2025年沪科版七年级数学寒假预习 第02讲 无理数和实数

第02讲无理数和实数模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的；2．会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应；3．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用。知识点1无理数1.无理数（1）定义无限不循环小数叫做无理数.如,,π等.（2）常见的无理数①所有开方开不尽的方根，如.②化简后含有π的数，如-4·③无限不循环小数，如0.120030210….（3）无理数的小数部分的表示无理数是无限不循环小数，因此其小数部分是不可能全部写出来的.我们知道，的整数部分是1.因此，的小数部分就是-1.即一个无理数减去整数部分，差就是小数部分，如π的整数部分是3.小数部分是π-3.注意：(1)无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数.(2)某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数却并不都是无理数.知识点2实数2.实数的定义与分类（1）定义：有理数和无理数统称为实数.（2）分类(1)按定义分类(2)按正负分类3.实数与数轴的关系任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应.但是，数轴上的点并不都表示有理数，有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来.数轴上的每一个点都表示一个实数.4.实数的有关性质（1）相反数：实数的相反数是-.具体地，若与互为相反数、则+=0;反之，若+=0,则与互为相反数、（2）倒数：实数的倒数为,若与互为倒数，则=1；若=1,则与互为倒数.（3）绝对值①一个正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0.②已知实数,在数轴上的对应点分别为,,则有,分别表示点,点到原点的距离；表示点到点的距离.这正是绝对值的几何意义.（4）平方根：非负数都有平方根.（5）立方根：任意实数都有一个立方根.5.实数的运算（1）实数的运算法则当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用.（2）实数的运算顺序实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方(开方),再算乘除，最后算加减；同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.（3）实数的近似计算在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.6.实数中的非负数及其性质（1）在实数范围内，正数和零统称为非负数，我们已经学习过的非负数有如下三种形式：①任何一个实数的绝对值是非负数，即.②任何一个实数的平方是非负数。即.③任何非负数的算术平方根是非负数，即.（2）非负数的性质①在数轴上原点和原点右边的点表示的数是非负数.②最小的非负数是0,没有最大的非负数.③非负数大于一切负数.④若干个非负数的和、积、商(除数不为0)仍是非负数.⑤如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为零.即若且+b+c=0,则必有=b=c=0.考点01：无理数例1．（23-24七年级下·陕西安康·期中）把下列各数填入相应的大括号里．，，0，，，，，．(1)正整数集合：{_________________________________…}；(2)分数集合：{_________________________________…}；(3)无理数集合：{_________________________________…}．【变式1-1】在下列实数中，属于无理数的是（

）A．0 B． C． D．【变式1-2】下列四个实数中，是无理数的为（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2023·宁夏银川·三模）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有个．考点02：实数的概念理解例2．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由．(1)无理数都是开方开不尽的数．（

）(2)无理数都是无限小数．（

）(3)无限小数都是无理数．（

）(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（

）(5)不带根号的数都是有理数．（

）(6)带根号的数都是无理数．（

）(7)有理数都是有限小数．（

(8)实数包括有限小数和无限小数．（

）【变式2-1】实数的相反数是（

）A．3 B． C． D．【变式2-2】（2023·广东梅州·二模）已知实数，则实数的倒数为（

）A． B． C． D．【变式2-3】下列说法正确的有．①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是．考点03：实数的分类例3．关于实数和，下列判断中，正确的是（

）A．都不是分数 B．都是分数C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数【变式3-1】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）下列说法不正确的是（）A．无限循环小数是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应C．有理数和无理数统称为实数 D．实数是由正实数和负实数组成【变式3-2】（23-24七年级下·广东东莞·期中）下列说法中正确的个数是（

）①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③数轴上的点表示的数都是实数；④有理数都是有限小数；⑤实数分为正实数，0，负实数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式3-3】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（）A．无理数与无理数的和为无理数B．一个数的算术平方根不比这个数大C．实数可分为有理数和无理数D．数轴上的点和有理数一一对应考点04：实数的性质例4．的相反数是，的绝对值是【变式4-1】下列各组数中，互为相反数的一组是（

）A．131和 B．和 C．和 D．和【变式4-2】如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【变式4-3】（23-24七年级下·四川广元·期末）在数，0，和中，绝对值等于它本身的共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个考点05：实数大小的比较例5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较与的大小，其结果是MN．（填“>”，“<”或“=”）【变式5-1】比较大小：（用“”、“”或“”表示）．【变式5-2】比较大小：．【变式5-3】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）比较大小：3．（填“”、“”、“”）考点06：无理数大小的估算例6．估计的值在（

