函数的幂级数展开

函数的幂级数展开第五节函数的幂级数展开前面讨论了幂级数的收敛域，幂级数在收敛域内和、差、积、商的运算，以及幂级数的和函数的连续性、可积性、可导性，从这些内容中可看出，幂级数具有形式简单，运算和分析性质良好的特点.因此，能否将一个函数表示成幂级数在理论上和实际上都具有重要的意义.第五节函数的幂级数展开

给定函数f(x)，要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”，就是说，是否能找到这样一个幂级数，它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数f(x).如果能找到这样的幂级数，就说函数f(x)在该区间能展开成幂级数，而这个幂级数在该区间内就表达了函数f(x).第五节函数的幂级数展开本节要讨论的问题是：(1)函数f(x)在什么条件下才能展开成幂级数？(2)如果可以展开，怎样确定它的展开式，展开式是否唯一？(3)它的展开式在什么区间内收敛于f(x)?一、泰勒级数的概念首先看第一个问题.第三章已讲过泰勒公式，若函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内有直到(n+1)阶的导数，则对于任意的x∈U(x0)，有f(x)的n阶泰勒公式

（11-7）成立，其中

介于x与x0之间).此时，f(x)可表示为

（11-8）一、泰勒级数的概念其中是n次多项式.如果函数f(x)在x0的某邻域U(x0)内有任意阶的导数，可以设想多项式sn+1(x)的项数趋近于无穷，得

（11-9）称幂级数(119)为函数f(x)在x=x0处的泰勒级数.若取x0=0,称幂级数

为f(x)的麦克劳林级数.一、泰勒级数的概念一个函数只要在点x0处无穷次可导，就能写出它的泰勒级数，但是这个级数除了x0外，它是否一定收敛？如果收敛，它是否一定收敛于f(x)?看一个具体的例子.函数

在点x=0任意阶可导，且f(n)(0)=0(n=0,1,2,…)，所以f(x)的麦克劳林级数为

该级数在(－∞,+∞)内的和函数s(x)≡0,可见除x=0外,f(x)的麦克劳林级数处处不收敛于f(x).那么f(x)的泰勒级数收敛于f(x)的条件是什么呢？下面的定理给出了第一个问题的答案.一、泰勒级数的概念若函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n→∞时的极限为零，即定理一、泰勒级数的概念必要性.设f(x)在U(x0)内能展成泰勒级数，即

（11-10）对一切x∈U(x0)都成立.把f(x)的n阶泰勒公式(11-7)写成式(11-8),由式(11-10)有证明一、泰勒级数的概念所以定理的必要性得证.充分性.设对一切x∈U(x0),都有.由f(x)的n阶泰勒公式(11-8)有令n→∞取上式极限，得一、泰勒级数的概念即f(x)的泰勒级数(11-9)在U(x0)内收敛，并且收敛于f(x).因此定理的充分性得证.下面要讨论第二个问题，如果函数f(x)在含有x0的某个邻域U(x0)内可以表示为幂级数

，那么，系数an(n=0,1,2,…)如何确定呢？任取x0的一个邻域(x0－δ,x0+δ)U(x0)，在此邻域内

，由幂级数在收敛区间内可以逐项求导，得一、泰勒级数的概念在以上各式中，令x=x0，得一、泰勒级数的概念于是上式说明，若函数f(x)能展成x－x0的幂级数，则这个幂级数就是f(x)的泰勒级数，它的展开式是唯一的.特别地，若x0=0，则这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数.下面讨论第三个问题，函数f(x)的展开式在什么区间内收敛于f(x)？即如何在一定的区间内将函数f(x)展成x的幂级数.二、函数展开成幂级数的方法直接法1.将已给函数f(x)展开成x的幂级数，可直接按下列步骤进行：（1）求出f(x)的各阶导数f(n)(x)，并将x=0的值代入，求出

（2）写出幂级数

，并求出收敛半径R.（3）验证当x∈(－R,R)时，

，写出所求函数f(x)的麦克劳林级数及其收敛区间二、函数展开成幂级数的方法将函数f(x)=ex展开成x幂级数.

解求出f(x)的各阶导数f(n)(x)=ex,并将x=0的值代入，得f(n)(0)=1(n=0,1,2,…),于是f(x)的麦克劳林级数为该级数的收敛半径R=+∞.对于任何有限的数x，ξ(ξ介于0与x之间)，有【例1】二、函数展开成幂级数的方法因

有限,而

是收敛级数

的一般项，所以,即,于是二、函数展开成幂级数的方法将函数f(x)=sinx展成x的幂级数.

解求出f(x)的各阶导数并将x=0的值代入，知f(n)(0)顺序循环地取0,1,0,－1,…(n=0,1,2,…),于是f(x)的麦克劳林级数为【例2】二、函数展开成幂级数的方法该级数的收敛半径R=+∞.对于任何有限的数x，ξ(ξ介于0与x之间)，有于是二、函数展开成幂级数的方法间接法2.利用一些已知的函数展开式、幂级数的运算（如四则运算、逐项求导、逐项积分）以及变量代换等将所给函数展开为幂级数，这样可以避免研究余项.二、函数展开成幂级数的方法将函数f(x)=cosx展成x的幂级数.解由于sinx的导数是cosx，已知故在sinx的收敛区间(－∞,+∞)内对上式逐项求导，得【例3】二、函数展开成幂级数的方法将函数f(x)=(1+x)α(α∈R)展开成x的幂级数.解求出f(x)的各阶导数.【例4】二、函数展开成幂级数的方法所以于是f(x)的麦克劳林级数为该级数相邻两项的系数之比的绝对值二、函数展开成幂级数的方法因此，对任何常数α这级数在(－1,1)内收敛.为了避免直接研究余项,设所得级数在区间(－1,1)内收敛到s(x)，即

（11-11）下面证明s(x)=(1+x)α，x∈(－1,1).对式(11-11)逐项求导，得二、函数展开成幂级数的方法上式两端同乘以1+x，合并同类项，则由恒等式得二、函数展开成幂级数的方法即注意到s(0)=1，将上式两端从0到x积分，有于是即二、函数展开成幂级数的方法所以

于是

（11-12）在区间的端点x=±1处，展开式是否成立要看α的取值而定.公式(11-12)称为二项展开式.特别地,当α为正整数时，级数成为x的α次多项式，它就是初等代数中的二项式定理.例如，当α=－1时，有二、函数展开成幂级数的方法将x换成－x，得当

时，有当

时，有二、函数展开成幂级数的方法将函数

展成x的幂级数.

解由于

且在上式两端从0到x逐项积分,得

（11-13）【例5】二、函数展开成幂级数的方法式(11-13)对x=1也成立.因为式(11-13)右端的幂级数当x=1时收敛，而式(11-13)左端的函数ln(1+x)在x=1处有定义且连续.注意二、函数展开成幂级数的方法从前面的几个例子可得七个