2025年湘教版高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年湘教版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、P为椭圆上一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，若使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个；则椭圆离心率的取值范围是（）

A.

B.

C.

D.

2、已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切，则a的值为()A.1B.2C.-1D.-23、设曲线y=xn+1（n∈Z*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1•x2•x3•xn的值为（）A.B.C.D.14、某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元．月初一次性购进本月用原料A、B各c1、c2千克．要计划本月生产甲、乙两种产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润z=d1x+d2y最大的数学模型中，约束条件为（）A.B.C.D.5、利用数学归纳法证明++++＜1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k+1时不等式左端的变化是（）A.增加了这一项B.增加了和两项C.增加了和两项，同时减少了这一项D.以上都不对评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)6、【题文】数列1234的前n项和是__________．7、【题文】利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点；则打印的点既在直线2x－y+7=0右下方，又在直线x―2y+8=0左上方的有_____个.

8、【题文】函数f（x）="sin"()的导函数的部分图像如图所示；其中，P为图像与y轴的交点，A，C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点．

（1）若点P的坐标为（0，），则____；

（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为____．9、【题文】在各项都为正数的等比数列中，前三项的和则____。10、（﹣2x）dx=____．评卷人得分三、作图题(共5题，共10分)11、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）12、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）13、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

14、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）15、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共28分)16、已知点A和B动点C与A；B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求线段DE的长．

17、【题文】设椭圆C1：的右焦点为F；P为椭圆上的一个动点．

（1）求线段PF的中点M的轨迹C2的方程；

（2）过点F的直线l与椭圆C1相交于点A、D，与曲线C2顺次相交于点B、C，当时，求直线l的方程．18、已知抛物线y2=2px(p>0)

焦点为F

抛物线上横坐标为12

的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．

(

Ⅰ)

求抛物线的方程；

(

Ⅱ)

设过点P(6,0)

的直线l

与抛物线交于AB

两点，若以AB

为直径的圆过点F

求直线l

的方程．19、某校从高一年级随机抽取了20

名学生第一学期的数学学期综合成绩和物理学期综合成绩；列表如下：

。学生序号12345678910数学学期综合成绩96929191817682799093物理学期综合成绩91949092907891717884学生序号11121314151617181920数学学期综合成绩68727970646163665359物理学期综合成绩79786272626068725654规定：综合成绩不低于90

分者为优秀；低于90

分为不优秀．

(

Ⅰ)

对优秀赋分2

对不优秀赋分1

从这20

名学生中随机抽取2

名学生，若用娄脦

表示这2

名学生两科赋分的和，求娄脦

的分布列和数学期望；

(

Ⅱ)

根据这次抽查数据；列出2隆脕2

列联表，能否在犯错误的概率不超过0.025

的前提下认为物理成绩与数学成绩有关？

附：K2=n(ad鈭�bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

其中n=a+b+c+d

．

。P(K2鈮�k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828评卷人得分五、综合题(共3题，共18分)20、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．21、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．22、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】

由题意有可得，以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点；

又离心率越大，椭圆越扁，当点P在y轴上时，b=c；

椭圆离心率为e===

∴满足条件的＜e＜1；

故选A．

【解析】【答案】由题意有可得，以F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点，求得当点P在y轴上时，e=从而得到满足条件的＜e＜1．

2、B【分析】【解答】设切点P（x0，y0），则y0=x0+1，y0=ln（x0+a），又∵切线方程y=x+1的斜率为1，即y′|x=x0==1，∴x0+a=1，∴y0=0，x0=-1；∴a=2．故答案为B

【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值是切线斜率得第三个方程．三个方程联立即可求出a的值．此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．学生在解方程时注意利用消元的数学思想3、C【分析】解：对y=xn+1（n∈N*）求导得y′=（n+1）xn；

