曲线的曲率课件

曲线的曲率一、曲率的概念我们知道不同的曲线弯曲程度是不一样的.例如，半径较小的圆弧曲线弯曲得比半径较大的厉害，而同一曲线的不同部分也有不同的弯曲度，如抛物线y=x2在顶点附近弯曲得比远离顶点的部分厉害．这都要求我们对曲线的弯曲程度给出定量的刻画.

在图3-17中可以看出，弧段比较平直，当动点沿这弧段从M1移动到M2时，切线转过的角度φ1不大，而弧段弯曲得比较厉害，切线转过的角度φ2就比较大．也就是说，曲线的弯曲程度的大小与切线的转角成正比．一、曲率的概念

但是，只有切线转过的角度的大小还不能完全反应曲线弯曲的程度．例如，在图3-18中我们可以看出，两段曲线弧和，尽管它们的切线转过的角度都是φ，然而其弯曲程度并不相同，弧长短的比弧长长的弯曲得厉害．由此可见，曲线弧的弯曲程度与曲线弧的长度也有关．曲线弧的弯曲程度的大小与曲线的弧长成反比．一、曲率的概念定义

设在具有连续转动切线的曲线L上，有一长为|Δs|的弧段，此弧段的切线转角为|Δα|（见图3-19），则称比值为弧段的平均曲率，并记作，即一、曲率的概念

当Δs→0时（即M′→M时），上述平均曲率的极限叫作曲线L在点M处的曲率，记作K，即在存在的条件下，K也可以表示为(3-13)一、曲率的概念

已知圆的半径为R，求圆上：（1）任一段弧的平均曲率.（2）任一点的曲率.【例1】一、曲率的概念

解（1）在圆上任取一段弧，它的长度为Δs（见图3-20），根据平面几何知识，切线的转角Δα等于圆心角∠MDM′，于是Δs=RΔα，因此，的平均曲率为一、曲率的概念

（2）圆上任一点的曲率为

上述结论表示圆上任一段弧的平均曲率和任一点的曲率都相等，而且都等于半径R的倒数.这就是说，圆的弯曲程度处处都一样，且半径越小曲率越大，即圆弯曲的越厉害．

为了更方便地计算曲线在某一点处的曲率，我们先看弧长微分的概念和计算.一、曲率的概念二、弧微分

设函数f(x)在区间(a,b)内具有连续导数．在曲线y=f(x)上取固定点A(x0,y0)作为度量弧长的基点（见图3-21），并规定以x增大的方向为曲线的正向．对曲线上任一点M(x,y)，规定有向弧段的值s（简称为弧s）如下：s的绝对值等于这段弧的长度，当有向弧段的方向与曲线的正向一致时s>0，相反时s<0．显然，弧s与x存在函数关系：s=s(x)，而且s(x)是x的单调增加函数．下面来求s(x)的导数及微分

设x,x+Δx为(a,b)内两个邻近的点，它们在曲线y=f(x)上的对应点为M,M′，并设对应于x的增量Δx，弧s的增量为Δs，那么二、弧微分二、弧微分

求抛物线y=2x2－3x+1的弧微分.解由弧微分公式（3-14）得【例2】【例3】二、弧微分三、曲率的计算公式

我们通过曲率的定义，根据式（3-14）导出计算曲率的公式．

设曲线的直角坐标方程是y=f(x)，且f(x)具有二阶导数（这时f′(x)连续，从而曲线是光滑的）．因为tanα=y′，所以于是又由式（3-14）可知，从而，根据曲率的表达式（3-13），有(3-17)设曲线由参数方程给出，则可利用参数方程所确定的函数的求导法，求出y′及y″，代入式（3-17）便得（3-18）三、曲率的计算公式

求抛物线y=x2的曲率K及K|x=0．解y′=2x,y″=2，把y′,y″代入式（3-17）得下面利用曲率来对铁路的弯道进行分析.铁路弯道的主要部分是圆弧状的，如图3-22中的弧AB.设半径为R，则圆弧上每点的曲率为1/R.如果火车由直线轨道直接进入圆弧轨道行驶，在直线与圆弧的联结点的曲率将由零突然上升到1/R，轨道的弯曲就有一个跳跃，这样就会影响火车的平稳运行，甚至出现脱轨.因此，在直线与圆弧之间必须接入一缓冲曲线。【例4】三、曲率的计算公式

如图3-22中的弧OA，使轨道的曲率由零逐步地过渡到1/R.通常采用立方抛物线作为缓冲曲线，图3-22中x轴(x<0)表示直线轨道，AB是圆弧轨道，其圆心为C，OA是立方抛物线，方程为其中L为缓冲曲线OA的长度.三、曲率的计算公式

求证：当所取L比R小得多时，缓冲曲线OA在端点O的曲率为零，在端点A的曲率近似于1/R.证明

故缓冲曲线在点O处的曲率为零.设点A的横坐标为x0，由于L≈x0，于是故缓冲曲线在点A处的曲率为【例5】三、曲率的计算公式

因为L比R小得多，所以L/2R≈0，于是KA≈1/R．因此，缓冲曲线的曲率由零逐步变化到1/R，起到了缓冲作用．在有些实际问题中，|y′|同1比较起来是很小的（|y′|<<1），可以忽略不计．这时，1+y′2≈1，曲率有近似计算公式这就是说，当|y′|<<1时，曲率K近似于|y″|．对一些复杂问题的计算和讨论就方便多了．三、曲率的计算公式四、曲率圆与曲率半径

设曲线y=f(x)在点M(x,y)处的曲率为K（K≠0）．在点M处曲线的法线上，在凹的一侧取一点D，使|DM|=1/K=R．以D为圆心，R为半径画圆（见图3-23），这个圆叫作曲线在点M处的曲率圆，曲率圆的圆心D叫作曲线在点M处的曲率中心，曲率圆的半径R叫作曲线在点M处的曲率半径．

由上述规定可知，曲率圆与曲线在点M处有相同的切线和曲率，且在点M邻近有相同的凹向．因此，在实际问题中，常常用曲率圆在点M邻近的一段圆弧来近似替代曲线弧，使问题简化．按上述规定，曲线在点M处的曲率K（K≠0）与曲线在点M处的曲率半径R有如下关系：

这就是说：曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数．四、曲率圆与曲率半径

设工件表面的截线为抛物线y=0.4x2，现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适（见图3-24）？【例6】四、曲率圆与曲率半径解为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径的最小值．抛物线在其顶点处的曲率最大，也就是说，抛物线在其顶点处的曲率半径最小．因此，只要求出抛物线y=0.4x2在顶点O(0,0)处的曲率半径．由y′=0.8x，y″=0.8，而有y′|x=0=0，y″|x=0=0.8.把它们代入公式（3-17）,得K=0.8.因而求得抛物线顶点处的曲率半径R=1/K=1.25.所以选用砂轮的半径不得超过1.25个单位长，即直径不得超过2.50个单位长．四、曲率圆与曲率半径

对于用砂轮磨削一般工件的内表面时，也有类似的结论，即选用的砂轮的半径不应超过这工件的内表面的截线上各点处曲率半径中的最小