2024年中考模拟试卷数学（上海卷）

2024年中考第三次模拟考试（上海卷）数学（考试时间：100分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．2．正六边形的半径与边心距之比为（）A．1： B．：1 C．：2 D．2：3．已知在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（

）A． B． C． D．4．已知两组数据，2、3、4和3、4、5，那么下列说法正确的是（）A．中位数不相等，方差不相等B．平均数相等，方差不相等C．中位数不相等，平均数相等D．平均数不相等，方差相等5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．6．下列命题中，真命题是（）A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离第Ⅱ卷二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．当时，化简：．8．点G是三角形ABC的重心，，，那么=．9．方程的解是．10．据报道，截止2018年2月，我国在澳大利亚的留学生已经达到17.3万人，将17.3万用科学记数法表示为．11．已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为，那么．12．已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中的中位数是．13．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是，那么该商品现在的价格是元（结果用含的代数式表示）．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，如果，那么的值是．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为AB的中点，将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点D′处，则D′B长为．16．如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=．17．如图，在矩形中，AD=6，将矩形折叠，使点B与点D重合，落在处，若，则折痕的长为．18．如图，已知在等边中，，点在边上，如果以线段为半径的与以边为直径的外切，那么的半径长是．三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10分）计算：20．（10分）阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下表中的相关数据，然后他又根据表中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆量．时间记忆量刚记忆完100%20分钟后58.2%1小时后44.2%9小时后35.8%1天后33.7%2天后27.8%6天后25.4%30天后21.1%观察表格和图像，回答下列问题：（1）图中点A的坐标表示的实际意义是________；（2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快（

）A．0—20分钟 B．20分钟—1小时 C．1小时9小时； D．1天—2天．（3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持98%．如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？21．（10分）如图，已知中，，，边的垂直平分线，交的延长线于点D，交边于点E．(1)求的长；(2)求点C到直线的距离．22．（10分）如图，已知在⊙O中，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，AB＝CD＝8，tanC＝1（1）求⊙O的半径长；（2）求的值．23．（12分）如图，已知四边形是菱形，两对角线和相交于点O，过点D作，垂足为点H，和交于点E，联结并延长交边于点G．求证：(1)；(2)．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（−3,0）和点B，与y轴相交于点C（0,3），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m>0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．25．（14分）如图，已知中，，，，点D在上，连接，以点A为圆心、以为半径作圆A，圆A和边交于点E，点F在圆A上，且．(1)设，，求y关于x的函数解析式；并写出的长；(2)如果点E是弧的中点，求的值；(3)连接，如果四边形是梯形，求的长．

