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文档简介
向量一、空间直角坐标系过空间一个定点O,作三条互相垂直的数轴,它们都以O为原点且具有相同的长度单位,这三条轴分别称为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴),三条数轴统称为坐标轴.它们的正方向符合右手法则,即以右手握住z轴,并拢的四个手指从x轴的正方向旋转90°指向y轴的正方向,竖起的大拇指指向就是z轴的正方向,如图7-1所示.这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系,点O称为坐标原点(简称原点).图7-1一、空间直角坐标系在空间直角坐标系中,任意两条坐标轴确定的平面称为坐标面.三个坐标轴确定了三个平面,分别称为xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标面.三个坐标面将整个空间分成八个部分,每一部分称为一个卦限,八个卦限分别用Ⅰ,Ⅱ,…,Ⅷ表示(见图7-2).图7-2一、空间直角坐标系有了空间直角坐标系,就可以建立空间中的点和有序数组之间的对应关系.设M为空间中一已知点,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,交点分别为P,Q,R(见图7-3).设这三个点在x轴、y轴和z轴上坐标依次为x,y,z,则点M唯一确定了一个三元有序数组(x,y,z).图7-3一、空间直角坐标系反过来,给定了一个三元有序数组(x,y,z),则可分别在x轴、y轴和z轴上取坐标依次为x,y,z的三个点P,Q,R,然后过这三个点分别作一个与x轴、y轴和z轴垂直的平面,这三个平面有唯一的交点,设为M,则一个三元有序数组(x,y,z)就唯一地确定了空间一点M.这样,利用空间直角坐标系,就在三元有序数组(x,y,z)与空间中任意一点M之间建立了一一对应关系.称这个三元有序数组(x,y,z)为点M的直角坐标,并依次称x,y,z为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标,坐标为(x,y,z)的点M,记为M(x,y,z).一、空间直角坐标系显然,坐标原点O的坐标为(0,0,0);x轴、y轴和z轴上任意一点的坐标分别为(x,0,0),(0,y,0),(0,0,z);xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标面上任意一点的坐标分别为(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).
对空间中两点M1(x1,y1,z1)和M2(x2,y2,z2),可用其坐标表示它们间的距离d.设M1(x1,y1,z1),M2
(x2,y2,z2)是空间中两点,如图7-4所示.图7-4一、空间直角坐标系过M1,M2各作三个平面分别垂直于三条坐标轴,这六个平面围成一个以M1M2为对角线的长方体.线段M1P,M1Q,M1R是它的三条棱,它的对角线M1M2的长度设为d,则d2=M1M22=M1P2+M1Q2+M1R2.因为M1P=P1P2=x2-x1,M1Q=Q1Q2=y2-y1,M1R=R1R2=z2-z1,一、空间直角坐标系所以d2=M1M22=x2-x12+y2-y12+z2-z12,即d=x2-x12+y2-y12+z2-z12.(7-1)式(7-1)称为两点间距离公式.特别地,空间任一点M(x,y,z)与坐标原点O(0,0,0)的距离为d=OM=x2+y2+z2.(7-2)一、空间直角坐标系已知一动点M(x,y,z)到两个点A(1,2,3)和B(-1,-3,0)的距离相等,求点M的坐标满足的方程.解由已知条件得MA=MB,根据式(7-1),有
(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2
=(x+1)2+(y+3)2+z2,
整理得2x+5y+3z-2=0.【例1】二、向量的概念在物理学中,我们已经遇到过既有大小,又有方向的量,如力、力矩、速度等.这一类量称为向量.在数学上,常用一条有方向的线段即有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.以M1为起点,M2为终点的向量记作M1M2(见图7-5).有时也用一个黑体字母(或书写时在字母上面加箭头)来表示向量,如a,v,F(或a,v,F).以坐标原点O为起点,向一个点M引向量OM,这个向量称为点M对于O的向径,常用黑体字r表示.图7-5二、向量的概念向量的大小称为向量的模.向量M1M2,a的模依次记为|M1M2|,|a|.模等于1的向量称为单位向量.模为零的向量称为零向量,记作0.零向量的起点和终点重合,它的方向可以看作是任意的.
