2025年人教版九年级数学寒假复习 专题27.9 相似全章专项复习【3大考点14种题型】

专题27.9相似全章专项复习【3大考点14种题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1比例的性质】 1【题型1成比例线段的计算】 3【题型2比例性质的应用】 3【题型3平行线分线段成比例的应用】 4【考点2相似三角形】 5【题型4相似三角形的判定】 6【题型5利用相似三角形的性质求值】 7【题型6与相似多边形有关的计算】 8【题型7网格中相似三角形的相关计算】 9【题型8相似三角形的判定与性质的综合应用】 11【题型9与判定相似三角形中等积式的证明】 12【题型10相似三角形中的运动问题】 14【题型11利用相似三角形测物体的高度】 15【题型12影子部分不落在地面上求物体的高度】 17【考点3位似】 19【题型13位似图形】 19【题型14位似变换作图与计算】 21【考点1比例的性质】1.成比例线段（1）比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．（2）成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．2.比例的性质比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.3.黄金分割若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）4.平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图：如果，则，，．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.【题型1成比例线段的计算】【方法总结】根据成比例线段的定义,可知只要两条线段的比等于另外两条线段的比,则这四条线段是成比例线段,而比例式中各项有一定的顺序,不同的顺序会有不同的结果,切记进行分类讨论.【例1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足a:b=3:2，且a+2b=42．(1)求线段a、b的长；(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如果地图上A、B两处的图距是4cm，表示这两地的实际距离是200km，那么实际距离是500km的两地在地图上的图距是cm.【变式1-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=6，b=3，c=2，则d的值是.【变式1-3】（23-24九年级·四川内江·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是5−12的矩形，我们将这种宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB=1(1)黄金矩形ABCD的长BC=；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE，求点D到线段AE的距离．【题型2比例性质的应用】【例2】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知2ab+c=2ba+c=A．1 B．±1 C．1或−2 D．2【变式2-1】（23-24九年级·辽宁丹东·期中）若ab=cd，a，A．ba=dc B．a−bb=【变式2-2】（23-24九年级·四川成都·期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=【变式2-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知a、b、c满足a−12=b+13=【题型3平行线分线段成比例的应用】【方法总结】求线段的比,通常利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到比例线段,然后再进行转化得到所求两线段的比.遇到平行线时,要联想到借助辅助线构造基本图形:“A”型与“X”型.【例3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m与直线l1、l2、l3分别交于点A、D、F，直线n与直线l1、l2、l

【变式3-1】（23-24九年级·广西桂林·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC=3cm，则线段AB的长是(

A．1cm B．23cm C．3【变式3-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1，AD与CE相交于点F，则EFFC+【变式3-3】（2024·河南周口·一模）在边长为1的等边三角形ABC中，D为直线AB上一点，AD=2，点E在直线BC上，且DE=DC，则CE的长为．【考点2相似三角形】1.性质形状相同的图形叫做相似图形相似多边形的对应角相等，对应边成比例多边形叫做相似多边形.相似多边形2.判定1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似3.性质分线的比都等于相似比对应线段的比等于相似比周长的比等于相似比【题型4相似三角形的判定】【例4】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线段AE上一点，且∠DFE=∠C．求证：△ADF∽△EAB．【变式4-1】（23-24九年级·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（

）

A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对【变式4-2】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，已知∠BAD=∠CAE，添加一个条件，使得△ABC∽△ADE．

【变式4-3】（23-24九年级·上海·期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，连接CE，下列两个三角形不一定相似的是（

）A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECFC．△BAC与△BDE D．△DBF与【题型5利用相似三角形的性质求值】【方法总结】利用相似三角形的性质求周长和面积的方法:

利用相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方这一性质,可在已知两个相似三角形的相似比和其中一个三角形的周长(面积)时,求另一个三角形的周长(面积),不必求出三角形的每一条边及高进行求解,通常会用方程的思想来解决问题.【例5】（24-25九年级·山东青岛·期中）某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2:3，面积差为30，则它们的面积和为（）A．74 B．76 C．78 D．81【变式5-1】（23-24九年级·四川眉山·期中）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（

）

A．ABAC=BCCD B．ACAD=【变式5-2】（23-24九年级·广西贺州·期中）若△ABC与△A1B1C1相似，已知AB=3，AC=5【变式5-3】（23-24九年级·江苏扬州·阶段练习）若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则最短边为cm【题型6与相似多边形有关的计算】【例6】（23-24九年级·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（

）A．a＝2b B．a＝2b C．a＝22b D．a＝4b【变式6-1】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=a，点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接AE、EC、AF、CF，若四边形AECF【变式6-2】（2024·河北邢台·一模）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（）A． B．C． D．【变式6-3】（23-24九年级·全国·课后作业）为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：(1)每块地砖的长与宽分别为多少？(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．【题型7网格中相似三角形的相关计算】【例7】（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①的网格中确定一点D，连结BD，CD，使△BDC与(2)在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PCQ∽△ACB，且相似比为3:5．【变式7-1】（23-24九年级·山东潍坊·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．(1)在图1中，PDPA(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图2，在线段AB上找一点P，使PAPB②如图3，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC．【变式7-2】（23-24九年级·江西·期中）如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图①中△ABC的外部作△FEC，使△ABC∽△FEC；(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的△AB【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺．在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，并完成填空．

(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA．直接写出△ABE与△CBA的相似比为______；(2)在图②中△ABC的边AB上确定一点M，在边AC上确定一点N，连结MN，使△AMN∽△ABC，且相似比为1:2．直接写出S△AMN(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PCQ∽△ACB且相似比为3:5．直接写出PQ的长度为______．【题型8相似三角形的判定与性质的综合应用】【例8】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=5，点E是CD边上一点，且DECE=23，点F是BD上一点，若∠FAE=45°，则

A．32 B．582 C．36【变式8-1】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°,AD=CD，O是对角线AC的中点，连结BO并延长交边CD或边AD于点E．(1)当点E在CD上，①求证：AC②若BE⊥CD，求ADBC(2)若DE=1,OE=2，直接写出CD的长．【变式8-2】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AGFD的值为【变式8-3】（24-25九年级·山东青岛·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．(1)求证：△PFA∽△ABE；(2)当P也是AD边中点时，求AF的值；(3)若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；(4)当点F与点E重合时，设PF交CD于点G，试判断∠GAE与∠BAE的大小关系并说明理由．【题型9与判定相似三角形中等积式的证明】【方法总结】由于相似三角形对应边成比例,借助比例的基本性质,可以把比例式转化为等积式.利用相似三角形的性质解决等积式问题的方法:

(1)三点定形法:观察等积式或比例式,式子所涉及的四个字母中,如有一个字母重复出现3次,就可以找出相似的三角形,如:CD2=DE·DF根据比例的性质变换为CDDE=DF【例9】（23-24九年级·上海青浦·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠BCD，点E在边BC上，连接AC、DE，满足∠CDE=∠CAD，且CE⋅CB=AB⋅CD．(1)求证：四边形ABCD是等腰梯形；(2)当AD=DE时，求证；AF【变式9-1】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD于点F，∠DCE=∠ADB．(1)求证：AB⋅BC=BF⋅CE；(2)如果AD=3DE=6．①求CF的长；②若BD=10，求CD的长．【变式9-2】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，矩形ABCD中，BC=a，BC>AB，点P是AD边上的任意一点（不与端点A，D重合），连接PC，且PE⊥PC交AB于点E．(1)求证：CD⋅AE=AP⋅DP；(2)若点Q也在AD上，满足QC⊥QE，如图所示AP>AQ．求证：AP+AQ=a．【变式9-3】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，∠BAC=∠AED=90°，AB=AC(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；(2)如图2，若点E落在BC边上，求证：AD(3)如图3，若点H，I，J分别为BC，AB，AD中点，判断IJ与HE的数量关系及夹角度数（锐角）．【题型10相似三角形中的运动问题】【例10】（23-24九年级·湖南益阳·期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=3，AB=4，BC=6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ，当点Q与B重合时，两动点均停止运动，设运动时间为(1)当t=1时，求线段EP的长；(2)当运动t秒时线段BE的长（用含t的式子表示）；(3)运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．【变式10-1】（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当

(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，△PBQ的面积等于4cm(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，PQ的长度等于5cm(3)几秒钟后，△PBQ与△ABC相似？【变式10-2】（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE(1)当动点运动时间t=秒时，△BDE与△ABC相似．(2)在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．【变式10-3】（23-24九年级·江苏苏州·期中）已知矩形ABCD中，BC＝8cm，点G是对角线AC上一点，且CG=5cm．点H是边AB中点，点F从点A出发，沿A−B−C方向运动，速度为3cm/s，点E从点A出发，沿A−D方向运动，速度为1cm/s，两点同时开始运动，运动的时间为x．若△FHG面积记为S1，△HEG面积记为S2，△FEG面积记为S

(1)如图①，点F在线段AB(包含端点)上运动时，S1与x的函数图像如图②所示，则AB(2)如图③，点F在线段BC上运动；①若EF=25cm，求此时②若S2·S【题型11利用相似三角形测物体的高度】【方法总结】利用相似三角形测量高度的方法：【例11】（23-24九年级·山东东营·期末）某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面1.65米，凉亭顶端离地面2米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为40米，小亮身高1.7米，请根据以上数据求出城楼的高度．【变式11-1】（23-24九年级·浙江嘉兴·期末）如图，屋架跨度的一半OP=5m，高度OQ=2.5m．现要在屋顶上开一个天窗，AB在水平位置，且AB=2.4m【变式11-2】（23-24九年级·安徽安庆·期中）用手举一根标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或人与标尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆，此方法可测量旗杆的高度．若人与标尺EF的水平距离CG=20cm，人与旗杆AB的水平距离CH=12.6m，标尺的长度EF=22cm，根据测量结果，试求旗杆的高度．

【变式11-3】（23-24九年级·山东威海·期末）某学校数学课外活动小组测量校园内一棵树的高度．采用的方法如下：如图，首先把支架EF放在离树AB适当距离的水平地面上点F处，再把镜子水平放置在支架EF上点E处，然后观测者沿着直线BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A．用皮尺分别测得BF=8m，DF=2m．若观测者目高CD为1.6m，支架EF【题型12影子部分不落在地面上求物体的高度】【方法总结】利用相似三角形解决影子部分不落在地面上求物体的高度的方法：【例12】（23-24九年级·四川巴中·期末）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同一时刻旗杆AB的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为BD=9米，留在墙上的影长CD=2米，则旗杆的高度（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．10.2米【变式12-1】（23-24九年级·河南郑州·期中）数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为．【变式12-2】（23-24九年级·陕西西安·期末）小明和爸爸在公园散步，此时爸爸的影子落在了身后的地面和墙上，如图1所示．其中，BC段为地上的影子，AC段为墙上的影子．小明想利用所学知识测量出爸爸的身高．他向工作人员询问得知：公园地面与墙面所用均为厚度13.5cm，长度65cm的砖块，小明数了一下，BC段刚好是4块地砖的长度，而AC段恰好为4块地砖的厚度；同一时刻，小明观察到公园门口指示牌影子的顶端刚好到达保安亭，如图2所示，其中MN为指示牌的影子．已知爸爸、墙面、指示牌和保安亭均与地面垂直，指示牌高2m【变式12-3】（23-24九年级·山东济南·期中）物体在太阳光线的照射下会留下“影子”，某兴趣小组在利用影子测量物体的高度时，甲同学测得一根长为1米的垂直于地面的标杆，在地面上的影长为0.5米，请解答下列问题．

(1)如图1，乙同学测得旗杆AB在地面上的影长BC为6米，那么旗杆AB的高度为米．(2)如图2，丙同学想测量一棵树DE的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，地面上的影长EF为3米，墙上的影长GF长为1米，则树DE的高度为多少？(3)如图3，丁同学想测量一根电线杆HI的高度，他发现电线杆的影子恰好落在地面和一斜坡上，测得地面上的影长IJ为4米，坡面上的影长JK为2米，已知斜坡的坡角为30°，则电线杆的高度是多少？【考点3位似】1．位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。2．性质：在平面直角体系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形的对应点的坐标的比等于k或-k。注意:(1)位似是一种具有位置关系的相似，所以两个图形是位似图形，必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；(2)两个位似图形的位似中心只有一个；(3)两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；(4)位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似；(5)位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。位似多边形的对应边平行或共线。位似可以将一个图形放大或缩小。位似图形的中心可以在任意的一点，不过位似图形也会随着位似中心的位变而位变。(6)根据一个位似中心可以作两个关于已知图形一定位似比的位似图形,这两个图形分布在位似中心的两侧,并且关于位似中心对称。【题型13位似图形】【方法总结】1.判定位似图形的方法

如果两个图形是位似图形,应具备:

(1)每组对应点的连线所在的直线都经过同一点.