2024年中考第三次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为a的选项即可．【详解】解：A、a与被开方数不同，故不是同类二次根式；B、=|a|与被开方数不同，故不是同类二次根式；C、=|a|与被开方数相同，故是同类二次根式；D、=a2与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．2．正六边形的半径与边心距之比为（）A．1： B．：1 C．：2 D．2：【答案】D【分析】边心距：是指正多边形的每条边到其外接圆的圆心的距离,正六边形的边长就等于其外接圆的半径.它的边心距等于边长的倍..正多边形的边心距就是其内切圆的半径.【详解】∵正六边形的半径为R，∴边心距r＝R，∴R：r＝1：＝2：，故选D．【点睛】本题主要考查了正多边形的半径与边心距之比，解决本题的关键是掌握边心距的求法.3．已知在四边形中，，添加下列一个条件后，一定能判定四边形是平行四边形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可．【详解】解：A、B.∵在四边形ABCD中，，∴或，都不能判定四边形ABCD为平行四边形，故A、B错误；C.∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形ABCD为平行四边形，故C正确．D.当时，无法判定四边形ABCD为平行四边形，故D错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练的掌握平行四边形的判定方法，是解题的关键．4．已知两组数据，2、3、4和3、4、5，那么下列说法正确的是（）A．中位数不相等，方差不相等B．平均数相等，方差不相等C．中位数不相等，平均数相等D．平均数不相等，方差相等【答案】D【分析】分别利用平均数以及方差和中位数的定义分析，进而求出答案．【详解】2、3、4的平均数为：（2+3+4）=3，中位数是3，方差为：[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣4）2]=；3、4、5的平均数为：（3+4+5）=4，中位数是4，方差为：[（3﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2]=；故中位数不相等，方差相等．故选D．【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差的意义，解答本题的关键是熟练掌握这三种数的计算方法.5．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意；B、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误，不符合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误，不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．6．下列命题中，真命题是（）A．如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离B．如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切C．如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切D．如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离【答案】D【分析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．【详解】A.如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，A是假命题；B.如果一个点即在第一个圆上，又在第二个圆上，那么这两个圆外切或内切或相交，B是假命题；C.如果一条直线上的点到圆心的距离等于半径长，那么这条直线与这个圆相切或相交，C是假命题；D.如果一条直线上的点都在一个圆的外部，那么这条直线与这个圆相离，D是真命题；故选D．【点睛】本题考查了两圆的位置关系：设两圆半径分别为R、r，两圆圆心距为d，则当d＞R+r时两圆外离；当d=R+r时两圆外切；当R-r＜d＜R+r（R≥r）时两圆相交；当d=R-r（R＞r）时两圆内切；当0≤d＜R-r（R＞r）时两圆内含．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）7．当时，化简：．【答案】1-x【分析】正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0．【详解】解：∵x＜1，∴x-1＜0，∴原式=-（x-1）=1-x故答案为：1-x．【点睛】本题考查了绝对值的性质，判断出x-1是负数是解题的关键．8．点G是三角形ABC的重心，，，那么=．【答案】．【分析】根据题意画出图形，由，，根据三角形法则，即可求得的长，又由点G是△ABC的重心，根据重心的性质，即可求得．【详解】如图：BD是△ABC的中线，∵，∴=，∵，∴=﹣，∵点G是△ABC的重心，∴==﹣，故答案为﹣．【点睛】本题考查了三角形的重心的性质：三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，本题也考查了向量的加法及其几何意义，是基础题目．9．方程的解是．【答案】【分析】先根据算术平方根的定义求出x的取值范围，再利用算术平方根解方程即可．【详解】由算术平方根的定义得：解得（符合的条件）故答案为：．【点睛】本题考查了算术平方根的定义、利用算术平方根解方程，掌握理解算术平方根式解题关键．10．据报道，截止2018年2月，我国在澳大利亚的留学生已经达到17.3万人，将17.3万用科学记数法表示为．【答案】1.73×105．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】将17.3万用科学记数法表示为1.73×105．故答案为1.73×105．【点睛】本题考查了正整数指数科学记数法,根据科学计算法的要求，正确确定出a和n的值是解答本题的关键.11．已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为，那么．【答案】【分析】坡比坡角的正切值，设竖直直角边为，水平直角边为，由勾股定理求出斜边，进而可求出的正弦值．【详解】解：如图所示：由题意，得：，设竖直直角边为，水平直角边为，则斜边，则．故答案为．【点睛】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．12．已知一组数据24、27、19、13、23、12，那么这组数据中的中位数是．【答案】21【分析】求中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列：12、13、19、23、24、27，处于中间位置的两个数是19，23，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（19+23）÷2=21．故答案为：21．【点睛】本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．13．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是，那么该商品现在的价格是元（结果用含的代数式表示）．【答案】【分析】根据该商品现在的价格=原价×（1-降价的百分率）2即可得出结论：【详解】解：∵原价为100元，百分率都是，∴该商品现在的价格是；故答案为：．【点睛】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，关系是该商品现在的价格=原价×（1-m）2．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，如果，那么的值是．【答案】16【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解．【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，由题意可知：S1=（a+b）2，S2=a2+b2，S3=（a-b）2，因为S1+S2+S3=48，即（a+b）2+a2+b2+（a-b）2=21，∴3（a2+b2）=48，∴3S2=48，∴S2的值是16．故答案为16．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为AB的中点，将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点D′处，则D′B长为．【答案】．【详解】试题分析：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB=2.5，过D′作D′E⊥BC，∵将△ACD绕着点C逆时针旋转，使点A落在CB的延长线A′处，点D落在点D′处，∴CD′=AD=A′D′，∴D′E==1.5，∵A′E=CE=2，BC=3，∴BE=1，∴BD′=，故答案为．16．如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=．【答案】125°【分析】先利用O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．【详解】∵△ABC中∠A=70°，O截△ABC的三条边所得的弦长相等，∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3=(180°−∠A)=(180°−70°)=55°；∴∠BOC=180°−(∠1+∠3)=180°−55°=125°.故答案为125°.【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的相关知识与应用.17．如图，在矩形中，AD=6，将矩形折叠，使点B与点D重合，落在处，若，则折痕的长为．【答案】4【分析】由，，可求，，由折叠可知，得出，为的直角三角形；由可知，，，由折叠的性质得，等量代换后判断为等边三角形，即可得出答案．【详解】解：在中，∵∴，，∵，∴，由折叠的性质得，∴，∴为等边三角形，由折叠可知：BE=DE，∵，∴，∵AD=6，∴DE=BE=4，故．故答案为：4．【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．18．如图，已知在等边中，，点在边上，如果以线段为半径的与以边为直径的外切，那么的半径长是．【答案】【分析】由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解．【详解】解：如图，连接，过点作于H，在等边中，，，，点是的中点，，以线段为半径的与以边为直径的外切，，，，，，，，，故答案为．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．计算：【答案】-2【分析】先化简二次根式、计算负整数指数幂、分母有理化、去绝对值符号，再合并同类二次根式即可得．【详解】原式=2﹣4﹣+2﹣=﹣2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、分母有理化、负整数指数幂的意义、绝对值的意义是解答本题的关键.20．阅读下列有关记忆的资料，分析保持记忆的措施和方法．资料：德国心理学家艾宾浩斯对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下表中的相关数据，然后他又根据表中的数据绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线．其中横轴表示时间，纵轴表示学习中的记忆量．时间记忆量刚记忆完100%20分钟后58.2%1小时后44.2%9小时后35.8%1天后33.7%2天后27.8%6天后25.4%30天后21.1%观察表格和图像，回答下列问题：（1）图中点A的坐标表示的实际意义是________；（2）在下面哪个时间段内遗忘的速度最快（

