率存在时，垂直的话，斜率乘积是-1那么得a=-1；

综上a=-1或者a=1时，垂直；故选C.5、D【分析】【解答】（1）若A为⊙O内一定点；B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P；

则PA=PB；则PA+P0=PB+PO=OB=R，即动点P到两定点O；A的距离和为定值；

根据椭圆的定义；可得点P的轨迹是：O；A为焦点，OB长为长轴长的椭圆；

（2）若A为⊙O外一定点；B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点P；

则PA=PB；则PA﹣P0=PB﹣PO=OB=R，即动点P到两定点O；A的距离差为定值；

根据双曲线的定义；可得点P的轨迹是：以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线；

（3）若A为⊙O上一定点；B为⊙O上一动点，线段AB的垂直平分线交直线OB于点O，即点P的轨迹是一个点．

故选：D．

【分析】分类讨论，利用椭圆、双曲线的定义，即可得出结论。6、B【分析】【解答】解：由茎图知甲的中位数是83；乙的中位数是85，故A错误；由由茎图知甲的数据相对集中，乙的数据相对分散；

故甲的各科成绩比乙各科成绩稳定；故B正确；

甲的众数是83；乙的众数是98，故C错误；

甲的平均数=（68+74+77+83+83+84+89+92+93）=

乙的平均数=（64+66+74+76+85+87+98+98+95）=

∴甲；乙二人的各科成绩的平均分相同；故D错误．

故选：B．

【分析】利用中位数、众数、平均数、茎叶图的性质求解．7、C【分析】解：联立集合A与B中方程得：

解得：

则A∩B={（3；-2）}；

故选：C．

联立A与B中两方程组成方程组；求出解即可得到两集合的交集．

此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．【解析】【答案】C8、D【分析】解：f（x）为奇函数；

∴f（1）=-f（-1）=0，且

∴由得，2f（log2a）≤0；

∴f（log2a）≤0；

①若a＞1，log2a＞0；根据题意f（x）在（0，+∞）上单调递增；

∴由f（log2a）≤0得，f（log2a）≤f（1）；

∴log2a≤1；

∴1＜a≤2；

②若0＜a＜1，log2a＜0；f（x）在（-∞，0）上单调递增；

∴由f（log2a）≤0得，f（log2a）≤f（-1）；

∴log2a≤-1；

∴

∴综上得，实数a的取值范围是．

故选D．

根据条件可得到f（1）=f（-1）=0，从而由可以得到f（log2a）≤0，而由条件知，f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上都为增函数，从而需讨论a：a＞1时，可得到f（log2a）≤f（1），进而得到log2a≤1；这样即可得出1＜a≤2，同样的方法，当0＜a＜1时，又可以求得一个a的范围，这两个a的范围求并集便可得出实数a的取值范围．

考查奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性特点，对数的换底公式，对数函数的单调性，以及增函数的定义．【解析】【答案】D9、D【分析】解：∵b=．

而＜sinx在（0，）是递增的；

所以

故选D．

把a，b转化为同一类型的函数；再运用函数的单调性比较大小．

此题考查了三角函数的单调性以及相互转换．【解析】【答案】D二、填空题(共7题，共14分)10、略

【分析】【解析】试题分析：因为函数与函数的图像关于直线对称，所以与互为反函数，所以所以要使函数单调递增，根据复合函数同增异减的性质可知需要单调递减，所以函数的单调递增区间是考点：本小题主要考查反函数，复合函数的单调性.【解析】【答案】11、略

【分析】【解析】试题分析：由题意知，f(x)=sinx+2|sinx|=在坐标系中画出函数图象：由其图象可知当直线y=k，k∈（1，3）时，与f（x）=sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点．故答案为：（1，3）．考点：本题考查了正弦函数的图象【解析】【答案】（1,3）12、略

【分析】【解析】(解法1)令f(x)＝0，则2x＝3x，在同一坐标系中分别作出y＝2x和y＝3x的图象，由图知函数y＝2x和y＝3x的图象有2个交点；所以函数f(x)的零点个数为2.

(解法2)由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内【解析】【答案】213、略

【分析】【解析】

试题分析：由题意知有解，即方程有解，可转化为直线与方程所表示的曲线有交点，用数形结合思想可得的取值范围。

考点：函数的零点与相应的方程根的关系及数形结合思想的应用。【解析】【答案】14、（﹣1，9]【分析】【解答】解：

即

∴函数的定义域为（﹣1；9]

故答案为：（﹣1；9]

【分析】根据对数的真数大于0，被开方数大于等于0，直接求出x的范围即可得到函数的定义域．15、{2，3，4}【分析】【解答】解：集合A={1；2，3，4}，B={y|y=x+1，x∈A}={2，3，4，5}；

则A∩B={2；3，4}．

故答案为：{2；3，4}．

【分析】利用已知条件求出集合B，然后求解交集即可．16、略

【分析】解：∵log23=a，log37=b；

∴log214=log22+log27

=1+

=1+log37•log23

=1+ab．

故答案为：1+ab．

由log23=a，log37=b，知log214=log22+log27=1+log37•log23=1+ab．

本题考查对数的运算性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．【解析】1+ab三、作图题(共9题，共18分)17、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．18、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．19、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．20、【解答】图象如图所示。

【分析】【分析】描点画图即可21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．22、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题目中的程序语言，得出该程序是顺序结构，利用构成程序框的图形符号及其作用，即可画出流程图．23、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．24、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．25、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．四、解答题(共2题，共10分)26、略

【分析】【解析】

试题分析：）设圆心C（a，b）半径为r,要求圆心的方程需要建立关于a,b,r的三个方程，因为圆心在直线y=2x上,所以b="2a,"又C落在过P且垂直于l的直线y=x+1上,所以b=a+1,

又因为r=|CP|,从而可求出a,b,r的值.