）A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间【变式6-1】（24-25八年级上·重庆·期中）估算的值在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【变式6-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，则实数在（

）A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间【变式6-3】（24-25八年级上·海南·期中）若，则估计的值所在的范围是（

）A． B． C． D．考点07：实数的混合运算例7．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算：．【变式7-1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算：(1)；(2)．【变式7-2】计算：．【变式7-3】计算：考点08：程序设计与实数运算例8．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的是一个数值转换器．（1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为；（2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为．【变式8-1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是．【变式8-2】有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是．【变式8-3】（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序：当输入x的值是时，输出的结果是考点09：新定义下的实数运算例9．我们把对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．例如下列结论中：①；②当为非负整数时，；③满足的非负实数只有两个．其中结论正确的是．（填序号）【变式9-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则．【变式9-2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对放入其中时，会得到一个新的数：．例如把放入其中，就会得到．现在将数对放入其中得到数m，再将数对放入其中后，得到的数是．【变式9-3】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）对于两个有理数a、b，我们对运算“”作出如下定义：(1)计算：；(2)若，求的值．一、单选题1．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）在，，，，，，，中，无理数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（

）A．a B．b C．c D．d3．（23-24七年级下·山西大同·期中）无理数的小数部分是（

）A． B．5 C． D．4．（23-24七年级下·湖北恩施·期中）如图所示，数轴上表示2，的对应点分别为，，点是的中点，则点表示的数是（

）A． B． C． D．二、填空题5．（23-24七年级下·湖南永州·期末）比较大小：（填“”或“”）．6．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知a是的小数部分，b是的小数部分，则的平方根是．7．（23-24七年级下·重庆开州·期末）有一个数值转换器，流程如图：当输入x的值为81时，输出y的值是．三、解答题8．（23-24七年级下·重庆九龙坡·期末）计算下列各题(1)(2)9．（22-23七年级下·贵州遵义·期中）数轴上点A表示，点A关于原点的对称点为B，设点B所表示的数为x，(1)求x的值；(2)求的值．10．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）已知的平方根是，的立方根是，c是的整数部分，求的算术平方根．

第02讲无理数和实数模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．无理数的概念，知道实数是由有理数和无理数组成的；2．会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实数与数轴上的点一一对应；3．掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理数的运算解决简单的问题，知道有理数的运算律在实数范围内仍然适用。知识点1无理数1.无理数（1）定义无限不循环小数叫做无理数.如,,π等.（2）常见的无理数①所有开方开不尽的方根，如.②化简后含有π的数，如-4·③无限不循环小数，如0.120030210….（3）无理数的小数部分的表示无理数是无限不循环小数，因此其小数部分是不可能全部写出来的.我们知道，的整数部分是1.因此，的小数部分就是-1.即一个无理数减去整数部分，差就是小数部分，如π的整数部分是3.小数部分是π-3.注意：(1)无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数.(2)某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数却并不都是无理数.知识点2实数2.实数的定义与分类（1）定义：有理数和无理数统称为实数.（2）分类(1)按定义分类(2)按正负分类3.实数与数轴的关系任何一个有理数，在数轴上都有一个唯一确定的点与之对应.但是，数轴上的点并不都表示有理数，有理数、无理数合在一起，才能填满整个数轴，所以实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来.数轴上的每一个点都表示一个实数.4.实数的有关性质（1）相反数：实数的相反数是-.具体地，若与互为相反数、则+=0;反之，若+=0,则与互为相反数、（2）倒数：实数的倒数为,若与互为倒数，则=1；若=1,则与互为倒数.（3）绝对值①一个正实数的绝对值等于它本身；一个负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值等于0.②已知实数,在数轴上的对应点分别为,,则有,分别表示点,点到原点的距离；表示点到点的距离.这正是绝对值的几何意义.（4）平方根：非负数都有平方根.（5）立方根：任意实数都有一个立方根.5.实数的运算（1）实数的运算法则当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算，在进行实数的运算时，有理数的运算法则和运算性质等同样适用.（2）实数的运算顺序实数的混合运算顺序与有理数的混合运算顺序基本相同，先算乘方(开方),再算乘除，最后算加减；同级运算按从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的.（3）实数的近似计算在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.6.实数中的非负数及其性质（1）在实数范围内，正数和零统称为非负数，我们已经学习过的非负数有如下三种形式：①任何一个实数的绝对值是非负数，即.②任何一个实数的平方是非负数。即.③任何非负数的算术平方根是非负数，即.（2）非负数的性质①在数轴上原点和原点右边的点表示的数是非负数.②最小的非负数是0,没有最大的非负数.③非负数大于一切负数.④若干个非负数的和、积、商(除数不为0)仍是非负数.⑤如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为零.即若且+b+c=0,则必有=b=c=0.考点01：无理数例1．（23-24七年级下·陕西安康·期中）把下列各数填入相应的大括号里．，，0，，，，，．(1)正整数集合：{_________________________________…}；(2)分数集合：{_________________________________…}；(3)无理数集合：{_________________________________…}．【答案】(1)(2)，，，(3)【解析】（1）解：，，则正整数集合：{……}，故答案为：；（2）解：分数集合：{，，，……}；故答案为：{，，，；（3）解：无理数集合：{