(2)对应边互相平行或在同一条直线上.

2.相似图形与位似图形的联系

位似图形一定是相似图形,但相似图形不一定是位似图形,位似图形的相似比和相似图形的相似比是一样的,都是对应边长的比.【例13】（23-24九年级·河北邢台·开学考试）在下列四个三角形中，与△ABC是位似图形且O为位似中心的是（

）A．① B．② C．③ D．④【变式13-1】（23-24九年级·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，△ABC与△DEF位似，则下列说法正确的是（

）A．位似中心是点D B．位似中心是点GC．位似比为2:1 D．位似比为1:2【变式13-2】（2024·河北唐山·一模）如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，分别取点D，E，F，使OD＝13AO，OE＝13BO，OF＝13CO，得△DEFA．△DEF与△ABC是位似三角形 B．△OAC与△ODF是位似三角形C．△DEF与△ABC周长的比是1：3 D．图中位似的两个三角形面积比是1：9【变式13-3】（2024九年级·浙江嘉兴·学业考试）如图，已知▱ABCD的面积为24，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为23，连接AG、DG．则△ADG的面积为【题型14位似变换作图与计算】【方法总结】画位似图形的“五个步骤”：【例14】（23-24九年级·河南南阳·期中）如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．(1)以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使(2)证明△A′B【变式14-1】（2024九年级·广东茂名·竞赛）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点A的坐标为−1,3．(1)以点O为位似中心，把△ABC按2:1放大，在y轴的左侧，画出放大后的△DEF；(2)点A的对应点D的坐标是______；(3)S△ABO【变式14-2】（23-24九年级·山东日照·期末）在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点的坐标分别为A3,5，B2,2，(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B(2)在网格内，画出以点A为位似中心，把△ABC放大为原来的2倍后的△AB(3)若△AB2C2也是△A【变式14-3】（23-24九年级·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系中的位置如图所示：(1)在图中画出△ABC沿x轴翻折后的△A(2)以点M(1,2)为位似中心，作出△A1B1C(3)点A2的坐标___________；△ABC与△A2B2

专题27.9相似全章专项复习【3大考点14种题型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考点1比例的性质】 1【题型1成比例线段的计算】 3【题型2比例性质的应用】 4【题型3平行线分线段成比例的应用】 8【考点2相似三角形】 13【题型4相似三角形的判定】 14【题型5利用相似三角形的性质求值】 17【题型6与相似多边形有关的计算】 19【题型7网格中相似三角形的相关计算】 22【题型8相似三角形的判定与性质的综合应用】 30【题型9与判定相似三角形中等积式的证明】 39【题型10相似三角形中的运动问题】 46【题型11利用相似三角形测物体的高度】 54【题型12影子部分不落在地面上求物体的高度】 57【考点3位似】 62【题型13位似图形】 62【题型14位似变换作图与计算】 66【考点1比例的性质】1.成比例线段（1）比例的项：在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．（2）成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．2.比例的性质比例的性质示例剖析（1）基本性质：（2）反比性质：（3）更比性质：或或（4）合比性质：（5）分比性质：（6）合分比性质：（7）等比性质：已知，则当时，.3.黄金分割若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）4.平行线分线段成比例两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图：如果，则，，．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.【题型1成比例线段的计算】【方法总结】根据成比例线段的定义,可知只要两条线段的比等于另外两条线段的比,则这四条线段是成比例线段,而比例式中各项有一定的顺序,不同的顺序会有不同的结果,切记进行分类讨论.【例1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）已知线段a、b满足a:b=3:2，且a+2b=42．(1)求线段a、b的长；(2)若线段c是线段a、b的比例中项，求线段c的长．【答案】(1)线段a的长为18，线段b的长为12(2)线段c的长为6【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键．（1）设a=3k，b=2k，代入a+2b=42计算可得k的值，由此即可得；（2）根据比例中项可得c2【详解】（1）解：∵a:b=3:2，∴设a=3k，b=2k，∵a+2b=42，∴3k+4k=42，∴k=6，∴a=18，b=12，∴线段a的长为18，线段b的长为12．（2）解：∵线段c是线段a、b的比例中项，a=18，b=12，∴c∵由题意知，c>0，∴c=66∴线段c的长为66【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如果地图上A、B两处的图距是4cm，表示这两地的实际距离是200km，那么实际距离是500km的两地在地图上的图距是cm.【答案】10【分析】先设这个图距是xcm，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于x的方程，即可求解.【详解】设这个图距是xcm，则4：20000000=x：50000000，解得x=10．故填：10．【点睛】本题考查了比例线段，解题的关键是根据比例尺不变列出方程．【变式1-2】（23-24九年级·福建福州·期末）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a=6，b=3，c=2，则d的值是.【答案】1【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到a:b=c:d，即可得到答案．【详解】解：由于线段a，b，c，d是成比例线段，故a:b=c:d，即6:3=2:d解得d=1故答案为：1．【变式1-3】（23-24九年级·四川内江·期中）巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是5−12的矩形，我们将这种宽与长的比是5−12的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形(1)黄金矩形ABCD的长BC=；(2)如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；(3)在图②中，连接AE，求点D到线段AE的距离．【答案】(1)5(2)矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析(3)点D到线段AE的距离为10【分析】本题考查了黄金分割，理解题目所给“黄金矩形”的定义是解题的关键．（1）根据ABBC=5（2）先求出FD=EC=AD−AF=5−12（3）连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G，根据AB=EF=1，AD=5+12，得出AE=【详解】（1）解：∵ABBC=5∴BC=AB故答案为：5+1（2）解：矩形DCEF为黄金矩形，理由是：由（1）知AD=BC=5∴FD=EC=AD−AF=5∴DFEF故矩形DCEF为黄金矩形；（3）解：连接AE，DE，过D作DG⊥AE于点G∵AB=EF=1，AD=5∴AE=1在△AED中，S△AED即AD×EF=AE×DG，则5+1解得DG=10∴点D到线段AE的距离为10+【题型2比例性质的应用】【例2】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知2ab+c=2ba+c=A．1 B．±1 C．1或−2 D．2【答案】C【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0时，根据等比性质计算得出结果；②当a+b+c=0时，则a+b=−c，代入k=2c【详解】解：分两种情况：①当a+b+c≠0时，得k=2a+2b+2c②当a+b+c=0时，则a+b=−c，k=2c综上所述，k的值为1或−2．故选：C．【变式2-1】（23-24九年级·辽宁丹东·期中）若ab=cd，a，A．ba=dc B．a−bb=【答案】D【分析】本题主要考查比例性质的变形，根据比例的性质，对所给选项进行整理，找到不一定成立的选项即可【详解】解：A.∵ab=cB.∵ab=cd，∴C.∵ab=cd，∴ba=dD.当b+d=0时，原式不成立，故选项D符合题意，故选：D【变式2-2】（23-24九年级·四川成都·期中）已知a，b，c均为非零的实数，且满足a+b−cc=a−b+cb=【答案】1或−2/−2或1【分析】根据题意得出a+b−c=ck,a−b+c=bk,−a+b+c=ak，三式相加得出a+b+c=a+b+c【详解】解：∵a+b−cc∴a+b−c=ck,a−b+c=bk,−a+b+c=ak∴a+b−c+a−b+c−a+b+c=即a+b+c=a+b+c当a+b+c≠0时，k=1，当a+b+c=0时，k=a+b−c故答案为：1或−2．【点睛】本题考查了比例的性质，分类讨论是解题的关键．【变式2-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知a、b、c满足a−12=b+13=【答案】25【分析】设a−12=b+1【详解】解：设a−12∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，∴a2+b2−c2=(2k+1)2+(3k-1)2−(4k+2)2=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4=-3k2-18k-2=-3(k2+6k+9-9)-2=-3(k+3)2+25∵(k+3)2≥0，则-3(k+3)2≤0，∴a2+b2−c2的最大值为25，故答案为：25．【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．【题型3平行线分线段成比例的应用】【方法总结】求线段的比,通常利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到比例线段,然后再进行转化得到所求两线段的比.遇到平行线时,要联想到借助辅助线构造基本图形:“A”型与“X”型.【例3】（23-24九年级·福建泉州·期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线m与直线l1、l2、l3分别交于点A、D、F，直线n与直线l1、l2、l