(II)本小题属于相关点法求动点的轨迹方程，设M（x，y），B（x0，y0），则有

可得然后将B的坐标代入圆C的方程即可得到M的轨迹方程，再通过方程可判断出M的轨迹也是圆.

（Ⅰ）设圆心C（a，b）半径为r，则有b=2a；1分。

又C落在过P且垂直于l的直线y=x+1上；3分。

故有b=a+1，解得a=1，b=2，从而r=5分。

∴圆C：6分。

（Ⅱ）设M（x，y），B（x0，y0），则有8分。

解得代入圆C方程得10分。

化简得11分。

表示以（1,1）为圆心，为半径的圆.12分。

考点：求圆的方程；相关点法求轨迹方程.

点评：求圆的方程无论是设圆的标准方程还是设圆的一般方程都要从题目中找到三个方程条件求解，要注意圆的几何性质的应用.用相关点法求轨迹方程时，要注意把相关点的坐标用动点的坐标表示出来，然后代入相关点所满足的方程即可得到所求动点的轨迹方程.【解析】【答案】（Ⅰ）圆C：

（Ⅱ）表示以（1,1）为圆心，为半径的圆.27、略

【分析】

（1）根据题意，由函数奇偶性的性质建立方程=解可得a的值；

（2）由（1）可得a的值；即可得函数的解析式，由此可得集合E，由对数的运算性质计算可得λ的值，分析可得答案；

（3）由（1）可得函数的解析式；进而可以断函数的单调性，结合函数的值域建立方程关系进行求解即可．

本题考查函数奇偶性、单调性的性质，涉及对数的运算，关键要先求出a的值，确定函数的解析式．【解析】解：（1）函数f（x）=则f（-x）==

又由函数f（x）为偶函数；则有f（-x）=f（x）；

即=

解可得a=-1；

（2）由（1）可得a=-1，则f（x）=

则有f（1）=f（-1）=0，f（2）=

则集合E={y|y=f（x），x∈{-1，1，2}}={0，}；

λ=（lg2）2+lg2lg5+lg5-=lg2（lg2+lg5）+lg5-=lg2+lg5-=

则有λ∈E；

（3）由（1）可得a=-1，则f（x）==1-则函数在（0，+∞）为增函数；

若当x∈[]（m＞0；n＞0）时，函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]；

则有

解可得m=n=

又由＜且m＞0；n＞0，则有0＜n＜m；

则m=n=．五、综合题(共4题，共32分)28、略

【分析】【分析】令x=0，得y=，令y=0，得x=，则Sk=•=（-），根据三角形面积公式求和．【解析】【解答】解：依题意，得直线与y轴交于（0，），与x轴交于（；0），则

则Sk=•=（-）；

S1+S2++S2009

=（1-+-++-）

=（1-）

=．

故答案为：．29、略

【分析】【分析】（1）根据f（x）=x的两实根为α、β，可列出方程用a，b表示两根α，β，根据|α-β|=1，可求出a、b满足的关系式．

（2）根据（1）求出的结果和a、b均为负整数，且|α-β|=1，可求出a，b；从而求出f（x）解析式．

（3）因为关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2，用a和b表示出（x1+1）（x2+1），讨论a，b的关系可比较（x1+1）（x2+1）与7的大小的结论．【解析】【解答】解：（1）∵f（x）=x；

∴ax2+4x+b=x；

α=，β=．

∵|α-β|=1；

∴=|a|；

∴a2+4ab-9=0；

（2）∵a、b均为负整数，a2+4ab-9=0；

∴a（a+4b）=9，解得a=-1，b=-2．

∴f（x）=-x2+4x-2．

（3）∵关于x的方程f（x）=0的两根为x1，x2；

∴ax2+4x+b=0

∴x1x2=，x1+x2=-．

∴（x1+1）（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=-+1．

-+1-7=；

∵a＜0；

当b＞6a+4时，（x1+1）（x2+1）＜7．

当b=6a+4时，（x1+1）（x2+1）=7．

当b＜6a+4时，（x1+1）（x2+1）＞7．30、略

【分析】【分析】（1）首先构造二次函数：f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2=（a12+a22++an2）x2+2（a1b1+a2b2++anbn）x+（b12+b22++bn2），由（a1x+b1）2+（a2x+b2）2++（anx+bn）2≥0，即可得f（x）≥0，可得△=4（a1b1+a2b2++anbn）2-4（a12+a22++an2）（b12+b22++bn2）≤0，整理即可证得：（a12+a22++an2）•（b12+b22++bn2）≥（a1•b1+a2•b2++an•bn）2；

（2）利用（1）可得：（1+4+9）（x2+y2+z2）≥（x+2y+3z）2；又由x+2y+3z