……}，故答案为：．【变式1-1】在下列实数中，属于无理数的是（

）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】解：0是整数，是分数，是整数，都属于有理数；是无理数；故选：B．【变式1-2】下列四个实数中，是无理数的为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：A、是有理数，故不符合题意；B、是无理数，故符合题意；C、是有理数，故不符合题意；D、是有理数，故不符合题意；故选：．【变式1-3】（2023·宁夏银川·三模）下列实数：①，②，③，④，⑤，其中无理数有个．【答案】【解析】解：①是分数，是有理数；②是无理数；③开方开不尽，是无理数；④是整数，是有理数；⑤是无限不循环小数，是无理数；综上，无理数有个，故答案为：．考点02：实数的概念理解例2．判断正误，在后面的括号里对的填写“正确”，错的填写“错误”，并说明理由．(1)无理数都是开方开不尽的数．（

）(2)无理数都是无限小数．（

）(3)无限小数都是无理数．（

）(4)无理数包括正无理数、零、负无理数．（

）(5)不带根号的数都是有理数．（

）(6)带根号的数都是无理数．（

）(7)有理数都是有限小数．（

(8)实数包括有限小数和无限小数．（

）【答案】(1)错误，理由见解析(2)正确，理由见解析(3)错误，理由见解析(4)错误，理由见解析(5)错误，理由见解析(6)错误，理由见解析(7)错误，理由见解析(8)正确，理由见解析【解析】（1）（错误）无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020020002…这类的数也是无理数；故答案为：错误；（2）（正确）无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数；故答案为：正确；（3）（错误）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数；故答案为：错误；（4）（错误）0是有理数；故答案为：错误；（5）（错误）如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数；故答案为：错误；（6）（错误）如，虽然带根号，但，这是有理数；故答案为：错误；（7）（错误）有理数还包括无限循环小数；故答案为：错误；（8）（正确）有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以实数可以用有限小数和无限小数表示；故答案为：正确．【变式2-1】实数的相反数是（

）A．3 B． C． D．【答案】B【解析】解：实数3的相反数是．故选：B．【变式2-2】（2023·广东梅州·二模）已知实数，则实数的倒数为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：，2024的倒数为，故选：B．【变式2-3】下列说法正确的有．①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是．【答案】①⑥【解析】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意；是无理数，故②不符合题意；不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意；是无理数；故④不符合题意；数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意；的相反数是，故⑥符合题意；故答案为：①⑥．考点03：实数的分类例3．关于实数和，下列判断中，正确的是（

）A．都不是分数 B．都是分数C．是分数，不是分数 D．不是分数，是分数【答案】C【解析】是分数，是有理数，是无理数，不是分数，故选：C．【变式3-1】（23-24七年级下·贵州安顺·期中）下列说法不正确的是（）A．无限循环小数是有理数 B．实数和数轴上的点一一对应C．有理数和无理数统称为实数 D．实数是由正实数和负实数组成【答案】D【解析】解：．无限循环小数是有理数，说法正确，故该选项不符合题意；．实数和数轴上的点一一对应，说法正确，故该选项不符合题意；．有理数和无理数统称为实数，说法正确，故该选项不符合题意；．实数是由正实数、零和负实数组成，原说法错误，故该选项符合题意；故选：D．【变式3-2】（23-24七年级下·广东东莞·期中）下列说法中正确的个数是（

）①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③数轴上的点表示的数都是实数；④有理数都是有限小数；⑤实数分为正实数，0，负实数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：①无限不循环小数是无理数，故此选项错误；②带根号的数不一定是无理数，故此选项错误；③数轴上的点表示的数都是实数，正确；④有理数都是有限小数，错误；⑤实数分为正实数，0，负实数，正确．故选：B．【变式3-3】（23-24七年级下·上海杨浦·期中）下列说法正确的是（）A．无理数与无理数的和为无理数B．一个数的算术平方根不比这个数大C．实数可分为有理数和无理数D．数轴上的点和有理数一一对应【答案】C【解析】解：A．无理数与无理数的和不一定还是无理数，有可能是有理数，，0是有理数，故此选项不符合题意；B．一个数的算术平方根有可能比这个数大，例如的算术平方根是，，故此选项不符合题意；C．实数可分为有理数和无理数，此说法正确，故此选项符合题意；D．数轴上的点和实数一一对应，故此选项不符合题意．故选：C．考点04：实数的性质例4．的相反数是，的绝对值是【答案】2【解析】解：的相反数是，的绝对值是故答案为：；．【变式4-1】下列各组数中，互为相反数的一组是（