在许多涉及向量的实际问题中,可以不考虑向量的起点位置,只考虑其大小和方向,称这样的向量为自由向量.下面讨论的向量一般都指自由向量.二、向量的概念如果两个向量a,b的模相等,方向相同,则称向量a,b是相等的,记作a=b.也就是说,经过平移后能完全重合的向量是相等的.如果两个非零向量a,b的方向相反或者相同,则称两个向量平行,记作a∥b.由于零向量的方向是任意的,因此可以认为零向量与任何向量都平行.三、向量的线性运算向量的加减法1.在力学中,求作用于同一质点的两个不同方向的力的合力F时,采用平行四边形和三角形法则(见图7-6).图7-6三、向量的线性运算由此,我们给出向量加法的法则:法则1(平行四边形法则)设有两个非零向量a,b,任取一点A,作AB=a,AD=b,以AB,AD为邻边作平行四边形,其对角线向量AC(见图7-7)称为向量a,b的和,记为a+b.从图7-7可得三角形法则.图7-7三、向量的线性运算法则2(三角形法则)以向量a的终点作为向量b的起点,则由a的起点到b的终点的向量是a与b的和向量.从图7-7和7-8可以看出,向量的加法满足以下运算律:(1)交换律a+b=b+a.(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).图7-8三、向量的线性运算由向量加法的三角形法则及交换律、结合律得n个向量相加的法则如下:以前一个向量的终点作为下一个向量的始点,相继作向量a1,a2,…,an,再以第一个向量的起点为起点,最后一个向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和.如图7-9所示,有s=a1+a2+a3+a4+a5.图7-9三、向量的线性运算设a为一向量,与a的模相等而方向相反的向量称为a的负向量,记作-a(见图7-10).由此,我们规定两个向量b与a的差b-a=b+(-a).图7-10三、向量的线性运算把向量-a加到向量b上,便得b与a的差b-a,如图7-11所示.特别地,当b=a时,有a-a=a+(-a)=0.图7-11三、向量的线性运算向量与数的乘法2.向量a与实数λ的乘积记作λa,规定它为一个向量,它的模|λa|=|λ|·|a|,
它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反(见图7-12).当λ=0时,λa=0,即λa为零向量,这时它的方向可以是任意的.图7-12三、向量的线性运算向量与数的乘法满足以下运算规律:(1) 结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a.(2) 分配律(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.根据向量与数的乘法的规定,有:(1) 向量a与b平行的充要条件是a=λb或b=μa.(2) 与非零向量a同方向的单位向量记作ea,则ea=1,且ea=aa,即a=aea.三、向量的线性运算在△ABC中,D,E是BC边上的三等分点(见图7-13),设AB=a,AC=b,试用a,b来表示AD,AE.【例2】图7-13三、向量的线性运算四、向量的坐标向量在轴上的投影1.设a,b为非零向量,将它们的起点都平移到某一点O,得到向量a1,b1.a1,b1所成的角(在0与π之间)称为向量a,b的夹角,记作向量与轴的夹角就是向量与轴的正向所成的角.下面给出空间一点和一向量在轴上的投影.已知空间的点A和轴u,过点A作垂直于u的平面α,则平面α与轴u的交点A′称为点A在轴u上的投影(见图7-14).图7-14四、向量的坐标已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为A′和B′(见图7-15),则轴u上的有向线段A′B′的值A′B′称为向量AB在轴u上的投影,记作
PrjuAB=A′B′,
轴u称为投影轴.图7-15四、向量的坐标
向量的投影有如下性质:性质1
PrjuAB=ABcosφ(φ为AB与轴u的夹角).性质2
Prju(a+b)=Prjua+Prjub.性质3
Prju(λa)=λPrjua.四、向量的坐标向量的坐标表示2.前面已经用几何的方法表示向量和对向量进行运算,这种方法虽然直观,但难以进行精确计算.更深入地研究向量及用向量解决实际问题,还须借助代数的方法.为此,引入向量的坐标概念,并用向量的坐标进行向量的计算.在空间直角坐标系中,以原点为始点,终点为(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)的三个单位向量称为这个坐标系的基本单位向量,分别记作i,j,k.四、向量的坐标设向量a的起点在坐标原点O,终点为M(ax,ay,az),即a=OM,如图7-16所示.图7-16四、向量的坐标点M在x轴、y轴、z轴上的投影依次为A(ax,0,0),B(0,ay,0),C(0,0,az
),根据向量的加法,有a=OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC.由向量与数的乘法可知
OA=axi,OB=ayj,OC=azk,
于是a=OM=axi+ay
j+azk,(7-3)
或a=(ax,ay,az).(7-4)式(7-3)称为向量a按基本单位向量的分解式,其中ax,ay,az是向量a分别在x轴、y轴、z轴上的投影;式(7-4)称为向量a的坐标表示式.四、向量的坐标对一般的向量在坐标轴上的投影,由性质1可知,在向量平移后保持不变,因此向量按基本单位向量的分解式可以推广到起点不在坐标原点的情形.对空间中任一向量M1M2,起点M1与终点M2的坐标分别为(x1,y1,z1),(x2,y2,z2)(见图7-17),则有
M1M2
=OM2
-OM1
=(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k,(7-5)
或M1M2
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).(7-6)图7-17四、向量的坐标由式(7-1)、式(7-6),可以得到向量模的计算公式|M1M2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2.特别地,起点在原点时,|a|=ax2
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