【答案】5【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，解答即可．【详解】解：∵直线l1∴ADDF∴CEBC故答案为：54【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，解此题的关键是能根据定理得出比例式，注意：一组平行线截两条直线，所截得的线段对应成比例．【变式3-1】（23-24九年级·广西桂林·期末）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC=3cm，则线段AB的长是(

A．1cm B．23cm C．3【答案】C【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【详解】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，∴ABBC=∴AB3解得：AB=3故选：C．【变式3-2】（23-24九年级·辽宁沈阳·期中）如图，在△ABC中，AE:EB=1:3，BD:DC=2:1，AD与CE相交于点F，则EFFC+【答案】3【分析】先过E作EG∥BC，交AD于G，再作DH∥AB交CE于H，由平行线分线段成比例定理的推论，再结合已知条件，可分别求出【详解】解：作EG∥BC交AD于G，作DH∥AB交∵AE:EB=1:3，∴AEAB∵EG∥∴EGBD∴EG=1∵BD:DC=2:1，∴EG=1∵EG∥∴EFFC∵BD:DC=2:1，∴CDBC∵DH∥∴DHBE∴DH=1∵DH∥∴AFFD∴EFFC故答案为：32【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例定理．【变式3-3】（2024·河南周口·一模）在边长为1的等边三角形ABC中，D为直线AB上一点，AD=2，点E在直线BC上，且DE=DC，则CE的长为．【答案】1或3【分析】分点D在线段AB的延长线和反向延长线上，两种情况进行讨论求解即可，当点D在线段AB的延长线上时，推出△BDC为等腰三角形，三角形外角的性质求出∠BCD=30°，根据等边对等角，推出△BDE为含30度角的直角三角形，求出BE的长，进而求出CE的长即可，当点D在线段AB的反向延长线上时，过点A作AG⊥BC，过点D作DF⊥BE，得到AG∥DF，根据等边三角形和等腰三角形的性质，结合平行线分线段成比例进行求解即可．【详解】解：当点D在AB的延长上时，如图，∵边长为1的等边三角形ABC，∴AB=BC=1，∠ABC=60°，∵AD=2，∴AB=BD=1，∴BD=BC=1，∴∠BCD=∠BDC，∵∠ABC=∠BCD+∠BDC=2∠BCD，∴∠BCD=30°，∵DE=DC，∴∠DCE=∠CED=30°，∵∠DBE=∠ABC=60°，∴∠BDC=180°−∠DEB−∠DBE=90°，∴BE=2BD=2，∴CE=BC+BE=3；当点D在AB的反向延长上时，如图，过点A作AG⊥BC，过点D作DF⊥BE，则：AG∥DF，∵△ABC为等边三角形，DC=DE，∴BG=CG=1∵AG∥DF，∴BAAD∴FG=2BG=1，∴CF=FG−CG=1∴CE=2CF=1；综上：CE=1或CE=3；故答案为：1或3．【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，以及平行线分线段成比例，掌握相关知识点，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【考点2相似三角形】1.性质形状相同的图形叫做相似图形相似多边形的对应角相等，对应边成比例多边形叫做相似多边形.相似多边形2.判定1平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似3.性质分线的比都等于相似比对应线段的比等于相似比周长的比等于相似比【题型4相似三角形的判定】【例4】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线段AE上一点，且∠DFE=∠C．求证：△ADF∽△EAB．【答案】见解析【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，再根据平行线的性质可得∠DAE=∠AEB，∠B+∠C=180°，利用等量代换可得【详解】证明：在▱ABCD中，AD∥∴∠DAE=∠AEB，∵AB∥∴∠B+∠C=180°，∵∠DFE=∠C，∠AFD+∠DFE=180°，∴∠B=∠AFD，∴△ADF∽△EAB．【变式4-1】（23-24九年级·山东烟台·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为6、8、10的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形也相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（