）A．131和 B．和 C．和 D．和【答案】B【解析】解：A、131和不互为相反数，不符合题意；B、和互为相反数，符合题意；C、和不互为相反数，不符合题意；D、和不互为相反数，不符合题意；故选：B．【变式4-2】如果一个实数的平方等于它本身，那么这样的实数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个【答案】B【解析】解：∵，，∴平方等于它本身，那么这样的实数有0和1，共计2个．故选：B．【变式4-3】（23-24七年级下·四川广元·期末）在数，0，和中，绝对值等于它本身的共有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：，绝对值不等于它本身，绝对值等于它本身，，绝对值不等于它本身，绝对值等于它本身绝对值等于它本身的共有2个；故选：B．考点05：实数大小的比较例5．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）比较与的大小，其结果是MN．（填“>”，“<”或“=”）【答案】【解析】解：，，∴，故答案为：．【变式5-1】比较大小：（用“”、“”或“”表示）．【答案】【解析】解：∵，，∴，∴，故答案为：．【变式5-2】比较大小：．【答案】【解析】解：∵，∴，∴；∵，∴，∴，∴，即，故答案为：．【变式5-3】（23-24七年级下·广东肇庆·期中）比较大小：3．（填“”、“”、“”）【答案】【解析】解：∵，∴，∴．故答案为：．考点06：无理数大小的估算例6．估计的值在（

）A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间【答案】C【解析】解：∵，∴，∴．故选：C．【变式6-1】（24-25八年级上·重庆·期中）估算的值在（

）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【答案】A【解析】解：∵，∴，∴，∴，故选：A．【变式6-2】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知，则实数在（

）A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间【答案】C【解析】解：，∵，∴．故选：C．【变式6-3】（24-25八年级上·海南·期中）若，则估计的值所在的范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，∴，∴，即．故选D．考点07：实数的混合运算例7．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）计算：．【答案】【解析】【变式7-1】（24-25七年级上·浙江温州·期中）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：．（2）解：．【变式7-2】计算：．【答案】2【解析】解：．【变式7-3】计算：【答案】7【解析】解：．考点08：程序设计与实数运算例8．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）如图所示的是一个数值转换器．（1）当输入值后，经过两次取算术平方根运算，输出的值为时，输入的值为；（2）若输入有效的值后，始终输不出值，所有满足要求的的值为．【答案】1000或1【解析】解：（1）当时，，，则；故答案为：100；（2）当，1时，始终输不出值，，1的算术平方根是0，1，一定是有理数，所有满足要求的的值为0或1．故答案为：0或1．【变式8-1】按如图所示的程序计算，若开始输入的值是64，则输出的值是．【答案】【解析】解：由题可得：64的立方根为4，4的算术平方根为2，2的立方根是；故答案为．【变式8-2】有一个数值转换器，其原理如图所示，当输入的x为256时，输出的y是．【答案】【解析】解：∵，，，4为有理数，∴把4输入，4的平方根是，，2的算术平方根为，是无理数，∴输出的y是．故答案为：．【变式8-3】（23-24七年级下·四川南充·期中）下面是一个简单的数值运算程序：当输入x的值是时，输出的结果是【答案】【解析】解：由题意得，，故答案为：．考点09：新定义下的实数运算例9．我们把对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．例如下列结论中：①；②当为非负整数时，；③满足的非负实数只有两个．其中结论正确的是．（填序号）【答案】②③【解析】解：①当时，，而，左边右边，故①不成立；②注意到都是非负数，令左边，则，∴，∴，移项得左边，即左边=左边，②式成立．③令，则，又因为，故，所以将代入式中，得，，解得：，又由于知为整数，得或1（非负整数），所以的非负实数只有两个．故③式成立．故答案为：②③．【变式9-1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）设都是有理数，规定，，则．【答案】【解析】由题意可知，，，故答案为：．【变式9-2】（24-25七年级上·江苏无锡·期中）数学家发明了一个魔术盒，当任意数对放入其中时，会得到一个新的数：．例如把放入其中，就会得到．现在将数对放入其中得到数m，再将数对放入其中后，得到的数是．【答案】2【解析】解：根据题