2019-2020年江苏专用高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2导数的应用第一课时导数与函数的单调性讲义理

§3.2导数的应用基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)

0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)

0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)求函数y＝f(x)的极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧

，右侧

，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧

，右侧

，那么f(x0)是极小值.知识梳理><f′(x)>0f′(x)<0f′(x)<0f′(x)>0(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程

的根；③考察f′(x)在方程

的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得

；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得

.f′(x)＝0f′(x)＝0极大值极小值3.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则

为函数的最小值，

为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则

为函数的最大值，

为函数的最小值.(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：第一步求f(x)在区间(a，b)上的极值；第二步将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值.f(a)f(b)f(a)f(b)知识拓展1.在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.2.可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零.3.对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(

)(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(

)(3)函数的极大值不一定比极小值大.(

)(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件.(

)(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.(

)(6)三次函数在R上必有极大值和极小值.(

)×√√×√×考点自测1.(教材改编)f(x)＝x3－6x2的单调递减区间为______.答案解析(0，4)f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f′(x)<0，得0<x<4，∴单调递减区间为(0，4).2.(教材改编)函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为_______.答案解析3.(教材改编)函数y＝3x3－9x＋5的极大值为_____.答案解析11y′＝9x2－9.令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小值↗从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值，3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.4.函数f(x)＝

＋x2－3x－4在[0，2]上的最小值是______.答案解析f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－3舍去)，5.设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是____________.答案解析(－∞，－1)∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵当x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.几何画板展示第1课时导数与函数的单调性题型分类深度剖析题型一不含参数的函数的单调性例1

(1)函数y＝

x2－ln

x的单调递减区间为_______.答案解析(0，1)令y′<0，得0<x<1，∴单调递减区间为(0，1).(2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f(x)＝xsin

x＋cos

x，则f(x)的单调递增区间是__________________.答案解析f′(x)＝sinx＋xcos

x－sinx＝xcos

x.令f′(x)＝xcos

x>0，确定函数单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.思维升华跟踪训练1(1)函数y＝4x2＋

的单调增区间为__________.答案解析(2)已知函数f(x)＝xln

x，则下面关于函数f(x)单调性的判断正确的是____.①在(0，＋∞)上递增；

②在(0，＋∞)上递减；③在(0，)上递增；

④在(0，)上递减.答案解析④因为函数f(x)＝xln

x，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln

x＋1(x>0)，解答f′(x)＝6x2＋3tx－3t2＝3(2x－t)(x＋t).∵t≠0，以下分两种情况进行讨论：(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.(3)个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.思维升华跟踪训练2

讨论函数f(x)＝(a－1)ln

x＋ax2＋1的单调性.解答几何画板展示f(x)的定义域为(0，＋∞)，①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；题型三已知函数单调性求参数例3

(2016·南通模拟)已知函数f(x)＝ln

x，g(x)＝

ax2＋2x(a≠0).(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；解答几何画板展示所以a>－1，即a的取值范围为(－1，＋∞).(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.解答由h(x)在[1，4]上单调递减得，引申探究1.本题(2)中，若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1，4]上单调递增，求a的取值范围.解答由h(x)在[1，4]上单调递增得，当x∈[1，4]时，h′(x)≥0恒成立，∴a≤－1，即a的取值范围是(－∞，－1].2.本题(2)中，若h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，求a的取值范围.解答h(x)在[1，4]上存在单调递减区间，则h′(x)<0在[1，4]上有解，∴a>－1，即a的取值范围是(－1，＋∞).根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.思维升华跟踪训练3

已知函数f(x)＝exln

x－aex(a∈R).(1)若f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝

x＋1垂直，求a的值；解答(2)若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.解答几何画板展示若f(x)为单调递减函数，则f′(x)≤0在x>0时恒成立.由g′(x)>0，得x>1；故g(x)在(0，1)上为单调递减函数，在(1，＋∞)上为单调递增函数，此时g(x)的最小值为g(1)＝1，但g(x)无最大值(且无趋近值).故f(x)不可能是单调递减函数.若f(x)为单调递增函数，由g′(x)<0，得0<x<1.故实数a的取值范围是(－∞，1].典例(16分)已知函数f(x)＝ln

x，g(x)＝f(x)＋ax2＋bx，其中函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴.(1)确定a与b的关系；(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性.含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能：(1)方程f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出根后判断其是否在定义域内；(3)若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.思想方法指导