）

A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对【答案】A【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′【详解】解：甲：根据题意得，A′B′∥AB∴∠A=∠A′，∴△ABC∽△A∴甲说法正确；乙：根据题意得，AB=DC=6，AD=BC=10，则A′B′∴ABA′B∴ABA∴新矩形与原矩形不相似，∴乙说法不正确；故选：A．

【变式4-2】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，已知∠BAD=∠CAE，添加一个条件，使得△ABC∽△ADE．

【答案】∠B=∠ADE（答案不唯一）【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定推理即可；熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．【详解】解：由∠BAD=∠CAE可得，∠BAC=∠DAE根据相似三角形的判定，可添加一个角或∠BAC,∠DAE的两边对应成比例；故可以添加：∠B=∠ADE或∠ACB=∠AED或ABAD故答案为：∠B=∠ADE（答案不唯一）【变式4-3】（23-24九年级·上海·期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，使得点A落在边AC上，点A、C的对应点分别为D、E，边DE交BC于点F，连接CE，下列两个三角形不一定相似的是（

）A．△BAD与△BCE B．△BDF与△ECFC．△BAC与△BDE D．△DBF与【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定、旋转的性质等知识，根据旋转的性质得到AB=DB，∠ABC=∠DBE，BC=BE，∠A=∠BDE，∠ACB=∠DEB，再根据相似三角形的判定定理判断求解即可．【详解】解：根据旋转的性质得，△ABC≌∴AB=DB，∴∠ABD=∠CBE，ABBC∴△BAD∽∵∠ABD=∠CBE，∴∠A=∠BDA=∠BCE=∠BEC，∴∠BDF=∠ECF，又∵∠BFD=∠EFC，∴△BDF∽又∠ABC=∠DBE，ABBD∴△BAC∽根据题意，无法求解△DBF与△CEB相似，故D符合题意；故选：D．【题型5利用相似三角形的性质求值】【方法总结】利用相似三角形的性质求周长和面积的方法:

利用相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方这一性质,可在已知两个相似三角形的相似比和其中一个三角形的周长(面积)时,求另一个三角形的周长(面积),不必求出三角形的每一条边及高进行求解,通常会用方程的思想来解决问题.【例5】（24-25九年级·山东青岛·期中）某公园的儿童游乐场是两个相似三角形地块，相似比为2:3，面积差为30，则它们的面积和为（）A．74 B．76 C．78 D．81【答案】C【分析】本题主要考查了对相似三角形性质的理解，解题的关键是掌握相似三角形面积比与相似比之间的关系，即相似三角形面积比等于相似比的平方．已知两相似三角形的相似比，即可求出面积比．根据面积差为30，可求出两三角形的面积，进而可求出面积和．【详解】解：∵两三角形的相似比为2:3，∴它们的面积比为4:9，设较小三角形的面积为4k，则较大三角形的面积为9k，则9k−4k=30，解得k=6，∴面积和为4k+9k=13k=故选C．【变式5-1】（23-24九年级·四川眉山·期中）如图△ABC∽△ACD，则下列式子中不成立的是（

）

A．ABAC=BCCD B．ACAD=【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出ABAC【详解】解：∵△ABC∽△ACD∴AB∴AC故选：D．【变式5-2】（23-24九年级·广西贺州·期中）若△ABC与△A1B1C1相似，已知AB=3，AC=5【答案】9【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解分式方程等知识点，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．三角形相似，对应边成比例，据此即可求出答案．【详解】解：∵△ABC∽∴AB∵AB=3，AC=5，A1∴3解得：A1经检验，A1故答案为：9．【变式5-3】（23-24九年级·江苏扬州·阶段练习）若三角形三边的长度之比为4：4：7，与它相似的三角形的最长边为21cm，则最短边为cm【答案】12【分析】本题考查相似三角形的性质，关键是设出与它相似的三角形的三边，利用最长边构造方程．根据相似三角形的性质，依题意设这个三角形三边为4xcm,4xcm【详解】解：∵三角形三边之比为4：4：7，∴与他相似的三角形的三边之比也为4：4：7，设这个三角形三边为4xcm∵与它相似的三角形的最长边为21cm∴7x=21，则x=3，最短边长为4x=12cm故答案为：12．【题型6与相似多边形有关的计算】【例6】（23-24九年级·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（

