2024年北师大新版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2024年北师大新版高一数学上册月考试卷942考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、若函数y=（k2-k-5）x2是幂函数；则实数k的值为（）

A.3

B.-2

C.3或-2

D.k≠3；且k≠-2

2、已知m、n为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若∥m∥则m∥B.若m⊥m⊥则∥C.若⊥m⊥则m⊥D.若m∥m⊥n，则n⊥3、函数f(x)=x2+lnx4的零点所在的区间是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)4、过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是（）A．B．CD．5、【题文】在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过个格点，则称函数为阶格点函数.对下列4个函数：

①②③④

其中是一阶格点函数的有()A.①③B.②③C.③④D.①④6、函数的部分图象如右图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，则=（）

A.10B.8C.D.7、函数f（x）=1-log2x的零点是（）A.（1，1）B.1C.（2，0）D.28、已知数列，则5是数列的（）A.第18项B.第19项C.第17项D.第20项9、已知等差数列中，a4=1，a7+a9=16，则a12的值是（）A.15B.30C.31D.64评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)10、已知实数x满足x+x-1=3，则=____．11、函数的最大值为.12、不过原点的直线将圆平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为.13、【题文】定义上的奇函数满足若则实数的取值范围为____.14、【题文】已知集合集合若的概率为1，则a的取值范围是____．15、【题文】设是定义在(－∞,＋∞)上的奇函数,且时,则时，=______________.16、【题文】一个几何体的三视图如图所示，其侧(左)视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积是____．

17、【题文】已知关于x的方程有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是____.18、已知非空集合A={x∈R|x2＜a2}，B={x|1＜x＜3}，若A∩B={x|1＜x＜2}，则实数a的值为____．评卷人得分三、计算题(共7题，共14分)19、若，则=____．20、如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．21、已知x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x1、x2（x1＜x2）．O为坐标原点；P点在y轴上（P点异于原点）．设∠PAB=α，∠PBA=β．

（1）若α；β都是锐角；求k的取值范围．

（2）当α、β都是锐角，α和β能否相等？若能相等，请说明理由；若不能相等，请证明，并比较α、β的大小．22、如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过A作⊙O1的切线交⊙O2于E，连接EB并延长交⊙O1于C，直线CA交⊙O2于点D．

（1）当A；D不重合时；求证：AE=DE

（2）当D与A重合时，且BC=2，CE=8，求⊙O1的直径．23、关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0有两个实数根，那么m的取值范围是____．24、如果菱形有一个角是45°，且边长是2，那么这个菱形两条对角线的乘积等于____．25、如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．

（1）求证：点D为BC的中点；

（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2-AF2=4CE•EA；

（3）若弧AD=弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．评卷人得分四、作图题(共2题，共20分)26、如图A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1千米，BD=3千米，且知道CD=3千米，现在要在河边CD上建一水厂，向A、B两村送自来水，铺设管道费用为每千米2000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设管道的费用最省，并求出其费用．27、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分五、解答题(共4题，共36分)28、在△ABC中，已知．

（1）试判断△ABC的形状；并给出证明；

（2）若∠C=60°；AB=1，求△ABC的面积．

29、二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x；且f（0）=1．

（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）求f（x）在区间[-1；1]上的值域；

（Ⅲ）在区间[-1；1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

30、（本小题12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度的一次函数．（Ⅰ）当时，求函数的表达式；（Ⅱ）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）31、【题文】已知f(x)=2x－

（1）若f(x)=2，求x的值.

（2）若恒成立，求实数m的取值范围.评卷人得分六、综合题(共1题，共10分)32、数学课上；老师提出：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．

同学发现两个结论：

①S△CMD：S梯形ABMC=2：3②数值相等关系：xC•xD=-yH

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1；0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；

（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】

因为函数y=（k2-k-5）x2是幂函数；

所以根据幂函数的定义，有k2-k-5=1，即k2-k-6=0；

所以k=3或-2．

故选C．

【解析】【答案】由于给出的函数y=（k2-k-5）x2是幂函数；所以其系数等于1，求解一元二次方程得k的值．

2、B【分析】试题分析：中当时错误;中若⊥则或∥错误.中得看的位置关系,可能垂直,可能平行,可能相交,所以错误.考点：线面关系的判断.【解析】【答案】B3、B【分析】试题分析：由可知零点在区间内.考点：零点存在性定理.【解析】【答案】B4、A【分析】过点A与原点距离最大的直线应为过A并且与OA垂直，因为所以所求直线的方程为即【解析】【答案】A5、D【分析】【解析】只通过一个格点（0；0）；

