第8章 波动学基础

第八章波动学基础◆本章学习目标1．了解波的基本概念；2．掌握最基本的波动——平面间谐波的波动方程及运动规律；3．掌握波的能量特点；4．掌握波具有的基本现象——反射、折射、干涉和驻波；5．了解多普勒效应；6．了解声波、超声波和次声波。◆本章教学内容1．机械波的产生及间谐波；2．波速、波长、周期和频率；3．波动方程；4．波的能量和能流；5．惠更斯原理波的反射和折射；6．波的叠加原理波的干涉；7．驻波；8．多普勒效应；9．声波、超声波、次声波◆本章教学重点1．间谐波方程及运动规律；2．波的叠加及驻波。◆本章教学难点1．波方程的建立及其意义；2．驻波的运动特点；3．多普勒效应。

§8.1机械波的产生和传播简谐波振动和波动是密切关联又相互区别的两种运动形式。任何波动都是有振动引起的，激发波动的振动系统称为波源。波动分为两大类：一类是机械振动在媒质中的传播，称机械波。另一类是变化的电场和变化的磁场在空间的传播，称为电磁波。一、机械波的产生机械振动在弹性媒质中的传播过程称为机械波。就每一质点来说，只是做振动，就全部媒质来说，振动传播形成机械波。产生机械波的条件是：具有波源和弹性媒质。二、横波和纵波在波动中，如果质点的振动方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。如果质点振动方向和波的传播方向相互平行，这种波称为纵波。各种复杂的波都可分解为横波和纵波。在波动中真正传播的是振动、波形和能量；波形传播是现象，振动传播是实质，能量传播是波动的量度。如果产生波动的波源作简谐振动，在振动传播过程中，从波源所在位置开始，媒质中各质点相继开始做简谐振动，如果媒质是各向同性均匀且完全弹性的（即媒质不消耗能量），则媒质中各质点的振动频率和波源相同，且各质点具有相同的振幅。这种波称为简谐波。三、波振面和波射线把波振面为球面的波动称为球面波，点波源在均匀媒质中产生的波就是球面波。把波振面为平面的波称为平面波。波的传播方向称为波射线。显然，在波振面上每一点，波射线总是和波阵面正交。图8-1所示，画出了这两种典型波的波阵面和波射线。图8-1波阵面和波射线图8-1波阵面和波射线

§8.2波速波长波的周期和频率一、波的传播速度波速就是一定振动状态（或相位）传播的速度，即单位时间内一定振动位相在传播方向上所传播的距离，也称相速。波的传播速度决定于媒质的特性。对于弹性介质波来说，波的传播速度决定于媒质的惯性和弹性，具体的说，就是决定于媒质的密度和弹性模量。在均匀媒质中，波速是一个恒量。液体和气体只有容变弹性，在液体和气体内部只能传播与容变有关的弹性纵波。在液体和气体中纵波的传播速度为（8-1）式中为媒质的容变弹性模量，为媒质的密度。需要指出的是，在液体表面可以出现一种由重力和表面张力所引起的波面波，这是一种由纵波和横波叠加的波，传播速度决定于重力加速度和表面张力系数。固体能产生切变、容变和长变等各种弹性形变，所以固体中既能传播横波又能传播纵波。在固体中，恒波和纵波的传播速度分别为横波的波速（8-2）纵波的波速（8-3）式中G和Y分别为媒质中的切变弹性模量和样式弹性模量为媒质的密度。（8-3）式是近似的，仅当纵波在细长棒中沿棒的长度方向传播才是准确的。在一根张紧的柔软绳索或弦线中，横波的传播速度为（8-4）式中T为绳索或弦线中的张力，是其单位长度的质量。二、波长、波的周期和频率波长：波动传播时，同一波线上两个相邻的位相差为的质点之间的距离，即一个完整波的长度。用表示。波峰：由于波动某一任意确定时刻在媒质中具有最大位移的质点位置。波谷：由于波动某一任意确定时刻在媒质中具有最小位移的质点位置。在横波中，波长等于两相邻波峰或波谷之间的距离，在纵波中，波长等于两相邻密集部分或稀疏部分的中心之间的距离。波的周期：波传过一个波长的时间，或一个完整波通过波线上某点所需要的时间。用T表示。（8-5）波的频率：在单位时间内波动推进的距离中所包含的完整波长的数目，或单位时间内通过波线上某点的完整波的数目。(8-5a）

