2025年湘教新版高一数学下册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教新版高一数学下册阶段测试试卷250考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共6题，共12分)1、函数f（x）=-x2+2（a-1）x+2在[2；4]上具有单调性，则实数a的范围是（）

A.a≤3或a≥5

B.a≥5

C.a≤3

D.a＜3或a＞5

2、定义在R上的函数y=f（x）满足下列两个条件：（1）对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；（2）y=f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中；正确的是（）

A.

B.

C.

D.

3、设数列是等比数列，满足且则（）A.B.C.D.4、下列命题是真命题的是()①必然事件的概率等于1②某事件的概率等于1.1③互斥事件一定是对立事件④对立事件一定是互斥事件⑤在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型A.①③B.③⑤C.①③⑤D.①④⑤5、函数且的图象必经过点（）A．（0，1）B．（1，1）C．（2，0）D．（2，2）6、【题文】集合A＝{y∈R|y＝lgx，x>1}；B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是()

A.A∩B＝{－2，－1}B.(∁RA)∪B＝(－∞；0)

C.A∪B＝(0，＋∞)D.(∁RA)∩B＝{－2，－1}评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)7、函数y=sin（-）的单调递减区间____．8、设向量的夹角为且则____.9、【题文】如图，平面两两互相垂直，长为的线段AB在内的射影的长度分别为a、b，则的最大值为____。10、已知函数f（x）的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称，则f（9）=____．11、已知cos(娄脨6+娄脕)=33

则cos(5娄脨6鈭�娄脕)

的值为______．评卷人得分三、解答题(共6题，共12分)12、已知函数f（x）=lg（1+2x）；F（x）=f（x）-f（-x）．

（1）求函数F（x）的定义域；

（2）当时；总有F（x）≥m成立，求m的取值范围．

13、已知动圆经过点和（Ⅰ）当圆面积最小时，求圆的方程；（Ⅱ）若圆的圆心在直线上，求圆的方程。14、【题文】（本小题满分10分）如图；在四棱锥S—ABCD中，侧棱SA＝SB＝SC＝SD，底面ABCD是菱形，AC与BD交于O点．

(Ⅰ)求证：AC⊥平面SBD；

(Ⅱ)若E为BC中点；点P在侧面△SCD内及其边界上运动，并保持PE⊥AC，试指出动点P的轨迹，并证明你的结论．

15、【题文】边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面,求从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离.16、已知圆心为C的圆经过点A（1，-5）和B（2，-2），且圆心C在直线l：x-y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．17、设{an}

是公比大于1

的等比数列；Sn

为数列{an}

的前n

项和.

已知S3=7

且a1+33a2a3+4

构成等差数列．

(

Ⅰ)

求数列{an}

的通项公式；

(

Ⅱ)

令bn=nan

求数列{bn}

的前n

项和Tn

．评卷人得分四、计算题(共1题，共3分)18、如图，⊙O中的圆心角∠AOB=90°，点O到弦AB的距离为4，则⊙O的直径长为____．评卷人得分五、证明题(共4题，共24分)19、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．21、已知G是△ABC的重心，过A、G的圆与BG切于G，CG的延长线交圆于D，求证：AG2=GC•GD．22、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．参考答案一、选择题(共6题，共12分)1、A【分析】

f（x）对应的抛物线开口向下；且对称轴为x=a-1．

因为函数f（x）在区间[2；4]上具有单调性；

所以若函数f（x）在区间[2；4]上单调递增，则a-1≥4，解得a≥5．

若函数f（x）在区间[2；4]上单调递减，则a-1≤2，解得a≤3．

所以实数a的范围是a≤3或a≥5．

故选A．

【解析】【答案】先求出二次函数的对称轴；因为函数f（x）在区间[2，4]上具有单调性，建立区间[2，4]与对称轴的关系，同时要注意分类讨论．

2、B【分析】

∵对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；

∴函数y=f（x）在区间[0；2）上为增函数。

又∵y=f（x+2）的图象关于y轴对称。

∴函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称。

即函数y=f（x）在区间（2，4]上为减函数，且

∴

∴

故选B

【解析】【答案】由已知中：（1）对于任意的0≤x1＜x2≤2，都有f（x1）＜f（x2）；（2）y=f（x+2）的图象关于y轴对称．我们可以判断出函数y=f（x）在区间（2，4]上为减函数，且进而得到答案．