令x=1得在点（1；1）处的切线的斜率k=n+1；

在点（1；1）处的切线方程为y-1=（n+1）（x-1）；

不妨设y=0，xn=1-=

则x1•x2•x3•xn=••=．

故选：C．

欲判x1•x2••xn的值；只须求出切线与x轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．

本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究曲线上某点切线方程、数列等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．【解析】【答案】C4、C【分析】解：根据题意；设全月生产甲；乙两种产品分别为x千克，y千克，月利润总额为z元；

那么，用于求使总利润z=d1x+d2y最大的数学模型中；

约束条件为

选故：C．

由于月初一次性购进本月用原料A、B各c1、c2千克；据此生产的各种产品，所以它们的总量是不能超过的，最后，非负值约束条件表示各种产品的产量必须是正值，负值是没有意义的．

本题主要考查了简单的线性规划，考查了线性约束条件的确定，属于基础题．【解析】【答案】C5、C【分析】解：当n=k时，左端=++++

那么当n=k+1时左端=+++++

故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了和两项，同时减少了这一项；

故选：C．

当n=k时；写出左端，并当n=k+1时，写出左端，两者比较，关键是最后一项和增加的第一项的关系．

本题考查数学归纳法证明，其中关键一步就是从k到k+1，是学习中的难点，也是学习中重点，解答过程中关键是注意最后一项与增添的第一项．【解析】【答案】C二、填空题(共5题，共10分)6、略

【分析】【解析】Sn＝(1＋2＋3＋＋n)＋＝＋＝＋1－【解析】【答案】Sn＝＋1－7、略

【分析】【解析】

试题分析：点在直线右下方时点在直线左上方时根据框图的循环结构依次为跳出循环结束。

打印的点为将以上各点代入只有满足；故符合条件的点只有1个。

考点：1算法程序框图；2二元一次不等式表示平面区域。【解析】【答案】18、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）先利用导数的运算性质，求函数f（x）的导函数f′（x），再将f′（0）=代入导函数解析式，即可解得ω的值；（2）先利用定积分的几何意义，求曲线段与x轴所围成的区域面积，再求三角形ABC的面积，最后利用几何概型概率计算公式求面积之比即可得所求概率。解：（1）∵函数f（x）="sin"（ωx+φ）的导函数y=f′（x）=ωcos（ωx+φ），其中过点P（0，），∴ωcos=∴ω=3；故答案为3；

（2）∵f′（x）=ωcos（ωx+φ），∴曲线段与x轴所围成的区域面积为三角形ABC的面积为∴在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的概率为故答案为3____

考点：f（x）=Asin（ωx+φ）型函数的图象。

点评：本题主要考查了f（x）=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，导数运算及导函数与原函数的关系，定积分的几何意义，几何概型概率的计算方法，属基础题【解析】【答案】3____9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】8410、【分析】【解答】解：（﹣2x）dx=（）dx﹣2xdx．

令则（x﹣1）2+y2=1（y≥0）；

表示的是以（1；0）为圆心，以1为半径的圆．

∴（）等于四分之一圆的面积，为．

又2xdx=．

∴（﹣2x）dx=．

故答案为：．

【分析】由差的积分等于积分的差得到（﹣2x）dx=（）dx﹣2xdx，然后由微积分基本定理求出（）dx，求出定积分2xdx，则答案可求．三、作图题(共5题，共10分)11、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．12、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．13、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

14、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．15、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共28分)16、略

【分析】

设点C（x；y），则|CA|-|CB|=±2．

根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线．

由2a=2，得a2=1，b2=2．

故点C的轨迹方程是．

由得x2+4x-6=0．

∵△＞0；∴直线与双曲线有两个交点．

设D（x1，y1）、E（x2，y2），则x1+x2=-4，x1•x2=-6．

故．

【解析】【答案】根据题意，动点C与A、B两点的距离之差的绝对值为2，则点C的轨迹为双曲线，结合双曲线的定义，可得点C的轨迹方程，联立直线与双曲线的方程，化简可得x2+4x-6=0，设D（x1，y1）、E（x2，y2），由根与系数的关系可得x1+x2=-4，x1•x2=-6；结合弦长公式计算可得答案．

