第二节 导数的计算

第二节导数的计算思路:(导数定义)求导法则其它基本初等函数导数公式初等函数求导问题一.导数的四则运算法则

设函数u=u(x),v=v(x)都在x处可导则u±v

在x处也可导，且求导法则Ⅰ:

设函数u=u(x),v=v(x)都在x处可导,则uv

在x处也可导,且求导法则Ⅱ

设函数u=u(x),v=v(x)都在x处可导，则在x处也可导，且求导法则Ⅲ:证明设则有故结论成立.

函数u=u(x)在x处可导,c为常数,则

(cu)′=cu′推论Ⅰ:即常数因子可以提到导数符号的外面.

函数u=u(x),v=v(x),w=w(x)都在x处可导，则推论Ⅱ:例1

解:例2

求证证:

类似可证:导数的基本公式

(1)(c为常数)；(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)(13)(14)(a>0,a≠1)(16)(a>0,a≠1)(15)(1)

y=(sinx-2cosx)lnx,求y′.(2)求练习:

二.复合函数的导数

定理1y=f[φ(x)]在x处也可导,且设函数u=φ(x)在x处可导,函数y=f(u)在相应点u处可导,则复合函数或

即因变量对自变量求导,

等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(2)定理1可以归纳地推广到有限个函数复合的情形,如y=f(u),u=g(v),v=φ(x)满足类似定理1的条件，则链式法则量x的导数,而

表示复合函数y注：(1)表示复合函数y对自变对中间变量的导数.例1

函数y=sin5x,求y′.例2

函数,求例3求例4

证明(μ∈R).证明练习求例5函数y=ln|x|,求y′.因为解x>0时，(ln|x|)′=(lnx)′所以x<0时，(ln|x|)′=[ln(-x)]′综合以上结果，得到例6

f(x)是可导函数,y=ln|f(x)|，求y′.y′=(ln|f(x)|)′解f(x)是可导函数，视作已知，则例7

函数y=ln|secx+tanx|，求y′.解例8

f(u),g(v)都是可导函数,求y′.的复合函数,于是解是类似的因此例9.设解:例10

设解:求例11求解:三.隐函数的导数定义:隐函数的显化问题:隐函数不易显化或不能显化时,如何求导?隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

变量x，y之间的函数关系是由方程F(x,y)=0给出的,称y是x的隐函数.例1.

求由方程在(0,0)处的导数解:

方程两边对

x

求导得将(0,0)代入上式,故确定的隐函数例2

求由方程确定的隐函数的导数．解两端分别对x求导(注意y是x的函数),则有注意到x、y仍满足原方程则[２(xy+1)-x]y′=y-(xy+1)代入x=y=0,得到y′=即由以上例题可以看到,隐函数求导的方法是:

设方程F(x,y)=0确定了可导函数y=f(x)，是x的函数)，最后解出y′.在方程F(x,y)=0的两端分别对x求导(注意y例3

求曲线在点(1,-1)处的切线方程．解方程的两边分别对x求导,有8x-(y+xy′)+2yy′

=0将x=1,y=-1代入上式,得则所求切线方程为y+1=3(x-1),即3x-y-4=0.在讨论变速直线运动时，速度函数v(t)是位置函数s(t)对时间t的导数，即加速度函数a(t)是速度函数v(t)对时间的导数,即因此加速度函数a(t)是位置函数s(t)对t的导数的导数，称为函数s(t)对t的二阶导数.四、高阶导数y=f(x)的二阶导数，记作或一般地，函数y=f(x)的导数仍是x的可导函数时,则称的导数

为函数并分别记作或称为f(x)的三阶导数,…,函数类似地,函数的二阶导数的导数导数的导数称为函数f(x)的n阶导数, 的