常州市高三一模数学试卷

常州市高三一模数学试卷一、选择题

1.若函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$在$x=1$处的导数等于多少？

A.0

B.1

C.2

D.3

2.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，若$a_1+a_4=12$，$a_3+a_5=18$，则公差$d$等于多少？

A.2

B.3

C.4

D.5

3.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点为$B$，则$B$的坐标为多少？

A.$(1,4)$

B.$(3,2)$

C.$(4,1)$

D.$(5,0)$

4.设$a,b,c$是等差数列的连续三项，且$a+b+c=9$，$ab+bc+ca=12$，则这个等差数列的公差$d$等于多少？

A.1

B.2

C.3

D.4

5.若一个等比数列的首项为$a_1$，公比为$q$，且$a_1+a_2+a_3=8$，$a_1+a_2+a_3+a_4=24$，则公比$q$等于多少？

A.2

B.3

C.4

D.5

6.已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，若$f(x)$在$x=2$处取得极值，则该极值为多少？

A.-1

B.0

C.1

D.2

7.在直角坐标系中，若点$A(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点为$B$，则$AB$的长度为多少？

A.$\sqrt{5}$

B.$2\sqrt{5}$

C.$\sqrt{10}$

D.$2\sqrt{10}$

8.已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，首项为$a_1$，若$a_1+a_4=12$，$a_3+a_5=18$，则这个等差数列的第四项$a_4$等于多少？

A.6

B.7

C.8

D.9

9.在直角坐标系中，若点$A(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点为$B$，则$OA$的长度为多少？

A.$\sqrt{5}$

B.$2\sqrt{5}$

C.$\sqrt{10}$

D.$2\sqrt{10}$

10.设$a,b,c$是等差数列的连续三项，且$a+b+c=9$，$ab+bc+ca=12$，则这个等差数列的第二项$b$等于多少？

A.2

B.3

C.4

D.5

二、判断题

1.函数$f(x)=\frac{1}{x}$在定义域内是增函数。（）

2.一个等差数列的任意两项之和等于它们的平均数乘以项数。（）

3.在平面直角坐标系中，点$(2,3)$到直线$x+2y-5=0$的距离是$\frac{1}{2}$。（）

4.若一个数的平方根是正数，则这个数一定是正数。（）

5.一个等比数列的前$n$项和$S_n$与公比$q$无关，只与首项$a_1$有关。（）

三、填空题

1.若函数$f(x)=2x^3-3x^2+4x-1$的导数为0的点有三个，则这三个点的横坐标分别为________。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前5项和为$S_5=35$，第3项$a_3=7$，则这个等差数列的首项$a_1$为________。

3.在直角坐标系中，点$A(2,3)$关于直线$x+y=5$的对称点$B$的坐标为________。

4.若一个数的平方根是$-2$，则这个数是________。

5.一个等比数列的首项为$a_1=2$，公比$q=3$，则这个数列的第4项$a_4$为________。

四、简答题

1.简述函数$f(x)=x^2-4x+3$的图像特征，包括顶点坐标、对称轴、开口方向等。

2.请解释等差数列和等比数列的性质，并举例说明。

3.在直角坐标系中，如何求一个点到直线的距离？请给出公式和步骤。

4.简述函数极值的概念，并说明如何判断一个函数在某一点处取得极大值或极小值。

5.请解释数列极限的概念，并举例说明数列极限的性质。

五、计算题

1.计算函数$f(x)=x^3-6x^2+9x+1$在$x=2$处的导数值。

2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=3n^2-n$，求第10项$a_{10}$的值。

3.在直角坐标系中，已知点$A(1,2)$和$B(4,6)$，求直线$AB$的方程。

4.计算数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n=3^n-2^n$，求$S_5$的值。

5.求函数$f(x)=e^x-\ln(x)$在区间$(0,1)$上的最大值。

六、案例分析题

1.案例分析题：某公司采用等差数列方式发放年终奖金，第一年发放奖金1000元，此后每年增加100元。请问在第5年，公司需要发放多少年终奖金？

分析：首先，我们需要确定等差数列的首项$a_1$和公差$d$。根据题目描述，$a_1=1000$元，$d=100$元。然后，我们可以使用等差数列的通项公式$a_n=a_1+(n-1)d$来计算第5年的奖金，即$n=5$时的$a_5$。

2.案例分析题：某市计划在接下来五年内，每年增加1000个就业岗位，已知第一年新增就业岗位为2000个。请问五年内该市总共新增了多少个就业岗位？

分析：这个问题涉及到等差数列的前$n$项和的计算。我们知道第一年新增岗位数为2000个，每年增加1000个，因此这是一个首项$a_1=2000$，公差$d=1000$的等差数列。我们需要计算五年内新增岗位的总和，即$S_5$。使用等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$来求解。

