2024年沪科版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年沪科版高一数学上册月考试卷461考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、设则f（f（-1））的值为（）

A.5

B.4

C.

D.-1

2、正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为则该四棱台的表面积为（）

A.92

B.52+20

C.40

D.50+20

3、【题文】过点作圆的两条切线，切点分别为则直线的方程为()A.B.C.D.4、【题文】若幂函数在上是增函数，则A.>0B.<0C.="0"D.不能确定5、若0≤θ＜2π且满足不等式cos那么角θ的取值范围是（）A.B.C.[0,)D.6、为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地作10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1和l2．已知在两个人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t．那么下列说法正确的是（）A.直线l1和l2相交，但是交点未必是点（s，t）B.直线l1和l2有交点（s，t）C.直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D.直线l1和l2必定重合7、计算：=（）A.-3B.C.3D.8、有下列调查方式：

①学校为了解高一学生的数学学习情况；从每班抽2人进行座谈；

②一次数学竞赛中；某班有15人在100分以上，35人在90～100分，10人低于90分．现在从中抽取12人座谈了解情况；

③运动会中工作人员为参加400m比赛的6名同学公平安排跑道．

就这三个调查方式，最合适的抽样方法依次为（）A.分层抽样，系统抽样，简单随机抽样B.系统抽样，系统抽样，简单随机抽样C.分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样D.系统抽样，分层抽样，简单随机抽样评卷人得分二、填空题(共7题，共14分)9、函数y=f（x）的图象如图所示，则不等式f（x）＜f（-x）+x的解集为____．

10、某工厂对一批产品进行了抽样检测．右图是根据抽样检测后的（产品净重，单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100），[100，102），[102，104），[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，下列命题中：①样本中净重大于或等于98克并且小于102克的产品的个数是60；②样本的众数是101；③样本的中位数是④样本的平均数是101.3．正确命题的代号是____（写出所有正确命题的代号）．

11、等差数列{an}中，S5=10，a4=3，则该数列的公差d=____．12、已知若平行，则λ=____.13、【题文】若函数y=f(x)的图象与函数g(x)=()x-1的图象关于原点对称，则f(2)=______.14、已知幂函数的图象过点（2，），则幂函数的解析式f（x）=______．15、2

弧度圆心角所对的弦长为2sin1

则这个圆心角所夹扇形的面积为______．评卷人得分三、证明题(共8题，共16分)16、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．17、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．18、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．19、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．20、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．21、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．22、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．23、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．评卷人得分四、解答题(共3题，共12分)24、如图，为圆的直径，点在圆上，矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直，且（1）求证：平面（2）设的中点为求证：平面（3）设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为求．25、已知z为复数，z+2i和均为实数；其中i是虚数单位．

（Ⅰ）求复数z；

（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限；求实数a的取值范围．

26、【题文】解不等式：评卷人得分五、综合题(共2题，共8分)27、（2011•青浦区二模）如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是____．28、已知点A（-2，0），点B（0，2），点C在第二、四象限坐标轴夹角平分线上，∠BAC=60°，那么点C的坐标为____．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】

∵-1＜1；

∴f（-1）=3-（-1）=4；

而4＞1；

∴f（f（-1））=f（4）=4+1=5．

故选：A．

【解析】【答案】由于-1＜1；代入第二段求出f（-1），再以f（-1）作为自变量的值，根据其与1的大小关系代入相应的解析式求得最后的函数值。

2、A【分析】

因为正四棱台的上底面边长为4，下底面边长为6，高为

则该四棱台的斜高为：=2．

S表=S侧+S上+S下=．

故选A．

【解析】【答案】求出正四棱台的斜高；直接利用棱台的表面积公式求解即可．

3、A【分析】【解析】画图可知直线的斜率为负，其中一个切点为代入A,D只有A满足.

【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，通过研究过切点的直线方程，考查快速反映能力，是对三维目标之一的情感态度价值观的有力考查。【解析】【答案】A4、A【分析】【解析】由幂函数性质可知，当时在上是增函数；当时，在上是减函数。所以，应选A。【解析】【答案】A5、C【分析】【解答】解：由0≤θ＜2π，可得0≤＜π．

由不等式cos结合正弦函数；余弦函数的图象特征；

可得0≤＜解得0≤θ＜

故选C．

【分析】由条件可得0≤＜π，由不等式cos结合正弦函数、余弦函数的图象特征，可得0≤＜由此求得θ的取值范围．6、B【分析】【解答】解：∵两组数据变量x的观测值的平均值都是s；

对变量y的观测值的平均值都是t；

∴两组数据的样本中心点都是（s；t）

∵数据的样本中心点一定在线性回归直线上；

∴回归直线l1和l2都过点（s；t）

∴两条直线有公共点（s；t）

故选：B．

【分析】由题意知，两个人在试验中发现对变量x的观测数据的平均值都是s，对变量y的观测数据的平均值都是t，所以两组数据的样本中心点是（s，t），回归直线经过样本的中心点，得到直线l1和l2都过（s，t）．7、D【分析】解：