）A．0—20分钟 B．20分钟—1小时 C．1小时9小时 D．1天—2天．（3）王老师每节数学课最后五分钟都会对本节课进行回顾总结，并要求学生每天晚上对当天课堂上所学的知识进行复习．据调查这样一天后记忆量能保持98%．如果小明同学一天没有复习，那么记忆量大约会比复习过的记忆量减少多少？由此对你的学习有什么启示？【答案】（1）2天大约记忆量保持了27.8%；（2）A；（3）减少约66.3%；①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）．【分析】（1）依据图象中点的坐标，即可得到A点表示的意义；（2）根据图象判断即可；（3）依据函数图象，可得如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%左右．【详解】解：（1）由题可得，点A表示：2天大约记忆量保持了27.8%；故答案为：2天大约记忆量保持了27.8%（2）由图可得，0-20分钟内记忆保持量下降41.8%，故0-20分钟内内遗忘的速度最快，故选：A；（3）如果一天不复习，记忆量只能保持33.7%，记忆量减少约66.3%；学习计划两条：①每天上午、下午、晚上各复习10分钟；②坚持每天复习，劳逸结合（答案不唯一）．【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．21．如图，已知中，，，边的垂直平分线，交的延长线于点D，交边于点E．(1)求的长；(2)求点C到直线的距离．【答案】(1)5(2)【分析】（1）过点A作于点F，由等腰三角形的性质可得，，求得，再根据垂直平分线的性质可得，，从而可得，即，求得，即可求解；（2）过点C作于点H，证明，根据平行线段成比例定理即可求解．【详解】（1）解：如图，过点A作于点F，∵，，，∴，，在中，，∵垂直平分，∴，，在中，，即，∴，∴．（2）解：过点C作于点H，∵，，∴，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键．22．如图，已知在⊙O中，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，AB＝CD＝8，tanC＝1（1）求⊙O的半径长；（2）求的值．【答案】（1）5；（2）【分析】（1）连接OA，设半径为r，利用垂径定理结合勾股定理即可求出r；（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，利用圆周角定理以及已知条件求出CE和CF的长即可计算的值．【详解】解：（1）连接OA，如图所示：设⊙O半径为r，则由题意可知：OA＝OC＝r，OD＝CD﹣OC＝8﹣r，又∵OD⊥AB，垂足为点D，∴AD＝，在Rt△AOD中，，即，解得：r＝5，∴⊙O的半径长为5；（2）延长CD交⊙O于点Q，连接QF，则∠CFQ＝90°，由（1）可知CQ＝10，∵tanC＝1，∴∠C＝45°，在Rt△CAF中：，而CQ＝CF，CQ＝10，∴CF＝5，在Rt△CDE中，∠C＝∠E＝45°，CE＝，∴EF＝CE﹣CF＝8－5＝3，∴．【点睛】本题考查了圆的垂径定理,勾股定理,特殊角的三角函数值,熟练掌握垂径定理,灵活运用勾股定理,特殊角的三角函数值是解题的关键．23．如图，已知四边形是菱形，两对角线和相交于点O，过点D作，垂足为点H，和交于点E，联结并延长交边于点G．求证：(1)；(2)．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出，再用等角的余角相等判断出，即可得出结论；（2）先判断出，进而判断出，得出．【详解】（1）证明：是菱形的对角线，，点是菱形的两条对角线的交点，，，，，，在Rt△BHD中，，，，，，，∵，∴；（2）证明：由（1）知，，是菱形的对角线，，，，，，，，，，，．【点睛】此题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（−3,0）和点B，与y轴相交于点C（0,3），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m>0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．【答案】(1)，（-1，4）；(2)；(3)平移距离为或【分析】（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题．（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，证明∠ACD=90°即可解决问题．（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．设P（a，-a2-2a+3），可得PH=|-a2-2a+3|，AH=a+3，由∠PAB=∠