3、B【分析】试题分析：由等比数列的性质可知又且知所以有从而故选Ｂ．考点：等比数列．【解析】【答案】B4、D【分析】【解析】

①必然事件的概率等于1成立，②某事件的概率不能大于1，最大为1，因此错误，③互斥事件不一定是对立事件，④对立事件一定是互斥事件，这是成立的，⑤在适宜的条件下种下一粒种子，观察它是否发芽，这个试验为古典概型，也满足基本事件的等可能性和有限性。正确，选D【解析】【答案】D5、D【分析】当x＝2时，y＝故函数过点（2，2）【解析】【答案】D6、D【分析】【解析】【解析】【答案】D二、填空题(共5题，共10分)7、略

【分析】

y=sin（-）=-sin（-）

令k∈Z

解得k∈Z

函数的递减区间是

故答案为：

【解析】【答案】求三角函数的单调区间，一般要将自变量的系数变为正数即sin（-）=-sin（-）；再由三角函数的单调性得出自变量所满足的不等式，求解即可得出所要的单调递减区间．

8、略

【分析】【解析】【答案】39、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】４10、2【分析】【解答】解：法一：∵函数y=f（x）的图象与函数y=3x的图象关于直线y=x对称；

∴函数y=f（x）与函数y=3x互为反函数；

又∵函数y=3x的反函数为：

y=log3x；

即f（x）=log3x；

∴f（9）=log39=2；

故答案为：2．

法二：假设f（9）=t；则函数f（x）的图象过点（9，t）

则点（9，t）关于直线y=x对称的点（t，9）在函数y=3x的图象上。

即9=3t；解得t=2

故答案为：2．

【分析】法一：根据两个函数的图象关于直线y=x对称可知这两个函数互为反函数；故只要利用求反函数的方法求出原函数的反函数，然后将9代入函数的解析式即可．

法二：假设f（9）=t，则函数f（x）的图象过点（9，t），则点（9，t）关于直线y=x对称的点（t，9）在函数y=3x的图象上，代入解析式可求出t的值．11、略

【分析】解：隆脽cos(娄脨6+娄脕)=33

隆脿cos(5娄脨6鈭�娄脕)=cos[娄脨鈭�(娄脨6+娄脕)]=鈭�cos(娄脨6+娄脕)=鈭�33

．

故答案为：鈭�33

原式中的角度变形后；利用诱导公式化简，将已知等式代入计算即可求出值．

此题考查运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．【解析】鈭�33

三、解答题(共6题，共12分)12、略

【分析】

（1）由题意可知：F（x）=lg（1+2x）-lg（1-2x）；

∴1+2x＞0且1-2x＞0；

即

所以函数F（x）的定义域是

（2）由题意可知

设则有

当时有：0≤2x＜1；即-1＜-2x≤0；

则有0＜1-2x≤1，则

故而

∴u（x）min=1，F（x）min=lg1=0；

又由题意可得：m≤F（x）min；

∴m≤0．

【解析】【答案】（1）由题意可知：1+2x＞0且1-2x＞0；可求函数F（x）的定义域。

（2）由题意可知由F（x）≥m成立，则只要m≤F（x）min；结合对数函数的性质可求。

13、略

【分析】试题分析：（Ⅰ）圆面积决定于半径，所以当半径最小时，圆面积最小圆过A,B，则AB为圆中的弦，当AB为圆直径时，圆的半径最小本题实质是求以AB为直径的圆的方程，（Ⅱ）圆心不仅在直线上，而且也在线段AB中垂线上，这两条直线的交点就是圆心，有了圆心就可求半径了这是几何方法，如从圆的标准方程出发则列出三个独立的方程，解方程组的顺序应为先消去半径其实质就是线段AB中垂线方程试题解析：（Ⅰ）要使圆的面积最小，则为圆的直径，2分圆心半径4分所以所求圆的方程为：6分（Ⅱ）法一：因为中点为所以中垂线方程为即8分解方程组得：所以圆心为10分根据两点间的距离公式，得半径11分因此，所求的圆的方程为12分法二：设所求圆的方程为根据已知条件得6分11分所以所求圆的方程为12分考点：圆的标准方程【解析】【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）14、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】(1)证明：∵底面ABCD是菱形；O为中心；

∴AC⊥BD.又SA＝SC；∴AC⊥SO.而SO∩BD＝O，∴AC⊥面SBD.5分。

(2)解：取棱SC中点M；CD中点N，连结MN，则动点P的轨迹即是线段MN.

