备战2024年高考数学大一轮数学(人教A版理)-第二章-§2-2-函数的单调性与最值

§2.2函数的单调

性与最值第二章

函数的概念与基本初等函数Ⅰ1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.函数的单调性(1)单调函数的定义

增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D当x1<x2时，都有

，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有

，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是

或

，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.增函数减函数2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)∀x∈I，都有

；(2)∃x0∈I，使得_________(1)∀x∈I，都有

；(2)∃x0∈I，使得_________结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1.∀x1，x2∈D且x1≠x2，有

>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减).2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数.3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝

的单调性相反.4.复合函数的单调性：同增异减.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)因为f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3,2]上是增函数.(

)(2)函数f(x)在(－2,3)上单调递增，则函数的单调递增区间为(－2,3).(

)(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.(

)(4)函数y＝

的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(

)××××1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是A.y＝x2－1 B.y＝x3C.y＝2x

D.y＝－x＋2√√3.函数f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则满足f(2x－1)>f

的x的取值范围是________.∵f(x)的定义域是[0，＋∞)，又∵f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，探究核心题型第二部分命题点1函数单调性的判断题型一确定函数的单调性例1

下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是√对于选项B，由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确；对于选项D，∵y＝ex与y＝－e－x均为R上的增函数，∴y＝ex－e－x为R上的增函数，故D正确.命题点2利用定义证明函数的单调性例2

试讨论函数f(x)＝

(a≠0)在(－1,1)上的单调性.方法一设－1<x1<x2<1，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增.确定函数单调性的四种方法(1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法.思维升华跟踪训练1

(1)函数g(x)＝x·|x－1|＋1的单调递减区间为g(x)＝x·|x－1|＋1＝

画出函数图象，如图所示，根据图象知，函数的单调递减区间为

.√(2)函数f(x)＝

的单调递增区间是A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1)C.(－∞，0) D.(0，＋∞)f(x)＝

分解为y＝2u和u＝－x2－2x两个函数，y＝2u在R上单调递增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上单调递增，在[－1，＋∞)上单调递减，根据复合函数单调性得到函数f(x)＝

在(－∞，－1)上单调递增.√题型二函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3

(2023·成都模拟)已知函数f(x)为R上的偶函数，对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln)，b＝

，c＝

，则a，b，c的大小关系是A.c<b<a

B.a<c<bC.a<b<c

D.c<a<b√∵对任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，∴此时函数在区间(－∞，0)上单调递减，∵f(x)是偶函数，∴当x∈(0，＋∞)时，f(x)单调递增，又f(x)＝

在x∈(0，＋∞)上单调递增，∴即a<c<b.命题点2求函数的最值y＝ln(4－x)在[1,3]上单调递减，∴f(x)在[1,3]上单调递增，例4

函数f(x)＝x－

－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值为_____.命题点3解函数不等式f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，例5

已知函数f(x)＝

－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是_______.(0,1)解得0<a<1.命题点4求参数的取值范围例6

已知函数f(x)＝

是R上的增函数，则实数a的取值范围是√(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.思维升华跟踪训练2

(1)(2023·兰州模拟)设函数f(x)＝

则满足不等式f(2x－1)<2的解集是√函数f(x)的图象如图所示，由图可知，函数f(x)在R上单调递增，因为f(4)＝2，所以f(2x－1)<2等价于f(2x－1)<f(4)，(2)若函数f(x)＝

在(a，＋∞)上是增加的，则实数a的取值范围为_______.∵f(x)在(a，＋∞)上是增加的，[1,2)课时精练第三部分基础保分练1.下列函数在R上为增函数的是A.y＝x2

B.y＝x1234567891011121314√y＝x2在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故选项A错误；y＝x在R上为增函数，故选项B正确；12345678910111213142.函数f(x)＝－|x－2|的单调递减区间为A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[0,2] D.[0，＋∞)∴函数y＝|x－2|的单调递减区间是(－∞，2]，单调递增区间为[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的单调递减区间是[2，＋∞).√1234567891011121314A.(－∞，3] B.(2,3)C.(2,3] D.[3，＋∞)∵x2≥0，∴x2＋1≥1，√∴f(x)∈(2,3].123456789101112131412345678910111213144.已知函数f(x)＝

则下列结论正确的是①f(x)在R上为增函数；②f(e)>f(2)；③若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≤－1或a≥0；④当x∈[－1,1]时，f(x)的值域为[1,2].A.①②③

B.②③④C.①④

D.②③√易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上单调递增，故①错误，②正确；若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，则a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故③正确；当x∈[－1,0]时，f(x)∈[1,2]，当x∈(0,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故当x∈[－1,1]时，f(x)∈(－∞，2]，故④错误.12345678910111213145.(2023·南通模拟)已知函数f(x)＝

若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，则有A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(b)√1234567891011121314因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)>0.又f(x)＝－x2在(－∞，0]上单调递增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上单调递增.又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).123456789101112131412345678910111213146.已知函数f(x)＝x－

(a≠0)，下列说法正确的个数是①当a>0时，f(x)在定义域上单调递增；②当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；③当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)；④当a>0时，f(x)的值域为R.A.1B.2C.3D.4√定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，故①错误；又当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域为R，故④正确；1234567891011121314由其图象(图略)可知，②③正确.12345678910111213147.函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是__________________.当x≥0时，函数f(x)＝x2－6x＋8的单调递减区间为[0,3]，当x<0时，函数f(x)＝x2＋6x＋8的单调递减区间为(－∞，－3]，(－∞，－3]，[0,3]12345678910111213148.已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是__________________________________________________________________________.f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)，则函数f(x)的图象在(0,4)上先单调递减再单调递增，

当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意，所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以说明命题p为假命题.12345678910111213149.已知函数f(x)＝x|x－4|.(1)把f(x)写成分段函数，并在直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；1234567891011121314函数图象如图所示.(2)写出函数f(x)的单调递减区间.1234567891011121314由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4).1234567891011121314(1)求f(0)的值；1234567891011121314(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论.f(x)在R上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝

，∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<<，∴∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.1234567891011121314123456789101112131411.若函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为A.(0，＋∞) B.(2，＋∞)C.(0,2] D.[2，＋∞)√综合提升练在函数f(x)＝ln(ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝lnu在(0，＋∞)上单调递增，而函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，且∀x>1，ax－2>0，因此

解得a≥2，所以实数a的取值范围为[2，＋∞).1234567891011121314123456789101112131412.设函数f(x)＝x2022－

＋5，则f(x)的单调递增区间为__________，不等式f(x－1)<5的解集为___________.由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数.