函 数的求导法则

函数的求导法则一、和、差、积、商的求导法则定理1如果函数u=ux与v=vx在点x处可导，那么它们的和、差在点x处也可导，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).证明令y=u(x)±v(x)，当x有增量Δx时，u有增量Δu，v有增量Δv，从而y有增量Δy，且有此定理可以推广到有限个函数代数和的情形，即[u1(x)±u2(x)±…±un(x)′]=u′1(x)±u′2(x)±…±u′n(x).注意一、和、差、积、商的求导法则定理2

如果函数u=ux与v=vx在点x处可导，那么它们的积在点x处也可导，且［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).证明令y=u(x)v(x)，因为Δu=u(x+Δx)－u(x),Δv=v(x+Δx)－v(x),一、和、差、积、商的求导法则此定理也可以推广到有限个函数乘积的情形，即[u1(x)u2(x)…un(x)]′=u′1(x)u2(x)…un(x)+u1(x)u′2(x)…un(x)+…+u1(x)u2(x)…u′n(x).注意一、和、差、积、商的求导法则定理3

如果函数u=ux与v=vx在点x处可导，那么它们的商（除分母为零的点外）在点x处也可导，且一、和、差、积、商的求导法则

一、和、差、积、商的求导法则

【例1】一、和、差、积、商的求导法则

已知函数y=x2sinx，求y′|x=π

解因为y′=（x2）′sinx+x2sinx′=2xsinx+x2cosx，所以y′|x=π=－π2.【例2】一、和、差、积、商的求导法则

求正切函数y=tanx的导数.【例3】一、和、差、积、商的求导法则

求正割函数y=secx的导数【例4】注意一、和、差、积、商的求导法则二、反函数的求导法则定理4若函数x=φ（y）在区间Iy内单调、可导,且φ′（y）≠0,则它的反函数y=f（x）在区间Ix={x|x=φ(y),y∈Iy}内也可导,且有证明由于函数x=φ(y)在区间Iy内单调、可导,由第一章内容可知，x=φ(y)的反函数y=f(x)存在，且在Ix内单调、连续.任取x∈Ix，给x以增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix)，由y=f(x)的单调性知Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0,于是有二、反函数的求导法则

求指数函数y=ax(a>0,a≠1)的导数.【例5】二、反函数的求导法则

求函数y=arcsinx的导数【例6】二、反函数的求导法则

求函数y=arctanx的导数【例7】二、反函数的求导法则三、常数和基本初等函数的导数公式前面已经介绍了常数和基本初等函数求导数的方法.为了便于记忆与应用，现将这些公式归纳如下：四、复合函数的求导法则定理5

（复合函数求导法则）若函数u=φ（x）在点x处可导,函数y=f（u）在点u=φ（x）处可导,则复合函数y=f[φ(x)]在点x处可导,且证明设自变量x在点x处取得增量Δx时，中间变量u取得相应的增量Δu，从而函数y也取得相应的增量Δy，当Δu≠0时，有四、复合函数的求导法则（1）上式说明,求复合函数y=f[φ(x)]对x的导数时，可先求出y=f(u)对u的导数和u=φ(x)对x的导数，然后相乘即得.（2）复合函数的求导法则可以推广到任意有限多个中间变量的情形.以两个中间变量为例，设y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),则复合函数y=fφ［ψ(x)］的导数为注意四、复合函数的求导法则

求函数y=(1－5x)10的导数.解设y=u10,u=1－5x,则【例8】

求函数y=cos(ln2x)的导数.【例9】四、复合函数的求导法则

求函数y=logxsinx(x>0,x≠1)的导数.

解在函数表达式中,考虑到对数的底是变量,可用对数换底公式,将其变形为y=lnsinx/lnx.这时【例10】

求函数y=f(tanx)+tan［f(x)］的导数，其中f(x)可导.【例11】四、复合函数的求导法则五、应用举例

一个细菌种群的初始总数是10000，t小时后,该种群已增长到数量P(t),且可表示成P(t)=10000(1+0.86t+t2).（1）求种群数量P关于时间t的增长率.（2）求5小时后该细菌种群的总数及增长率.解(1)由P(t)=10000(1+0.86t+t2),得P′(t)=10000(0.86+2t).【例12】

(2)t=5时该细菌种群的总数是P(5)=10000×(1+0.86×5+52)=303000,t=5时该细菌