17、略

【分析】【解析】

试题分析：（1）设点而根据为中点，可得将其代入椭圆方程整理可得点的轨迹方程。（2）为了省去对直线斜率的讨论，可设直线方程为分别与两曲线方程联立消去得关于的一元二次方程，有求根公式可得方程的根，即各点的纵坐标。由已知可得即从而可得的值。

试题解析：（1）设点而故点的坐标为代入椭圆方程得：即线段PF的中点M的轨迹C2的方程为：

（2）设直线l的方程为：解方程组当时，则解方程组

由题设可得有所以=即（），由此解得：故符合题设条件的其中一条直线的斜率‚当时，同理可求得另一条直线方程的斜率故所求直线l的方程是

考点：1代入法求轨迹问题；2直线和圆锥曲线的位置关系问题；3直线方程。【解析】【答案】（1）（2）18、略

【分析】

(

Ⅰ)

确定抛物线上横坐标为12

的点的坐标为(12,隆脌p)

利用抛物线上横坐标为12

的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等；求出p

即可求抛物线的方程；

(

Ⅱ)

设直线lx=my+6

代入y2=4x

得，y2鈭�4my鈭�24=0

利用以AB

为直径的圆过点F

可得FA隆脥FB

即FA鈫�鈰�FB鈫�=0

可得：(x1鈭�1)(x2鈭�1)+y1y2=0

即可求直线l

的方程．

本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【解析】解：(

Ⅰ)

抛物线上横坐标为12

的点的坐标为(12,隆脌p)

到抛物线顶点的距离的平方为14+p

隆脽

抛物线上横坐标为12

的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等；

隆脿14+p=(12+p2)2

隆脿p=2

抛物线的方程为：y2=4x.(6

分)

(

Ⅱ)

由题意可知；直线l

不垂直于y

轴。

可设直线lx=my+6

代入y2=4x

得，y2鈭�4my鈭�24=0

设A(x1,y1)B(x2,y2)

则y1+y2=4my1y2=鈭�24

隆脽

以AB

为直径的圆过点F隆脿FA隆脥FB

即FA鈫�鈰�FB鈫�=0

可得：(x1鈭�1)(x2鈭�1)+y1y2=0

隆脿(1+m2)y1y2+5m(y1+y2)+25=0

隆脿鈭�24(1+m2)+20m2+25=0

解得：m=隆脌12

隆脿

直线lx=隆脌12y+6

即l2x隆脌y鈭�12=0.(15

分)

19、略

【分析】

(

Ⅰ)

根据题意知娄脦

的可能取值；计算对应的概率值，写出娄脦

的分布列，计算数学期望值；

(

Ⅱ)

根据这次抽查数据；填写列联表，计算K2

即可得出结论．

本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是中档题．【解析】解：(

Ⅰ)

根据题意；娄脦

的可能取值为45678

又P(娄脦=4)=C122C202=3395P(娄脦=5)=C41鈰�C121C202=2495

P(娄脦=6)=C32+C41鈰�C121C202=2795P(娄脦=7)=C41鈰�C41C202=895

P(娄脦=8)=C42C202=395

所以娄脦

的分布列为；。娄脦45678P339524952795895395娄脦

的数学期望为E娄脦=4隆脕3395+5隆脕2495+6隆脕2795+7隆脕895+8隆脕395=265

(

Ⅱ)

根据这次抽查数据；列出2隆脕2

列联表如下：

。数学优秀数学不优秀合计物理优秀426物理不优秀21214合计61420计算K2=n(ad鈭�bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=20隆脕(4隆脕12鈭�2隆脕2)26脳14脳6脳14隆脰5.488>5.024

所以在犯错误的概率不超过0.025

的前提下认为物理成绩与数学成绩有关．五、综合题(共3题，共18分)20、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）21、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=