通过无数个格点,例如（0；1）；（-1，3）、(-2，9)等等；

通过无数个格点,例如（1；0）；（2，-1）、(4，-2)等等；

只通过一个格点（3；5）。

所以D正确。【解析】【答案】D6、B【分析】【解答】过作的垂线，垂足为∵

∴选B.7、D【分析】解：令f（x）=1-log2x=0；可得x=2

∴函数f（x）=1-log2x的零点是2

故选D．

令f（x）=1-log2x=0；可得结论．

本题考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于基础题．【解析】【答案】D8、B【分析】解：∵7-3=11-7=15-11=4；

即an2-an-12=4；

∴an2=3+（n-1）×4=4n-1；

令4n-1=75；则n=19．

故选B．

本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为4，即an2-an-12=4从而利用等差数列通项公式an2=3+（n-1）×4=4n-1=75；得解，n=19

本题通过观察并利用构造法，构造了新数列{an2}为等差数列，从而得解，构造法在数列中经常出现，我们要熟练掌握．【解析】【答案】B9、A【分析】解：∵a7+a9=16；

∴2a8=16，即a8=8；

∵a4=1；

∴d===

则a12=a8+4d=8+4×=8+7=15；

故选：A．

根据等差数列的通项公式以及等差数列的性质进行求解．

本题主要考查等差数列的应用，根据等差数列的通项公式和性质是解决本题的关键．【解析】【答案】A二、填空题(共9题，共18分)10、略

【分析】

设=t＞0，则t2=x+x-1+2=5，∴．

故答案为．

【解析】【答案】设=t＞0；将其平方即可求出．

11、略

【分析】试题分析：当时，当且仅当时取等号.所以函数的最大值为考点：基本不等式求最值【解析】【答案】12、略

【分析】设直线平分圆，只要过圆心（1，2），则有【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：因为所以即因为为奇函数，所以即

考点：函数性质综合应用【解析】【答案】14、略

【分析】【解析】的概率为1,所以圆与直线x+y+a=0有公共点；所以。

圆心到直线x+y+a=0的距离小于或等于半径，所以【解析】【答案】15、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】16、略

【分析】【解析】观察三视图可知，该几何体是圆锥的一半与一个四棱锥的组合体，圆锥底半径为四棱锥底面边长分别为它们的高均为

所以，该几何体体积为

考点：三视图，几何体的体积.【解析】【答案】17、略

【分析】【解析】

试题分析：首先利用换元法令则问题“方程有两个不同的实数根”转化为“方程有两个不同的正实数根”，然后根据二次函数的根的分布知，应满足条件：且解之得：即为所求.

考点：一元二次方程的根的判断.【解析】【答案】18、±2【分析】【解答】解：非空集合A={x∈R|x2＜a2}={﹣|a|＜x＜|a|}；B={x|1＜x＜3}；

A∩B={x|1＜x＜2}；

∴|a|=2；

解得a=±2；

故答案为：±2

【分析】先化简集合A，再根据交集的定义即可求出|a|=2，解得即可．三、计算题(共7题，共14分)19、略

【分析】【分析】先判断a与1的大小，再去掉根号进行计算即可．【解析】【解答】解：∵；

∴a＜1；

∴=

=1-a

=1-2+

=-1．

故答案为-1．20、略

【分析】【分析】过C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度数，只需求出∠BCE的度数即可．设DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的长；在Rt△AEC中，可根据勾股定理列出等式，从而求出x的值，继而得出BE=CE，求出∠BCE的值．【解析】【解答】解：过C作CE⊥AB于E；

设DE=x；则AE=2-x；

在Rt△DCE中；∠ADC=60°；

∴CE=x；

在Rt△AEC中；

根据勾股定理得：AE2+CE2=AC2；

∴（2-x）2+（x）2=（）2；

解得：；

∴BE=CE=；

又∠BEC=90°；

∴∠BCE=45°；又∠DCE=90°-∠ADC=90°-60°=30°；

∴∠BCD=∠BCE-∠DCE=15°．21、略

【分析】【分析】（1）由于x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，由于得到其判别式是正数，由此可以确定k的取值范围，而A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x1、x2（x1＜x2），O为坐标原点，P点在y轴上（P点异于原点）．设∠PAB=α，∠PBA=β，若α、β都是锐角，由此得到点A、B在原点两旁，所以x1•x2＜0；这样就可以解决问题；