七、应用题

1.应用题：一个工厂生产一批产品，前10天平均每天生产100个，从第11天开始，每天比前一天多生产5个。请问在第20天，工厂总共生产了多少个产品？

解答：首先计算前10天的总生产量，使用等差数列的前$n$项和公式$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$，其中$a_1=100$，$d=5$，$n=10$。计算得到$S_{10}=\frac{10}{2}(2\times100+(10-1)\times5)$。然后计算第11天到第20天的总生产量，同样使用等差数列的前$n$项和公式，其中$a_1=105$（第11天的生产量），$d=5$，$n=10$。最后将两部分相加得到总生产量。

2.应用题：一个学生在一次考试中得了85分，如果他的成绩提高5分，那么他的平均分将从70分提高到75分。请问这次考试共有多少题？

解答：设这次考试共有$x$题。根据题意，我们可以列出方程$\frac{85+5}{x}=75$。解这个方程，我们得到$x=\frac{85+5}{75}\times100$。计算得到$x$的值。

3.应用题：一个班级有30名学生，其中有10名男生和20名女生。如果从班级中随机抽取3名学生，计算至少有1名女生的概率。

解答：首先计算所有可能的三人组合的总数，使用组合公式$C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$，其中$n=30$，$k=3$。然后计算没有女生的组合数，即所有可能的男生组合数，使用同样的公式，其中$n=10$，$k=3$。最后，至少有1名女生的概率为$1-\frac{C(10,3)}{C(30,3)}$。

4.应用题：一个投资者投资了10000元，他选择了一个年利率为5%的复利投资方案。请问5年后他的投资将增长到多少？

解答：使用复利公式$A=P(1+r/n)^{nt}$，其中$A$是未来值，$P$是本金，$r$是年利率，$n$是每年计息次数，$t$是投资时间（年）。在这个案例中，$P=10000$元，$r=0.05$，$n=1$（每年计息一次），$t=5$年。将这些值代入公式计算得到$A$的值。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案：

1.B

2.A

3.C

4.B

5.A

6.C

7.B

8.C

9.A

10.B

二、判断题答案：

1.×

2.√

3.×

4.×

5.×

三、填空题答案：

1.$x_1=1,x_2=2,x_3=3$

2.7

3.$(3,2)$

4.无解（因为负数没有实数平方根）

5.162

四、简答题答案：

1.函数$f(x)=x^2-4x+3$的图像是一个开口向上的抛物线，顶点坐标为$(2,-1)$，对称轴为$x=2$。

2.等差数列的性质包括：相邻两项之差为常数（公差），前$n$项和$S_n=\frac{n}{2}(2a_1+(n-1)d)$。等比数列的性质包括：相邻两项之比为常数（公比），前$n$项和$S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$（$q\neq1$）。

3.点到直线的距离公式为$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中$(x_0,y_0)$是点的坐标，$Ax+By+C=0$是直线的方程。

4.函数极值是指函数在某一点附近的局部最大值或最小值。判断极值的方法包括：求导数，令导数为0，判断导数的符号变化。

5.数列极限是指当$n$趋向于无穷大时，数列$\{a_n\}$的项$a_n$趋向于一个确定的值$L$。数列极限的性质包括：极限存在且唯一，极限与无穷大的关系，极限与无穷小的关系。

五、计算题答案：

1.$f'(x)=3x^2-6x+4$，在$x=2$处，$f'(2)=3(2)^2-6(2)+4=8$。

2.$a_{10}=a_1+(10-1)d=1000+(10-1)\times100=1900$。

3.直线$AB$的斜率$k=\frac{6-2}{4-1}=2$，使用点斜式方程$y-y_1=k(x-x_1)$，代入点$A(1,2)$得到$y-2=2(x-1)$，化简得$2x-y=0$。

4.$S_5=3^5-2^5=243-32=211$。

5.求导得$f'(x)=e^x-\frac{1}{x}$，令$f'(x)=0$得$x=0$。在区间$(0,1)$内，$f'(x)$为负，说明$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，因此$f(x)$在$x=0$处取得最大值，即$f_{max}=f(0)=1$。

七、应用题答案：

1.前10天总生产量$S_{10}=\frac{10}{2}(2\times100+(10-1)\times5)=550$个，第11天到第20天的总生产量$S_{11-20}=\frac{10}{2}(2\times105+(10-1)\times5)=950$个，总生产量$S_{20}=S_{10}+S_{11-20}=550+950=1500$个。

2.$x=\frac{85+5}{75}\times100=120$题。

3.总的组合数为$C(30,3)=\frac{30!}{3!(30-3)!}=4060$，没有女生的组合数为$C(10,3)=\frac{10!}{3!(10-3)!}=120$，至少有1名女生的概率为$1-\frac{120}{4060}\approx0.975$。

4.$A=10000(1+0.05)^5=10000\times1.27628=12762.8$元。

知识点总结：

本试卷涵盖了高中数学的主要知识点，包括：

-函数的性质和图像

-等差数列和等比数列

-直线方程和点到直线的距离

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