）A．a＝2b B．a＝2b C．a＝22b D．a＝4b【答案】B【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可．【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为14要使小长方形与原长方形相似，只要满足ab∴a=2b．故选：B．【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．【变式6-1】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=a，点E、F是对角线BD上的点（点E、F不与B、D重合），分别连接AE、EC、AF、CF，若四边形AECF【答案】33a【分析】连接AC，根据菱形对角线互相垂直，构建直角三角形，再根据相似，得出∠EAF=∠ABC=60°，再根据直角三角形30°角所对的边是斜边的一半得出AO=1【详解】解：连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴∠1=12×60°=30°∴AO=1∵菱形AECF与菱形ABCD相似，∴∠EAF=∠ABC=60°，∴∠2=1∴EO=1根据勾股定理可得：AO即a22+故答案为：33【点睛】本题主要考查了菱形的性质，相似的性质，解题的关键是熟练掌握菱形对角线互相垂直，相似多边形对应角相等．【变式6-2】（2024·河北邢台·一模）如图所示的四边形，与选项中的四边形一定相似的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据勾股定理求出四边形ABCD的四条边之比，根据相似多边形的判定方法判断即可．【详解】作AE⊥BC于E，则四边形AECD为矩形，∴EC＝AD＝1，AE＝CD＝3，∴BE＝4，由勾股定理得，AB＝AE∴四边形ABCD的四条边之比为1：3：5：5，D选项中，四条边之比为1：3：5：5，且对应角相等，故选：D．【点睛】此题考查相似多边形的判定定理，两个多边形的对应角相等，对应边成比例，则这两个多边形相似，此题求出多边形的剩余边长是解题的关键，利用矩形的性质定理，勾股定理求出边长.【变式6-3】（23-24九年级·全国·课后作业）为了铺设一矩形场地，特意选择某地砖进行密铺，为了使每一部分都铺成如图所示的形状，且由8块地砖组成，问：(1)每块地砖的长与宽分别为多少？(2)这样的地砖与所铺成的矩形地面是否相似？试明你的结论．【答案】（1）矩形地砖的长为45cm，宽为15cm；（2）不相似，理由见解析【详解】试题分析：1首先观察图形，可知：小矩形的长+宽=60，4×小矩形的宽=60，故可设未知数列方程组，解方程组即可确定每块地砖的长与宽分别为多少；2求出矩形场地的长，接下来求出矩形场地、小矩形的宽和长的比，若比值相等，则相似，反之则不相似.试题解析：(1)设矩形地砖的长为acm，宽为bcm，由题图可知4b=60，即b=15.因为a+b=60，所以a=60−b=45，所以矩形地砖的长为45cm，宽为15cm.(2)不相似．理由：因为所铺成矩形地面的长为2a=2×45=90(cm)，宽为60cm，所以大矩形的长与宽之比为：9060而小矩形的长与宽之比为：4515=3即所铺成的矩形地面的长与宽和地砖的长与宽不成比例．所以它们不相似．【题型7网格中相似三角形的相关计算】【例7】（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①的网格中确定一点D，连结BD，CD，使△BDC与(2)在图②中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA；(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PCQ∽△ACB，且相似比为3:5．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查作图−−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．（1）根据全等三角形的判定，取格点D，使BD=AC，AB=CD作出图形即可；（2）由图及勾股定理可知∠AEB=∠BAC=90°，进而可得△ABE∽△CBA根据相似三角形的判定作出图形即可；（3）取格点M，Q，连接AM,MQ，MQ交AC于点P，点P，点【详解】（1）解：如图中，点D1（2）解：如图中，点E即为所求；由图可知，∠AEB=90°，∵AB又BC∴AB∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°∴∠AEB=∠CAB，又∵∠B=∠B，∴△ABE∽△CBA；（3）解：如图，取格点M，Q，连接AM,MQ，MQ交AC于点P，点P，点如图：AM∥BQ,AM=BQ，∴四边形AMQB是平行四边形，∴AB∥MQ，则：△PCQ∽△ACB，∴CPAC相似比为：CQCB【变式7-1】（23-24九年级·山东潍坊·期末）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．(1)在图1中，PDPA(2)利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．①如图2，在线段AB上找一点P，使PAPB②如图3，在线段BC上找一点P，使△APB∽△DPC．【答案】(1)1(2)①见详解；②见详解【分析】本题考查了无刻度直尺作图，相似三角形的判定及性质；（1）（1）由相似三角形的判定方法得△PCD∽△PBA，由相似三角形的性质即可求解；（2）①由（1）得构建相似三角形使得相似比为23，即可求解；②作点A关于BC的对称点A1，连接A1D交能根据相似三角形的判定及性质找出所求作的点是解题的关键．【详解】（1）解：由图得AB∥AB=3，CD=1，∴△PCD∽△PBA，∴PD故答案：13（2）解：①如图，∴点P为所求；②如图，∴点P为所求．【变式7-2】（23-24九年级·江西·期中）如图，在由若干个小正方形组成的网格图中，△ABC的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图①中△ABC的外部作△FEC，使△ABC∽△FEC；(2)在图②中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，各个顶点仍在格点上的△AB【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析．【分析】（1）延长AC至点E，使得EC=22，延长BC至点F，使得FC=322，连接EF，得到（2）根据旋转的性质作图即可；本题考查了作相似三角形，作旋转后的图形，掌握相似三角形的判定和旋转的性质是解题的关键．【详解】（1）解：如图①所示，△FEC即为所求．理由：∵EC=22，FC=∴BCEC又∵∠ACB=∠ECF，∴△ABC∽△FEC；（2）解：如图②所示，△AB【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺．在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，并完成填空．

(1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结AE，使△ABE∽△CBA．直接写出△ABE与△CBA的相似比为______；(2)在图②中△ABC的边AB上确定一点M，在边AC上确定一点N，连结MN，使△AMN∽△ABC，且相似比为1:2．直接写出S△AMN(3)在图③中△ABC的边AC上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结PQ，使△PCQ∽△ACB且相似比为3:5．直接写出PQ的长度为______．【答案】(1)作图见解析；55(2)作图见解析；54(3)作图见解析；35【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用数形结合的思想，熟练掌握相似三角形的性质，是解答本题的关键．（1）根据题意，得到∠BAC=90°，故取格点E，连接AE，得到AE⊥BC，进而得到△ABE∽△CBA，相似比为：ABAC（2）根据题意，取格点F，格点N，连接FN，交AB于点M，则MN∥BC，根据相似比为1:2，得到（3）根据题意△PCQ∽△ACB且相似比为3:5，得到CQ=3，取格点Q，格点H，连接QH，交AC于点P，则PQ∥AB，由PQAB=3【详解】（1）解：根据题意，作图如下：

∵AB=1AC=2BC=5，∴AB∴∠BAC=90°，故取格点A，格点E，连接AE，∴AE⊥BC，∴△ABE∽△CBA，∴相似比为：ABACAE即为所求，故答案为：55（2）根据题意得：△AMN∽△ABC，且相似比为1:2，作图如下：

∵AMAB∴取格点F，格点N，连接FN，交AB于点M，则MN∥MN即为所求，由（1）得S△ABC又相似比为1:2，∴S△AMN∴S△AMN故答案为：54（3）根据题意得，△PCQ∽△ACB且相似比为3:5，∴CQBC∵BC=5，∴CQ=3，

∴取格点Q，格点H，连接QH，交AC于点P，则PQ∥PQ即为所求，∴PQAB又AB=5∴PQ=3故答案为：35【题型8相似三角形的判定与性质的综合应用】【例8】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在正方形ABCD中，AB=5，点E是CD边上一点，且DECE=23，点F是BD上一点，若∠FAE=45°，则