（2）若α=β，则x1+x2=0，由此得到k=3，所以判别式是正数，所以的得到α≠β；然后利用根与系数的关系即可得到α、β的大小关系．【解析】【解答】解：（1）∵x1、x2是方程x2-（k-3）x+k+4=0的两个实根，A、B为x轴上的两点，其横坐标分别为x1、x2（x1＜x2）．

∴△=k2-10k-7＞0得k＜5-4或k＞5+4；

若α；β都是锐角；

∴点A；B在原点两旁；

∴x1•x2＜0；

∴k＜-4；

（2）设α=β；

则x1+x2=0；

∴k=3；

所以α≠β；

因为x1+x2=k-3＜-7＜0；

所以|x1|＞|x2|；

所以OA＞OB；

则PA＞PB，在△PAB中，有α＜β．22、略

【分析】【分析】（1）通过证角相等来证边相等．连接AB，那么ABED就是圆O2的内接四边形，根据内接四边形的性质，∠ABC=∠D，那么只要再得出∠DAE=∠ABC即可得证，我们发现∠EAD的对顶角正好是圆O1的弦切角；因此∠DAE=∠ABC，由此便可求出∠DAE=∠D，根据等角对等边也就得出本题要求的结论了；

（2）DA重合时，CA与圆O2只有一个交点，即相切．那么CA，AE分别是⊙O1和⊙O2的直径（和切线垂直弦必过圆心），根据切割线定理AC2=CB•CE，即可得出AC=4，即圆O1的直径是4．【解析】【解答】解：（1）证明：连接AB，在EA的延长线上取一点F，作⊙O1的直径AM；连接CM；

则∠ACM=90°；

∴∠M+∠CAM=90°；

∵AE切⊙O1于A；

∴∠FAM=∠EAM=90°；

∴∠FAC+∠CAM=90°；

∴∠FAC=∠M=∠ABC，

即∠FAC=∠ABC；

∵∠FAC=∠DAE；

∴∠ABC=∠DAE；

而∠ABC是⊙O2的内接四边形ABED的外角；

∴∠ABC=∠D；

∴∠DAE=∠D；

∴EA=ED．

（2）当D与A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点；

∴直线AC与⊙O2相切；

∴CA，AE分别是⊙O1和⊙O2的直径；

∴由切割线定理得：AC2=BC•CE；

∴AC=4．

答：⊙O1直径是4．23、略

【分析】【分析】首先根据一元二次方程的一般形式求得b2-4ac的值，再进一步根据关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0有两个实数根，即△≥0进行求解．【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0有两个实数根；

∴△=b2-4ac≥0；

即：4-4（m-1）≥0；

解得：m≤2；

∵关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+1=0中m-1≠0；

∴m≠1；

故答案为：m≤2且m≠1．24、略

【分析】【分析】利用三角函数先求出菱形的高，再根据菱形的面积等于底乘以相应高求出面积，然后根据菱形面积的两种求法可知两条对角线的乘积就等于面积的2倍．【解析】【解答】解：根据题意，菱形的高=2sin45°=；

∴菱形的面积=2×=2；

∵菱形的面积=×两对角线的乘积；

∴两对角线的乘积=4．

故答案为4．25、略

【分析】【分析】（1）连接OD；ED为⊙O切线；由切线的性质知：OD⊥DE；根据垂直于同一直线的两条直线平行知：OD∥AC；由于O为AB中点，则点D为BC中点．

（2）连接BF；AB为⊙O直径，根据直径对的圆周角是直角知，∠CFB=∠CED=90°，根据垂直于同一直线的两条直线平行知

ED∥BF由平行线的性质知，由于点D为BC中点，则点E为CF中点，所以CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；将CF=2CE代入即可得出所求的结论．

