高中数学第二章函数2.4函数与方程2课件新人教版B

数学必修①

·人教B版新课标导学第二章函数2.4函数与方程2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km长的线路，问如何迅速查出故障所在？如果沿着线路—小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？1．变号零点与不变号零点如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，这样的零点常称作________零点．有时曲线通过零点时不变号，这样的零点称作________零点．2．用“二分法”求函数变号零点的近似值的一般步骤第一步：在D内取一个闭区间[a，b]⊆D，使f(a)与f(b)________，即f(a)·f(b)________，令a0＝a，b0＝b.变号不变号异号<0<中点x0

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x1

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③如果f(a1)·f(x1)________0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.……实施上述步骤，直到an，bn精确到规定的精确度的近似值________时，那么这个值就是方程f(x)＝0的一个近似解，计算终止．求函数零点的近似值，所选取的起始区间可以不同，最后结果也不尽相同，但相同精确度、取相同位数的近似值一定________．>相等相同B

A．①②

B．①③C．①④

D．③④[解析]

本题考查用二分法求函数零点时，函数值在零点左右变号．用二分法求函数的零点时，若f(a)·f(b)<0，则表明函数f(x)的图象在(a，b)范围内与x轴必相交(不是相切)，所以用二分法求函数的近似零点都是指变号零点，于是①、③不能用二分法求图中交点的横坐标，故选B．C

[解析]

由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，所以下一个有根区间是[2,2.5]．[2,2.5]

[解析]

第一次两端各13枚称重，选出较轻的一端的13枚，继续称；第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚，继续称；第三次两端各3枚，选出较轻的3枚，继续称；第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币，若平衡，则剩下的是假币．即最多称四次就可以发现这枚假币．4

互动探究学案命题方向1

⇨函数零点类型的判断『规律方法』

函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点．二分法只能求函数的变号零点．D

A．①②

B．①②④C．②③

D．①②③命题方向2

⇨用二分法求函数零点的近似值[分析]先找一个两端点函数值符号相反的区间，然后用二分法逐步缩小零点所在的区间，直到达到要求的近似值，最后确定要求的近似值．[解析]

由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：『规律方法』

1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数．在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点．2．切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止．[解析]

令h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－2x－2.∵h(2)＝22－2×2－2＝－2<0，h(3)＝32－2×3－2＝1>0，h(2)·h(3)<0，∴h(x)＝x2－2x－2在[2,3]上有零点x0.取[2,3]的中点x1＝2.5，则h(2.5)＝－0.75<0，∴x0∈[2.5,3]；取[2.5,3]的中点x2＝2.75，则h(2.75)>0，……∴x0∈[2.5,2.75]；取[2.5,2.75]的中点x3＝2.625，则h(2.625)<0，∴x0∈[2.625,2.75]；取[2.625,2.75]的中点x4＝2.6875，则h(2.6875)<0，∴x0∈[2.6875,2.75]；取x0∈[2.6875,2.75]的中点x5＝2.71875，h(2.7185)<0.由于区间[2.6875,2.71875]的左、右端点精确到0.1的近似值都是2.7，所以2.7是函数的零点，即f(x)＝x2与g(x)＝2x＋2的一个交点的横坐标约为2.7.类似可得另一交点的横坐标为－0.7.[错解]选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元．恭喜你，猜中了！[辨析]

虽然最后结果猜对了，但是此方法很不科学，为了解决这个实际问题，正确的思维方法是使用数学中的“二分法”，它能更有效地解答生活中的应用问题．[正解]

取价格区间[500,1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1000]的中点875；否则取另一个区间[500,750]的中点；若遇到小数，则取整数．照这样的方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可以猜中价格．“无限逼近”思想(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数的解析式，并讨论这个函数解析式的定义域；(2)如果要做成一个容积是150cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少厘米？(精确到0.1cm)[解析]

(1)由题意可知，长方体底面的长、宽都是(15－2x)cm，高为xcm，则它的体积y＝(15－2x)(15－2x)·x＝4x3－60x2＋225x.∵0<x<15，且0<15－2x<15，∴它的定义域是{x|0<x<7.5}．(2)设f(x)＝4x3－60x2＋225x－150.由于f(4)＝46>0，f(5)＝－25<0，可取区间[4,5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：[解析]

选项B中的函数零点是不变号零点，不能用二分法求解．B

[解析]

函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则该零点为变号零点，根据图象可知，函数f(x)有3个变号零点．D

[解析]

f(－2.1)＝5－4.41＝0.59>0，f(－2.3)＝5－5.29＝－0.29<0，故选C．C

[解