27.2.2+相似三角形的性质++教案++2023-2024学年人教版九年级数学下册+

27.2.2相似三角形的性质教案【教学目标】1.理解并掌握相似三角形的性质.2.理解并掌握相似三角形周长与面积的性质.3.会运用相似三角形的性质解决相关问题.【重难点】重点：探究相似三角形的性质.难点：理解与掌握相似三角形的性质，并能运用相似三角形的性质进行计算.【教学过程】【复习巩固】如何判断两个三角形是否相似？(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.(2)平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.(3)三边成比例的两个三角形相似.(4)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(5)两角分别相等的两个三角形相似.(6)斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.师生活动:教师提出问题，学生通过之前所学知识尝试回答问题【设计意图】通过回顾之前所学内容，为接下来探究相似三角形的性质打好基础.【探究新知】师：思考：三角形中有各种各样的几何量，例如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等。如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢?根据三角形相似的定义，我们可以知道上面的几何量中：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似.下面，我们研究相似三角形的其它几何量之间的关系.三角形中除了三个角，三条边，还有以下要素：师生活动:学生回答问题，教师补充三角形除了三个角，三条边外，还有高、中线、角平分线、周长、面积这些要素.【猜想】如果两个三角形相似，那么对应的这些要素有什么关系呢?你能证明吗?师生活动:学生回答问题.【设计意图】引导学生类比全等三角形中几何量的对应关系猜想相似三角形对应几何量间的关系，激发学生探究热情.【知识点一】相似三角形对应线段之比.探究：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少?师生活动:先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程，教师巡视.①如图△ABC和△A′B′C′，相似比为k，分别作△ABC和△A′B′C′的对应高AD和A′D′.∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′.又△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，∴△ABD∽△A′B′D′.∴𝐴𝐷/"A′D′"=𝐴𝐵/"A′B′"=k.结论1：相似三角形对应高的比等于相似比.【设计意图】通过提示帮助学生完成证明过程，让学生理解相似三角形对应高的比等于相似比.②如图△ABC和△A′B′C′，相似比为k，其中AD和A′D′分别是BC和B′C′边上的中线.则BD=12BC，B′D′=12B′C∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA'B'=BCB

'∴ABA'B'=BDB

'∴△ABD∽△A′B′D′.∴ADA'D'=结论2：相似三角形对应中线的比等于相似比.【设计意图】通过提示帮助学生完成证明过程，让学生理解相似三角形对应中线的比等于相似比.③如图，△ABC和△A′B′C′，相似比为k，AD和A′D′分别是对应角的平分线.则∠BAD=12∠BAC，∠B′A′D′=12∠B′A′C∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B′.∠BAC=∠B′A′C′，∴∠BAD=∠B′A′D′，∴∠ABD∽∠A′B′D′，∴ADA'D'=结论3：相似三角形对应角平分线的比等于相似比.【设计意图】通过提示帮助学生完成证明过程，让学生理解相似三角形对应角平分线的比等于相似比.师:你可以尝试归纳相似三角形的性质吗?师生活动:学生通过所学内容，归纳总结相似三角形的性质1.对应角相等，对应边成比例.2.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.得出：相似三角形对应线段的比等于相似比.注意：在应用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比，而是相似三角形中对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比.【典例解析】已知△ABC∽△DEF，BG、EH分别是△ABC和△DEF的角平分线，BC=6cm，EF=4cm，BG=4.8cm.求EH的长.【巩固练习】1.如图，AD经过△ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作EG//BC交AD于点G，若BC=12，则线段GE的长为（）.A.6B.4C.5D.32.如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。(1)当SR=12BC时，求DE长(2)当SR=13

BC时，求DE【探究新知】探究：相似三角形的周长有什么关系?如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的周长有什么关系？师生活动:先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程.具体证明过程如下∵△ABC∽△A′B′C′，∴ABA'B'=ACA'由等比性质，得AB+BC+ACA'B结论4：相似三角形周长的比等于相似比.【设计意图】通过提示帮助学生完成证明过程，让学生理解相似三角形周长的比等于相似比.【巩固练习】1.已知，△ABC和△DEF中，ABED=BCEF=ACDF=43，△ABC的周长为80厘米，求2.如图，在△ABC中，两条中线BE，CD相交于点O，则△EOD的周长：△BOC的周长为()A.1:2B.2:3C.1:3D.1:4【知识点二】相似三角形面积的比.探究：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，其中AD和A′D′分别是BC、B′C′边上的高，它们对应面积的比是多少？师生活动:先由学生尝试在纸上写出完成的证明过程.具体证明过程如下∵△ABC∽△A′B′C′，∴BCB'C'=ADA'D'=k，∴BC=kB′C′，AD=kA则S△ABCS△A'B'结论5：相似三角形面积的比等于相似比的平方.注意：相似三角形面积的比等于相似比的平方，不要与其周长的比等于相似比混淆.【设计意图】通过提示帮助学生完成证明过程，让学生理解相似三角形面积的比等于相似比的平方.【典例解析】例3如图，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的边BC上的高为6，面积为125，求△DEF的边EF上的高和面积.【巩固练习】如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接EC交对角线BD于点F，若S△DEC=3，则S△BCF=.【课堂练习】（教材习题）1.判断题(正确的画“√”，错误的画“×”).(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍；()(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍.()2.如图，△ABC和△A′B′C′相似，AD，BE是△ABC的高，A′D′，B′E′是△A′B′C′的高，求证ADA'D'3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm变成了6cm，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化?【课堂检测】1.把一个三角形变成和它相似的三角形.1)如果边长扩大为原来的5倍，那么面积扩大为原来的倍.2)如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为原来的倍.3)如果边长缩小到原来的一半，那么面积缩小为原来的.2.若△ABC与△A′B′C′相似且对应中线之比为3:5，则周长之比和面积比分别是、.3.已知两相似三角形的对应中线的比是2:3，其中较大的三角形的面积为27，则较小的三角形的面积是.4.如图，在△ABC中，DE∥BC，AH⊥BC于点H，与DE交于点G.若DEBC=35

，则AGGH=.5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积.6.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则ADAB=7.已知，△ABC和△DEF中，ABED=BCEF=ACDF=43，△ABC的周长为80厘米，求8.如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为S，则四边形ABCE的面积为()A.8SB.9SC.10SD.11S【链接中考】1.（2019·沈阳·中考真题）已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD=10，A′D′=6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是().A.5:3B.9:25C.5:3D.25:92.（2024·陕西·中考真题）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为().A.2B.3C.52D.8【归纳小结】相似三角形的性质1.相似三角形对应高的比等于相似比；2.相似三角形的面积比等于相似比的平方；3.相似三角形的周长比等于相似比；4.相似三角形对应边上的中线的比等于相似比；5.相似三角形对应