（3）由于则弧AD是半圆ADB的三分之一，有∠AOD=180°÷3=60°；连接DA，可知等腰三角形△OAD为等边三角形，则有OD=AD=r；在Rt△DEA中，由弦切角定理知：∠EDA=∠B=30°，可求得EA=r，ED=r，则有S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD，从而可求得阴影部分的面积．【解析】【解答】（1）证明：连接OD；

∵ED为⊙O切线；∴OD⊥DE；

∵DE⊥AC；∴OD∥AC；

∵O为AB中点；

∴D为BC中点；

（2）证明：连接BF；

∵AB为⊙O直径；

∴∠CFB=∠CED=90°；

∴ED∥BF；

∵D为BC中点；

∴E为CF中点；

∴CA2-AF2=（CA-AF）（CA+AF）

=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；

∴CA2-AF2=4CE•AE；

（3）解：∵，

∴∠AOD=60°；

连接DA；可知△OAD为等边三角形；

∴OD=AD=r；

在Rt△DEA中；∠EDA=30°；

∴EA=r，ED=r；

∴S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD=

=．四、作图题(共2题，共20分)26、略

【分析】【分析】作点A关于河CD的对称点A′，当水厂位置O在线段AA′上时，铺设管道的费用最省．【解析】【解答】解：作点A关于河CD的对称点A′；连接A′B，交CD与点O，则点O即为水厂位置，此时铺设的管道长度为OA+OB．

∵点A与点A′关于CD对称；

∴OA′=OA；A′C=AC=1；

∴OA+OB=OA′+OB=A′B．

过点A′作A′E⊥BE于E；则∠A′EB=90°，A′E=CD=3，BE=BD+DE=3+1=4；

∴在Rt△A′BE中，A′B==5（千米）；

∴2000×5=10000（元）．

答：铺设管道的最省费用为10000元．27、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．五、解答题(共4题，共36分)28、略

【分析】

（1）由题意得；

=

=

=tanB=

所以cosCcosB+sinCsinB=2sinCsinB；

即有cosCcosB-sinCsinB=0；

即cos（C+B）=-cosA=0；

所以∠A=90°；即△ABC是直角三角形．

（2）因为∠C=60°；AB=1；

又由（1）得：AC=ABtan30°=

所以△ABC的面积为×AC×AB=．

【解析】【答案】（1）通过切化弦，由=可求得cos（C+B）=-cosA=0；从而可判断△ABC的形状；

（2）依题意，可求得AC=利用三角形的面积公式即可求得答案．

29、略

【分析】

（Ⅰ）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．

∵f（x+1）-f（x）=2x，∴a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．

即2ax+a+b=2x，所以∴f（x）=x2-x+1．

（Ⅱ）

所以当x∈[-1，1]时，ymin=f（）=ymax=f（-1）=3

∴函数的值域为

（Ⅲ）由题意得x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x2-3x+1-m＞0在[-1；1]上恒成立．

设g（x）=x2-3x+1-m，其图象的对称轴为直线x=所以g（x）在[-1，1]上递减．

故只需g（1）＞0，即12-3×1+1-m＞0；解得m＜-1．

【解析】【答案】（Ⅰ）由函数f（x）为二次函数设出其解析式；然后利用题目条件确定系数，从而求得函数f（x）的解析式．

（Ⅱ）通过配方；求得函数的对称轴，确定函数在给定区间上的单调性，可得函数在区间上的值域．

（Ⅲ）将“y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方”转化为“x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立”，移项后转化为“x2-3x+1-m＞0在[-1；1]上恒成立”，只需该二次函数在[-1，1]上的最小值大于0即可，从而求得m的值．

30、略

【分析】

（Ⅰ）由题意：当当再由已知得故函数的表达式为（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得当为增函数，故当时，其最大值为60×20=1200；当时，当且仅当即时，等号成立。综上，当车流密度辆/千米时，车流量达到最大，最大值为3333辆/小时。【解析】略【解析】【答案】31、略

【分析】【解析】（1）解方程即可.注意对x讨论去绝对值.

(2)由于所以然后参数m与变量t分离；转化成函数最值解决.

解：(1)当x<0时f(x)=0，与x≥0时，f（x）=2x－

由

∴

（2）当t∈[1,2]时，2t(22t－)+m(2t－)≥0

即m(22t－1)≥­－（24t－1）∵22t－1>0

∴m≥－（22t+1）∵t∈[1,2]

∴－(1+22t)∈[－17；－