斯托克斯公式环

斯托克斯公式环流量与旋度一、斯托克斯公式平面上封闭曲线的曲线积分与其围成的平面区域上的二重积分之间的关系可用格林公示来表示，沿空间封闭曲面的曲面积分与其所围成的空间闭区域上的三重积分之间的关系可用高斯公式来表示，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面Σ的曲面积分与沿Σ的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系.一、斯托克斯公式在给出斯托克斯公式之前，先对有向曲面Σ的侧与其边界曲线Γ满足右手法则规定如下：当右手除拇指外的四指依Γ的绕行方向时，拇指所指的方向与Σ上法向量的指向相同，这时称Γ是有向曲面Σ的正向边界曲线.一、斯托克斯公式设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手规则，函数P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）在曲面Σ（连同边界Γ）上具有一阶连续偏导数，则有

（10-16）定理一、斯托克斯公式公式(10-16)称为斯托克斯公式.斯托克斯公式还可写为其中n=cos

αi+cos

βj+cos

γk为有向曲面Σ在点(x,y,z)处的单位法向量.一、斯托克斯公式

（10-18）根据两类曲面积分间的关系，有一、斯托克斯公式证明先证明

（10-17）假定Σ与平行于z轴的直线相交不多于一点，并设Σ为曲面z=f（

x,y

）的上侧，Σ的正向边界曲线Γ在xOy面上的投影为平面有向曲线C，C所围成的闭区域为Dxy.由第二类曲线积分的定义及格林公式,有一、斯托克斯公式又有向曲面Σ的法向量的方向余弦为因此故即

（10-19）一、斯托克斯公式比较式(10-18)和式(10-19)，可知式(10-17)成立.如果Σ取下侧，Γ也相应地改成相反的方向，那么式(10-17)两端同时改变符号，因此式(10-17)仍成立.同样可证

（10-20）

（10-21）一、斯托克斯公式将式(10-17)、式(10-20)和式(10-21)相加即得公式(10-16).若曲面与平行于z轴的直线交点多于一个，则可用一些光滑曲线把Σ分成若干小块，使每小块能用这种形式来表示，因而这时式(10-16)也成立.一、斯托克斯公式求其中Γ是曲线从z轴正向看去Γ的方向是顺时针方向.【例1】一、斯托克斯公式解法1令x=cos

θ,y=sinθ，则z=2－x+y=2－cos

θ+sinθ，所以一、斯托克斯公式解法2设Σ是平面x－y+z=2上以Γ为边界的有限部分，其法向量与z轴正向的夹角为钝角，Dxy为Σ在xOy面上的投影域.由斯托克斯公式得一、斯托克斯公式求其中Γ是曲线从z轴正向看去Γ的方向是逆时针方向.解设Σ是曲面x2+y2=2z上以Γ为边界的有限部分，Σ的单位法向量为其法向量与z轴正向的夹角为锐角，由斯托克斯公式得【例2】一、斯托克斯公式

二、向量场的环流量与旋度设有向量场其中函数P,Q,R均连续，Γ是A的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线，τ是Γ在点x,y,z处的单位切向量，则积分称为向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量.由两类曲线积分的联系，环流量又可表达为二、向量场的环流量与旋度在向量场A中任取一点M，过点M作一平面π，在平面π上任取一包围点M的光滑闭曲线Γ，取Γ的方向与平面π的法向量n符合右手规则，Γ所围区域D的面积记为S(D),则表示向量场A沿平面曲线Γ绕n旋转的平均环量.二、向量场的环流量与旋度求向量场沿曲线（从z轴的正方向看去，L为逆时针方向）的环流量.解L的参数方程为【例3】二、向量场的环流量与旋度于是在π上令Γ收缩到点M,若存在，则称此极限值为向量场A在点M处沿n方向的方向旋量.由斯托克斯公式及积分中值定理可知二、向量场的环流量与旋度

其中因此,如果记向量则这个式子表明，左端的极限值等于向量T在该向量n上的投影，而向量T只与向量场A有关，为此称向量T是向量场A在点M的旋度，记为rotA(M),则二、向量场的环流量与旋度

利用向量微分算子Δ，向量场A的旋度rotA可表示为Δ×A，即二、向量场的环流量与旋度旋度具有下列性质：(1)Δ×CA=CΔ×A(C为常数).(2)Δ×(A+B)=Δ×A+Δ×B.(3)Δ×uA=uΔ×A+Δu×A(u为数量函数).(4)Δ·(Δ×A)=0.(5)Δ×Δu=0(u为数量函数).二、向量场的环流量与旋度斯托克斯公式可写为斯托克斯公式表明,