=[（-3）3]×

=（-3）2×3-3

=9×

=．

故选：D．

利用有理数指数幂的性质；运算法则直接求解．

本题考查有理数指数幂化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质、运算法则的合理运用．【解析】【答案】D8、D【分析】解：在①中；因为总体已经按班级进行分组，故适合于系统抽样；

在②中；因为总体形成差异明显的三个层次，故适合于分层抽样；

在③中；因为总体单元数较少，故适合于简单随机抽样．

故选：D．

利用简单随机抽样；系统抽样、分层抽样的特点求解．

本题考查抽样方法的应用，解题时要认真审题，是基础题．【解析】【答案】D二、填空题(共7题，共14分)9、略

【分析】

由图象可得f（x）=．

①当1≥x＞0时，不等式f（x）＜f（-x）+x化为1-x＜-1+x+x，即x＞解得＜x≤1．

又∵x≥0，∴0≤x≤1．

②当-1≤x＜0时，不等式f（x）＜f（-x）+x化为-1-x＜1+x+x，即x＞-

又∵当-1≤x＜0，∴得-＜x＜0．

③当x=0时，f（0）=1，不等式f（x）＜f（-x）+x不成立．

综上①②③可知：不等式f（x）＜f（-x）+x的解集是{x|-＜x＜0或＜x≤1}．

故答案是：{x|-＜x＜0或＜x≤1}．

【解析】【答案】根据已知中函数的图象，我们可得f（x）=．因为函数f（x）在不同的区间的解析式不同；所以要分类讨论分别解出一元一次不等式不等式．最后再求其并集即可．

10、略

【分析】

由题意可知：样本中净重小于100克的产品的频率=（0.05+0.1）×2=0.3；

∴样本容量=

∴样本中净重在[98；102）的产品个数=（0.1+0.15）×2×120=60．

由图知；最高小矩形的中点横坐标是101，故众数是101；

又最左边的两个小矩形的面积和是0.3，最右边的两个小矩形的面积和是0.4，故中位数100+=

样本的平均数是2（97×0.05+99×0.1+101×0.15+103×0.125+105×0.075）=101.3

故答案为：①②③④．

【解析】【答案】根据频率直方图的意义；由样本中净重小于100克的个数是36可求样本容量，进而样本中净重在[98，102）的产品个数．由频率分布直方图估计样本数据的中位数，众数，规律是，众数即是最高的小矩形的底边中点横坐标，中位数出现在在概率是0.5的地方，根据平均数公式求解即可．

11、略

【分析】

由题意可得10=5a1+3=a1+3d．

由此解得d=1；

故答案为：1．

【解析】【答案】根据题意可得10=5a1+3=a1+3d；由此解得公差d的值．

12、略

【分析】【解析】试题分析：∵∴∵平行，∴解得λ=±1考点：本题考查了数量积的坐标运算【解析】【答案】±113、略

【分析】【解析】解：因为函数y=f(x)的图象与函数g(x)=()x-1的图象关于原点对称，则f(2)=-g(-2）=-3【解析】【答案】-314、略

【分析】解：设幂函数的解析式为y=xα；（α∈R）；

∵函数的图象过点（2，）；

∴2α=

∴α=

∴y=

故答案为：．

用待定系数法；设出幂函数的解析式，求出α的值即可．

本题考查了求幂函数的解析式的问题，解题时应用待定系数法，是容易题．【解析】15、略

【分析】解：由已知，在弦心三角形中，sin1=2sin1隆脕12r

隆脿r=1

设2

弧度的圆心角娄脠

所对的弧长为l

隆脿S=12lr=12r2娄脠=12隆脕12隆脕2=1

故选：B

．

在弦心三角形中，由sin1=2sin1隆脕12r

求得r

设2

弧度的圆心角所对的弧长为l

利用扇形的面积公式S=12lr

即可求得答案．

本题考查扇形面积公式，求得该扇形的半径是关键，考查运算求解能力，属于基础题．【解析】1

三、证明题(共8题，共16分)16、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．17、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．18、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=19、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．20、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．21、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=22、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．23、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．四、解答题(共3题，共12分)24、略

【分析】【解析】试题分析：（1）证明：平面平面平面平面=平面平面2分又为圆的直径，平面4分（2）设的中点为则又则为平行四边形，6分又平面平面平面9分(3)过点作于平面平面平面10分平面12分．14分考点：线面垂直平行的判定及椎体的体积【解析】【答案】（1）平面平面平面又为圆的直径，平面（2）设的中点为则又则为平行四边形平面（3）25、略

【分析】

（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R）；

由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R；

∴b+2=0，即b=-2．

又

∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4-2i；

∵（z+ai）2=（4-2i+ai）2=[4+（a-2）i]2=16-（a-2）2+8（a-2）i

对应的点在复平面的第一象限；

∴

解得a的取值范围为2＜a＜6．

【解析】【答案】（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i和根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．

（II）根据上一问做出的复数的结果，代入复数（z+ai）2；利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．

26、略

【分析】【解