高中数学4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性课件北师大版

4.1.1

导数与函数的单调性1.函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a,b)内函数的导数与单调性有如下关系:(2)在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:名师点拨对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上有有限个点使f'(x)=0,在其余的点恒有f'(x)>0,则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似).(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0,且在(a,b)内的任一非空子区间上f'(x)不恒为0.【做一做1】

f(x)在(a,b)内可导,若f'(x)<0,则f(x)在(a,b)内是(

)A.增函数 B.减函数C.奇函数 D.偶函数答案:B【做一做2】

函数y=x2-4x+a的递增区间为

,递减区间为

.

解析:y'=2x-4,令y'>0,得x>2;令y'<0,得x<2,所以y=x2-4x+a的递增区间为(2,+∞),递减区间为(-∞,2).答案:(2,+∞)

(-∞,2)思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)函数f(x)在定义域上都有f'(x)>0,则函数f(x)在定义域上是增加的.(

)(2)函数在某一点的导数的绝对值越大,函数在该点处的切线越“陡峭”.(

)(3)利用导函数判断函数的单调性时不能忽略定义域.(

)答案:(1)√

(2)√

(3)√探究一探究二探究三思维辨析【例1】

函数f(x)的图像如图所示,则导函数y=f'(x)的图像可能是(

)探究一探究二探究三思维辨析解析:从原函数y=f(x)的图像可以看出,其在区间(-∞,0)上是减少的,f'(x)<0;在区间(0,x1)上是增加的,f'(x)>0;在区间(x1,x2)上是减少的,f'(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增加的,f'(x)>0.结合选项可知,只有D项满足.答案:D反思感悟1.利用导数符号判断单调性的方法:利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多,只需判断导数在该区间内的正负即可.2.通过图像研究函数单调性的方法:(1)观察原函数的图像重在找出“上升”“下降”产生变化的点,分析函数值的变化趋势;(2)观察导函数的图像重在找出导函数图像与x轴的交点,分析导数的正负.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图像如图所示,则y=f(x)的图像最有可能的是

(

)探究一探究二探究三思维辨析解析:由f'(x)的图像知,当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,f'(x)>0,x∈(0,2)时,f'(x)<0,则函数f(x)在区间(-∞,0)与(2,+∞)上是增加的,在区间(0,2)上是减少的,对照选项知应选C.答案:C探究一探究二探究三思维辨析【例2】

求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x3-3x+1;分析直接求导数,然后解关于导数的不等式.解(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-3,令f'(x)>0,则3x2-3>0,即3(x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-1.∴函数f(x)的递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞).令f'(x)<0,则3(x+1)(x-1)<0,解得-1<x<1.∴函数f(x)的递减区间为(-1,1).探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟(1)利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为:①确定函数f(x)的定义域;②求导数f'(x);③在函数f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0;④根据③的结果确定函数f(x)的单调区间.(2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么这些单调区间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间.探究一探究二探究三思维辨析解(1)∵函数f(x)的图像过点P(1,2),∴f(1)=2.∴a+b=1.①又函数图像在点P处的切线斜率为8,∴f'(1)=8,又f'(x)=3x2+2ax+b,∴2a+b=5.②解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.(2)由(1)得f'(x)=3x2+8x-3=(3x-1)(x+3),探究一探究二探究三思维辨析解(法一:直接法)f'(x)=x2-ax+a-1,令f'(x)=0,得x=1或x=a-1.当a-1≤1,即a≤2时,函数f(x)在(1,+∞)上是增加的,不符合题意.当a-1>1,即a>2时,f(x)在(-∞,1)和(a-1,+∞)上是增加的,在(1,a-1)上是减少的,由题意知(1,4)⊆(1,a-1)且(6,+∞)⊆(a-1,+∞),所以4≤a-1≤6,即5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7].探究一探究二探究三思维辨析(法二:数形结合法)如图所示,f'(x)=(x-1)[x-(a-1)].∵在(1,4)内f'(x)≤0,在(6,+∞)内f'(x)≥0,且f'(x)=0有一个根为1,∴另一个根在[4,6]上.故实数a的取值范围为[5,7].探究一探究二探究三思维辨析(法三:转化为不等式的恒成立问题)f'(x)=x2-ax+a-1.因为f(x)在(1,4)上是减少的,所以f'(x)≤0在(1,4)上恒成立,即a(x-1)≥x2-1在(1,4)上恒成立,所以a≥x+1.因为2<x+1<5,所以当a≥5时,f'(x)≤0在(1,4)上恒成立,又因为f(x)在(6,+∞)上是增加的,所以f'(x)≥0在(6,+∞)上恒成立,所以a≤x+1,因为x+1>7,所以当a≤7时,f'(x)≥0在(6,+∞)上恒成立.综上知5≤a≤7.故实数a的取值范围为[5,7].探究一探究二探究三思维辨析反思感悟恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.探究一探究二探究三思维辨析∵x2>0,∴2x3-a≥0,∴a≤2x3在x∈[2,+∞)上恒成立.∴a≤(2x3)min.∵x∈[2,+∞),y=2x3是单调递增的,∴(2x3)min=16,∴a≤16.∴a的取值范围是(-∞,16].探究一探究二探究三思维辨析因错误理解导数与函数的单调性的关系而致误【典例】

已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上是增函数,求实数a的取值范围.(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上是减少的?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.易错分析易错误地认为f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在某区间上递增(或递减)的充要条件,正确的理解应该是充分条件而非充要条件.探究一探究二探究三思维辨析解(1)由已知,得f'(x)=3x2-a.∵f(x)在R上是增函数,∴f'(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.∵3x2≥0,∴只需a≤0.∴a的取值范围是(-∞,0].(2)存在实数a满足题意.由f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2在(-1,1)上恒成立.∵-1<x<1,∴3x2<3.∴只需a≥3.故存在实数a∈[3,+∞),使f(x)在(-1,1)上是减少的.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻.利用导数研究函数的单调性应注意f'(x)>0(或f'(x)<0)仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在(a,b)上恒成立,且f'(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,因此,在已知函数f(x)在区间(a,b)上是增加的(或减少的)求参数的取值范围时,应用f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在区间(a,b)上恒成立,解出参数的取值范围,然后检验参数的取值能否使f'(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去.探究一探究二探究三思维辨析变式训练已知函数f(x)=2ax-x3,x∈(0,1),a>0,若f(x)在(0,1)上是增加的,求a的取值范围.123451.如图是函数f(x)的导函数f'(x)的图像,则下列判断正确的是(

)A.函数f(x)在区间(-3,0)上是减少的B.函数f(x)在区间(-3,2)上是减少的C.函数f(x)在区间(0,2)上是减少的D.函数f(x)在区间(-3,2)上是单调函数解析:由导函数的图像易判断在区间(-3,0)上f'(x)<0,所以f(x)在(-3,0)上是减少的,故选A.答案:A123452.函数y=(3-x2)ex的递增区间是(

)A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-∞,-3)和(1,+∞) D.(-3,1)解析:y'=-2xex+(3-x2)ex=ex(-x2-2x+3),由y'>0⇒x2+2x-3<0⇒-3<x<1,∴函数y=(3-x2)ex的递增区间是(-3,1).故选D.答案:D123453.设函数f(x)=x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上是减少的,则实数a的取值范围是(

)A.1<a≤2 B.a≥4C.a≤2 D.0<a≤3答案:A123454.若函数f(x)=x3+x2+mx+1是R上的增函数,则m的取值范围是

.