§8.3波动方程波动方程就是描述在波动中，波射线上每一质点的位移随时间变化的规律。在此讨论平面简谐波的波动方程。如图所示，设有一平面简谐波，在完全弹性无限大均匀各向同性媒质中沿射线r以波速c传播。以r为坐标轴，在轴上任取一点O，其上的质点在其平衡位置做简谐振动，振幅随时间周期性变化，取振幅为某一最大值为计时时刻t=0，则O处质点的振动方程为式中A为振幅，为角频率，x为O点处质点离开平衡位置在t时刻的位移。离O点的距离为r的波射线上另一任意点B的振动方成为图8-2波动方程推导示意图(8-6)图8-2波动方程推导示意图因为B为任意一点，上式表示了波射线上任一点处的质点在任一时刻的位移，上式就是平面间谐波的波动方程。上式也可表示为(8-7)（1）如果给定r，那么位移x将只是t的函数，这时波动方程表示距原点r处的质点作间谐振动的情况。如果r取一系列确定值，上式表明不同位置处的质点都在做间谐振动。（2）如果t给定，上式表明在同一时刻观察波射线上所有质点离开其平衡位置的位移。如果波沿r轴负向传播，上述B点的振动要比O点先开始一段时间，B点的振动方程为（8-8）

§8.4波的能量和能流一、能量及能量密度波动的本质特征是能量以波速传播。下面以平面余弦弹性纵波在棒中传播为例说明波动能量的传播。在棒中任取一体积元，其质量为。当波动传播这个体积有时，它将具有动能和弹性势能。如果棒中平面余弦波的波动方程为可以证明而体积元总机械能为可看出，在波动传播过程中，体积元的动能和势能是相同的，动能和势能同时达到最大和最小。体积元的总机械能随着时间在零和最大值之间作周期性变化。对于任一给定时刻，所有体积元的总能量又随波射线的位置r周期性分布。这说明任一体积元都在不断地接受和放出能量，这就是波动能量传播的机制。媒质中单位体积的能量，称为波的能量密度能量密度在一个周期内的平均值为这一公式对所有机械波都适用。二、能流及能流密度为了描述波动中能量传递的快慢，引入能流及能流密度的概念。cScS8-3体积cS内的能量在一秒内通过S面如图，波射线和面S垂直，则平均能流为 单位时间内通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能流，称为能流密度或波的强度。用I表示三、声强和声强级声波的能流密度，称为声强。最低声强作为量度声强的标准，以表示。由于声强的变化范围过大，直接使用它的数值不方便，引入声强级L作为声强的另一种量度。式中为比例常数，取，则声强级的单位违贝尔或贝；若取，则相应的声强级的单位称为分贝（）四、波的吸收平面波在均匀媒质中传播时，总有一部分能量被吸收，波的强度和振幅都将逐渐减小，这种现象称波的吸收。设通过极薄的厚度为的一层媒质后，振幅的减弱正比于此处的，也正比于，即积分便得式中和分别表示处的振幅，为媒质的吸收系数。由于波强与振幅的平方成正比，所以平面波强度衰减规律是式中的和分别表示处的波的强度。

§8.5惠更斯原理波的反射和折射一、惠更斯原理惠更斯原理：媒质中波动传到的各点，都可以看作是发射子波的波源；在其后的任一时刻，这些子波的波迹就决定新的波振面。当波动在均匀的各向同性的媒质中传播时，用上述作图法所求的波阵面形状总是不变的。当波在不均匀的或是各相异向的媒质中传播时，在考虑波速可能发生变化的前提下，同样可用上述作图法求出波阵面，显然，这时波阵面的几何形状和波的传播方向都可能发生变化。二、波的反射和折射图8-4波的折射当波从一种媒质进入另一种媒质时，部分波将被两媒质交界面反射，这部分波称为反射波；而另一部分波则透过交界面进入另一媒质并改变了传播方向，这部分波称为折射波。图8-4波的折射机械波和光波都满足反射和折射定律：反射线和折射线都在由入射线与界面法线所组成的同一平面内。反射角等于入射角。入射角的正弦与折射角的正弦之比等于两种媒质中的波速之比。现在，利用惠更斯原理证明最后一条定律。如右图所示，波以入射角从媒质Ⅰ传播到界面，OA为此时的波前。其后，部分波进入媒质Ⅱ而速度变为，另一部分波继续在媒质Ⅰ中以速度传播。设波从A点传播至界面Q所经历的时间为，则。同一时间，O点的波在媒质Ⅱ中传播至B点，。在界面上各点作出相应的次级子波，并画出其包迹BQ,即折射波前，则垂直它的波射线为折射线，折射角为由得由以上两式相除，即得折射定律又因于是，光的折射定律可以写成