证明：连结EM；EN；∵E是BC的中点，M是SC的中点；

∴EM∥SB.同理；EN∥BD，∴平面EMN∥平面SBD；

∵AC⊥平面SBD；∴AC⊥平面EMN.

因此；当点P在线段MN上运动时，总有AC⊥EP；

P点不在线段MN上时，不可能有AC⊥EP.5分15、略

【分析】【解析】如图,矩形E1F1GH是圆柱沿着其母线EF剪开半个侧面展开而得到的,

由题意可知GH=5,∴从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是【解析】【答案】16、略

【分析】

设所求的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2，将点A（1，-5）和B（2，-2）代入，结合圆心C在直线l：x-y+1=0，联立方程组求得a、b、r的值；可得圆的标准方程．

本题主要考查用待定系数法求圆的标准方程，属于基础题．【解析】解：设所求的圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=r2；

将点A（1，-5）和B（2，-2）代入得

又圆心在l：x-y+1=0上，所以a-b+1=0．

联立方程组，解得a=-3，b=-2，r=5．

所以所求的圆的标准方程为（x+3）2+（y+2）2=25．17、略

【分析】

(I)

利用等差数列和等比数列的通项公式；前n

项和的定义即可得出；

(II)

利用“错位相减法”即可得出．

本题考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n

项和的定义、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于中档题．【解析】解：(

Ⅰ)

设等比数列的公比为q>1

隆脽S3=7

且a1+33a2a3+4

构成等差数列．

隆脿{6a1q=a1+3+a1q2+41(1+q+q2)=7

解得{q=2a1=1

隆脿an=a1qn鈭�1=2n鈭�1..

(

Ⅱ)

由于bn=nan=n2n鈭�1

隆脿Tn=120+221++n2n鈭�1

隆脿12Tn=121+222++n鈭�12n鈭�1+n2n

两式相减得：12Tn=1+121+122++12n鈭�1鈭�n2n=2(1鈭�12n)鈭�n2n=2鈭�n+22n

．

隆脿Tn=4鈭�n+22n鈭�1

．四、计算题(共1题，共3分)18、略

【分析】【分析】过点O作OC⊥AB，垂足为C，可得AC=4，再由勾股定理得圆的半径，从而得出直径．【解析】【解答】解：如图；过点O作OC⊥AB，垂足为C；

∵∠AOB=90°；∠A=∠AOC=45°；

∴OC=AC；

∵CO=4；

∴AC=4；

∴OA==4；

∴⊙O的直径长为8．

故答案为：8．五、证明题(共4题，共24分)19、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．20、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．21、略

【分析】【分析】构造以重心G为顶点的平行四边形GBFC，并巧用A、D、F、C四点共圆巧证乘积．延长GP至F，使PF=PG，连接FB、FC、AD．因G是重心，故AG=2GP．因GBFC是平行四边形，故GF=2GP．从而AG=GF．又∠1=∠2=∠3=∠D，故A、D、F、C四点共圆，从而GA、GF=GC•GD．于是GA2=GC•GD．【解析】【解答】证明：延长GP至F；使PF=PG，连接AD，BF，CF；

∵G是△ABC的重心；

∴AG=2GP；BP=PC；

∵PF=PG；

∴四边形GBFC是平行四边形；

∴GF=2GP；

∴AG=GF；

∵BG∥CF；

∴∠1=∠2

∵过A；G的圆与BG切于G；

∴∠3=∠D；

又∠2=∠3；

∴∠1=∠2=∠3=∠D；

∴A；D、F、C四点共圆；

∴GA；GF=GC•GD；

即GA2=GC•GD．22、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FX