A．32 B．582 C．36【答案】B【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由正方形的性质得到CD=AB=AD=5，∠BAC=∠ACD=∠ABD=45°，∠ABC=∠ADE=90°，则由勾股定理得到AC=52，求出DE=2，则AE=AD2+DE2【详解】解：如图所示，连接AC∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB=AD=5，∠BAC=∠ACD=∠ABD=45°，∴AC=A∵DECE∴CE=3∴DE=2，∴AE=∵∠FAE=∠BAC=45°，∴∠BAF=∠CAE，又∵∠ABF=∠ACE=45°，∴△ABF∽△ACE，∴ABAC=AF∴AF=58故选：B．

【变式8-1】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°,AD=CD，O是对角线AC的中点，连结BO并延长交边CD或边AD于点E．(1)当点E在CD上，①求证：AC②若BE⊥CD，求ADBC(2)若DE=1,OE=2，直接写出CD的长．【答案】(1)①证明见解析，②ADBC(2)CD的长为3+332【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA，由平行线的性质得出∠DAC=∠ACB，由直角三角形的性质得出∠OBC=∠OCB，证明△DAC∽△OBC即可得出结论；②得出∠OCE=∠OCB=∠EBC=30°，过点D作DH⊥BC于点H，设AD=CD=2m，则BH=AD=2m，则可得出答案；（2）分两种情况讨论，当点E在CD上时，当点E在AD上时，分别求解即可得到答案．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，熟练掌握相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质是解题的关键．【详解】（1）①证明：如图1，∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB∵BO是Rt△ABC斜边AC∴OB=OC=OA，∴∠OBC=∠OCB，∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=∠OBC，∴△DAC∽△OBC，∴ACBC∵OB=OC=OA，∴AC=2OA=2OB，即OB=1∴ACBC∴AC②解：如图2，若BE⊥CD，在Rt△BCE中，∠OCE=∠OCB=∠EBC∴∠OCE=∠OCB=∠EBC=30°，过点D作DH⊥BC于点H，设AD=CD=2m，则BH=AD=2m，在Rt△DCH中，DC=2m∴CH=m，∴BC=BH+CH=3m，∴AD（2）解：如图3，当点E在CD上时，设AD=CD=x,则CE=x−1,设OB=OC=m,∵OE=2,∴EB=m+2,∵△DAC∽△OBC,∴∴∴∵∠EBC=∠OCE,∠BEC=∠OEC,∴△EOC∽△ECB,∴∴∴2∴m=把m=x2−x2x−1解得：x1=3+∴CD=3+如图4，当点E在AD上时，∵AD∥BC,∴∠OAE=∠OCB,∠OEA=∠OBC,∵∠OCB=∠OBC,∴∠OAE=∠OCB=∠OEA=∠OBC，∴OA=OE=OB=OC,∴四边形ABCE是矩形，AC=2OE=8,∴∠CEA=∠CED=90°,设AD=CD=t,∵DE=1∴AE=t−1,∵OE=2，∴AC=4，在Rt△AEC中，由勾股定理得在Rt△DEC中，由勾股定理得∴∴解得：t1=1+∴CD=1+综上所述，CD的长为：3+332或【变式8-2】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则AGFD的值为【答案】43/【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明△AGH∽△ADB是解题的关键．先证明△DFE≌△GFESAS，可得∠EDF=∠EGF，进而得到∠B=∠AHG，从而证得△AGH∽△ADB，可得AG【详解】解：∵EF⊥AD，∴∠EFG=∠EFD=90°，∵FG=FD，EF=EF，∴△DFE≌△GFESAS∴∠EDF=∠EGF∵∠EDF=∠B+∠BAD，∠EGF=∠AHG+∠HAG，∴∠B+∠BAD=∠AHG+∠CAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠B=∠AHG，∴△AGH∽△ADB，∴AGAD∵4AB=5AC，∴设AB=4a，AC=4a，∵H是AC的中点，∴AH=1∴AGAD∵AD=AG+GD，∴GDAD∴AGGD∵GF=DF，∴AGFD＝4故答案是：43【变式8-3】（24-25九年级·山东青岛·期中）如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．(1)求证：△PFA∽△ABE；(2)当P也是AD边中点时，求AF的值；(3)若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；(4)当点F与点E重合时，设PF交CD于点G，试判断∠GAE与∠BAE的大小关系并说明理由．【答案】(1)见解析(2)2(3)2或5(4)相等，理由见解析【分析】（1）先证明∠PAF=∠AEB，再由∠PFA=∠ABE=90°，即可证出△PFA∽△ABE；（2）当P是AD的中点时，AP=2，由△PFA∽△ABE，由相似三角形对应边成比例即可得出结论；（3）分两种情况：当△EFP∽△ABE时，则PE∥AB，得出四边形ABEP为矩形．求出PA=EB=2，即x=2；当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，先求出∠PAF=∠AEB，得到PE=PA，再由勾股定理得出AE的长，再得出EF的长，根据相似三角形的性质求出PE的长，即可得出结论；（4）先证明△ECG∽△ABE，求出CG、EG，再证明△AEG∽△ABE，即可得出∠GAE=∠BAE．【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB=BC=AD=4，∴∠ABE=90°，∠PAF=∠AEB．又∵PF⊥AE，∴∠PFA=∠ABE=90°，∴△PFA∽△ABE；（2）当P是AD的中点时，AP=2．∵△PFA∽△ABE，∴AFBE=AP∴AF=2（3）分两种情况：①当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，则有PE∥AB，∴四边形ABEP为矩形，∴PA=EB=2，即x=2．②当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时．∵∠PAF=∠AEB，∴∠PEF=∠PAF，∴PE=PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点．∵AE=A∴EF=∵PEAE=∴PE=5，∴AP=5，即x=5；∴满足条件的x的值为2或5；（4）∠GAE=∠BAE．理由如下：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=4，∴∠BAE+∠AEB=90°．∵E是BC的中点，∴BE=CE=2，∴AE=4∵PE⊥AE，∴∠AEP=90°，∠AEB+∠CEG=90°，∴∠CEG=∠BAE，∴△ECG∽△ABE，∴CGBE=CE∴CG=1，∴EG=∵EGAE∴EGAE又∵∠AEP=∠B=90°，∴△AEG∽△ABE，∴∠GAE=∠BAE．【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，和相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．【题型9与判定相似三角形中等积式的证明】【方法总结】由于相似三角形对应边成比例,借助比例的基本性质,可以把比例式转化为等积式.利用相似三角形的性质解决等积式问题的方法:

(1)三点定形法:观察等积式或比例式,式子所涉及的四个字母中,如有一个字母重复出现3次,就可以找出相似的三角形,如:CD2=DE·DF根据比例的性质变换为CDDE=DF【例9】（23-24九年级·上海青浦·期末）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠BCD，点E在边BC上，连接AC、DE，满足∠CDE=∠CAD，且CE⋅CB=AB⋅CD．(1)求证：四边形ABCD是等腰梯形；(2)当AD=DE时，求证；AF【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的判定、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明△ABC∽△ECD，得出∠CDE=∠ACB，从而推出∠CAD=∠ACB，得到AD∥BC，即可得证；（2）证明△ADF≌△DECASA，得出AF=CD，证明△ADC∽△DFC【详解】（1）证明：∵CE⋅CB=AB⋅CD，∴ABEC∵∠B=∠BCD，∴△ABC∽△ECD，∴∠CDE=∠ACB，∵∠CDE=∠CAD，∴∠CAD=∠ACB，∴AD∥BC，∵∠B=∠BCD，∴四边形ABCD是等腰梯形；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，在△ADF和△DEC中，∠DAC=∠CDEAD=DE∴△ADF≌△DECASA∴AF=CD，∵∠CDE=∠DAC，∠DCA=∠DCF，∴△ADC∽△DFC，∴CDAC∴CD∴AF【变式9-1】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE交BD于点F，∠DCE=∠ADB．(1)求证：AB⋅BC=BF⋅CE；(2)如果AD=3DE=6．①求CF的长；②若BD=10，求CD的长．【答案】(1)见解析(2)①CF=3；②DC=5【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是根据平行四边形得到相似三角形的条件．（1）根据平行四边形的性质，知道∠ADB=∠CBD，∠DEC=∠BCF，结合∠DCE=∠ADB，先证明△DCE∽△FBC，然后根据相似三角形对应边成比例，得证；（2）①先证明△EFD∽△CFB，得到EC=4EF，再证明△EDF∽△ECD，得到DEEC=EFDE，解得EF的长度，最后利用②通过平行线分线段成比例，DFBD=EFEC=14，算得DF【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB=CD∴∠ADB=∠CBD，∠DEC=∠BCF∵∠DCE=∠ADB∴∠DCE=∠CBD∴△DCE∽△FBC∴DC∴ABBF=（2）①解：∵AD=3DE=6∴DE=∴AE=AD−DE=6−2=4∵AD∥BC∴△EFD∽△CFB∴DE∵AD=BC=6∴∴EFEC∵∠EDF=∠ECD，∠DEF=∠CED∴△EDF∽△ECD∴∴解得：EF=1（舍去负值）∴CF=EC−EF=4EF−EF=4−1=3②解：∵AD∥BC∴∵BD=10∴DF=∵△EDF∽△ECD∴∵DE=2，EC=4∴∴DC=5【变式9-2】（23-24九年级·山东淄博·期末）如图，矩形ABCD中，BC=a，BC>AB，点P是AD边上的任意一点（不与端点A，D重合），连接PC，且PE⊥PC交AB于点E．(1)求证：CD⋅AE=AP⋅DP；(2)若点Q也在AD上，满足QC⊥QE，如图所示AP>AQ．求证：AP+AQ=a．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质；（1）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，由同角的余角相等得∠EPA=∠CPD，根据两角对应相等的两三角形相似可判定△EPA∽△CPD，由相似的性质得AEDP（2）由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AD=BC=a，由同角的余角相等得∠AEQ=∠DQC，根据两角对应相等的两三角形相似可判定△AEQ∽△DQC，由相似的性质得，AEDQ=AQ掌握判定方法及性质，能根据比例的性质得PQDP【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠EPA+∠AEP=90°，∵PE⊥PC，∴∠CPE=90°，∴∠APE+∠CPD=90°，∴∠EPA=∠CPD，∴△EPA∽△CPD，∴AE∴CD⋅AE=AP⋅DP；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AD=BC=a，∴∠AQE+∠AEQ=90°，∵QC⊥QE，∴∠CQE=90°，∴∠AQE+∠DQC=90°，∴∠AEQ=∠DQC，∴△AEQ∽△DQC，∴AE∴AE⋅DC=AQ⋅DQ，∵CD⋅AE=AP⋅DP，∴AQ⋅DQ=AP⋅DP，∴DQ∴DQ−DP∴PQ∴DP=AQ，∴AP+AQ=AP+DP=AD=a，故AP+AQ=a．【变式9-3】（23-24九年级·山东威海·期末）如图，∠BAC=∠AED=90°，AB=AC(1)如图1，不添加辅助线，请写出图中所有相似三角形；(2)如图2，若点E落在BC边上，求证：AD(3)如图3，若点H，I，J分别为BC，AB，AD中点，判断IJ与HE的数量关系及夹角度数（锐角）．【答案】(1)△GAF∽△GBA，△GAF∽△ACF，△GBA∽△ACF(2)见解析(3)CHIJ=2，IJ与【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．（1）根据两个角相等的两个三角形相似解题即可；（2）根据△EAF∽△EBA可得AEBE=FEAE，即可得到（3）设AB=a，AE=b，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到△AIJ∽△AHE，即可求出CHIJ=AH【详解】（1）解：∵∠BAC=∠AED=90°，AB=AC∴∠B=∠C=∠D=∠DAE=45°，又∵∠AGB=∠FGA，∴△GAF∽△GBA，同理可得：△GAF∽△ACF，△GBA∽△ACF；（2）证明：∵∠B=∠DAE=45°，∠AEB=∠FEA，∴△EAF∽△EBA，∴AEBE=FE又∵∠AED=90°，EA=ED∴AD2（3）解：连接AH，设直线IJ和EH交于点K，∴∠BAH=45°=∠DAE，∴∠BAF=∠HAE，设AB=a，AE=b，则BC=2a，∵点H，I，