§8.6波的叠加原理波的干涉一、波的叠加原理一个波的振幅、频率、波长、振动方向和传播方向等，不因存在别的波而改变；或者说，在媒质中的每一个波都保持其独立的传播特性，不因其它波的存在而改变，这叫做波的独立传播原理。因此，当几个波在媒质中的某点相遇时，该点的振动位移必然是各个波单独存在时在该点引起的位移的矢量和，这叫做波的叠加原理。二、波的干涉两个频率相通、振动方向相同、位相相同或位相差恒定的波源所发出的波的在空间任何一点相遇时，在空间某些点处，振动始终加强，而在另一些点处，振动始终减弱或完全抵消，这种现象称为波的干涉。相应的波源称为相干波源。设有两个相干波源和，振动方程分别为设空间任一点P和两波源的距离分别为和，并设两列波到达P点时的振幅分别为，波长为，那么再P点的两个分振动为因而在P点的合振动为式中当合振幅最大，这时当合振幅最小，如果，即对于同相位相干波源，上述条件可简化为上式说明，当两个相干波源为同相位时，在两列波的叠加区域内，波程差等于零或波长的整数倍的各点，振幅最大；波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小。

§8.7驻波一、驻波同频率、同振幅、同振动方向的两列间谐波，在相反方向按同一速度传播时，叠加而生成的波，称为驻波。设有两列同频率、同振幅、同振动方向的间谐波和，他们的表达式为其中，沿y轴向右传播，沿y轴向左传播，上两式表示任一时刻t两列波分别引起任一点（坐标为y）的位移，按波的叠加原理，合成波为此为驻波的表达式。因y和t出现在两个因子中，所以合成波即不向左传播也不向右传播，全部质点做同频率的间谐振动。振幅最大的点称为波腹，不动的点，称为波节。驻波振动的特殊规律性，表现在振幅和位相的分布上。二、振幅分布波腹和波节由上式可见，驻波振幅分布由因子决定，因而y轴上任一点有恒定的合振幅，其值随y的增加在空间作周期性变化，因振幅恒为正，故任一点的合振幅为若，则。表明坐标为的点称为波腹。显然相邻波腹相距为半波长。图8-5驻波的位相图8-5驻波的位相表明坐标为的点，振幅为零，这些点就是波节。显然相邻波节相距也为半波长。三、驻波的位相分布为清楚驻波的位相分布，取k=-1,0,1的三个波节讨论。如图，此三点的y值和的值，可由上面对y点的合振幅讨论得1．对于在之间的点，在第一、第四象限，为正，由式知，y坐标在到之间的各点，振幅依次有0增加到2A，再由2A减小到0；在间的点振幅不同，但随时间变化的因子是一样的。所以各点同一时刻的振动位相都相同，即位移同时达到最大，同时过平衡位置向同侧运动。2．对于在之间的各点，在第二、第四象限，为负则故坐标在到之间的点，其初相位都等于，即同时刻振动位相也相同。由此可见在两侧，初相位各为0和，即位相相反。两相邻波节间各点振动位相相同，一波节两侧的点的振动位相相反，这侧的振幅达最大，那侧的振幅达最小；这侧的质点离开平衡位置向上运动，那侧的质点同时离开平衡位置向下运动。

§8.8多普勒效应若波源或观察者或它们两者均对媒质运动，则感觉到的频率和真实频率一般并不相同，这个现象称为多普勒效应。符号规定：以u表示波源对媒质的速度，表示观察者对媒质的速度，V表示波的传播速度若波源趋近观察者，u为正，反之为负；若观察者趋近波源，作为整，反之为负，V恒为正。一、波源和观察者都对媒质静止单位时间内波源振动次，发出的波分布在长度V上，共有个波长，观察者感觉到的频率，是单位时间通过观察者所在处的波数，故表明在此情况下，感觉到的频率与波源的频率相同。二、波源对媒质静止，观察者以速度对媒质运动若为正，则波对观察者的相对速度为,波长仍为，所以为正，表示观察者向波源运动时，感觉到的频率增加为波源频率的倍。若为负，表示观察者离开波源运动，可分两种情况：若，观察者随波一起运动，应无感觉；若，为负，表示若观察者的前面已有波列存在，则观察者将追过前面的波，他将感到波仿佛迎面而来，即波源好像在相反方向。三、观察者和波源对媒质运动图8-6多普勒效应设u为正，。如图所示：设波源在B点时，开始发出一列搏，一周期后，“波头”到达C点，若波源不动，波源不动，波形如虚线所事；事实上，一周