用分类讨论思想研究函数的单调性思想与方法系列5规范解答解(1)依题意得g(x)＝ln

x＋ax2＋bx，则g′(x)＝

＋2ax＋b. [2分]由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴，得g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1. [4分]∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，由g′(x)>0，得0<x<1；由g′(x)<0，得x>1. [8分]综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；课时作业123456789101112131.(2015·课标全国Ⅱ改编)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是___________________.答案解析(－∞，－1)∪(0，1)因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.则g(x)为偶函数，g(1)＝g(－1)＝0.故g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝012345678910111213综上，知使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).123456789101112132.已知函数f(x)＝

x3＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的___________条件.答案解析充分不必要故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.123456789101112133.在区间(－1，1)内不是增函数的函数是______.①y＝ex＋x；

②y＝sinx；③y＝x3－6x2＋9x＋2；

④y＝x2＋x＋1.答案解析④12345678910111213①y＝ex＋x，y′＝ex＋1>0，在区间(－1，1)内是增函数；②y＝sinx，y′＝cos

x，在区间(－1，1)内是增函数；③y＝x3－6x2＋9x＋2，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－2)2－3，在区间(－1，1)内是增函数；123456789101112134.

已知函数y＝f(x)在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为__________________.答案解析不等式f′(x)≤0的解集即函数y＝f(x)的减区间，123456789101112135.(2017·江苏扬州中学月考)若函数f(x)＝mx2＋ln

x－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是___________.答案解析由题意知，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，123456789101112136.定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)>f(x)恒成立，若x1<x2，则

与

的大小关系为__________________.答案解析由题意得g′(x)>0，所以g(x)单调递增，当x1<x2时，g(x1)<g(x2)，即

，所以.123456789101112137.(2016·苏州模拟)若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1，3)，则b＋c＝______.答案解析－12f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1<x<3是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，∴－1，3是f′(x)＝0的两个根，∴b＝－3，c＝－9，b＋c＝－12.123456789101112138.(2016·无锡模拟)

已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是_____.①f(b)>f(c)>f(d) ②f(b)>f(a)>f(e)③f(c)>f(b)>f(a) ④f(c)>f(e)>f(d)答案解析③依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，因此③正确.12345678910111213答案解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x2＋x＋2a1234567891011121310.(2016·全国甲卷改编)若函数f(x)＝x－sin2x＋asin

x在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是_________.答案解析12345678910111213123456789101112131234567891011121311.(2016·江苏南京十三中月考)函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0).(1)讨论f(x)的单调性；解答12345678910111213函数f(x)＝ax3＋3x2＋3x(a≠0)，∴f′(x)＝3ax2＋6x＋3，令f′(x)＝0，即3ax2＋6x＋3＝0，则Δ＝36(1－a).①当a≥1时，Δ≤0，f′(x)≥0，∴f(x)在R上是增函数；②当a<1且a≠0时，Δ>0，12345678910111213(ⅰ)当0<a<1时，易知当x∈(－∞，x2)或x∈(x1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(x2，x1)时，f′(x)<0，故函数f(x)在(－∞，x2)，(x1，＋∞)上是增函数，在(x2，x1)上是减函数；(ⅱ)当a<0时，易知当x∈(－∞，x1)或x∈(x2，＋∞)时，f′(x)<0，当x∈(x1，x2)时，f′(x)>0，故函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上是减函数，在(x1，x2)上是增函数.12345678910111213(2)若函数f(x)在区间(1，2)上是增函数，求a的取值范围.解答当a>0时，f′(x)＝3ax2＋6x＋3>0(x∈(1，2))，故a>0时，f(x)在区间(1，2)上是增函数，当a<0时，由f(x)在区间(1，2)上是增函数，1234567891011121312.(2016·北京)设函数f(x)＝xea－x＋bx，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝(e－1)x＋4.(1)求a，b的值；解答f(x)的定义域为R.∵f′(x)＝ea－x－xea－x＋b＝(1－x)ea－x＋b.解得a＝2，b＝e.12345678910111213(2)求f(x)的单调区间.解答由(1)知f(x)＝xe2－x＋ex，f′(x)与1－x＋ex－1同号.所以，当x∈(－∞，1)时，g′(x)＜0，g(x)