第09讲-利用导数研究双变量问题(学生版)

第09讲利用导数研究双变量问题（核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分【备考策略】1能进行函数转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式；2巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；3回归双变量的不等式的证明，把所求的最值应用到双变量不等式，即可证得结果.【命题预测】题型分析双变量问题运算量大，综合性强，解决起来需要很强的技巧性，解题总的思想方法是化双变量为单变量，然后利用函数的单调性、最值等解决．知识讲解对数均值不等式两个正数和的对数平均定义：对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：（此式记为对数平均不等式），取等条件：当且仅当时，等号成立证明如下：可设．（1）先证：……①不等式①（其中）构造函数，则．因为时，，所以函数在上单调递减，故，从而不等式①成立.（2）再证：……②不等式②（）构造函数，则．因为时，，所以函数在上单调递增，故，从而不等式②成立；综合（1）（2）知，对，都有对数平均不等式成立，当且仅当时，等号成立．注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：在双变元情形下的应用.构造偏差函数及应用1.极值点偏移现象（1）.已知函数的图象的极值点为，若的两根的中点刚好满足即极值点在两根的正中间，此时极值点没有偏移，函数在两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)．（2）．若，则极值点偏移，此时函数在两侧的函数值变化快慢不同，如图(2)(3)．2.极值点偏移题目特征：①.函数的极值点为；②.函数，然后证明：或.3.构造偏差证明极值点偏移的基本方法：①.构造一元差函数或是；②.对差函数求导，判断单调性；③.结合或，判断的符号，从而确定与的大小关系；④.由的大小关系，得到，（横线上为不等号）；⑤.结合单调性得到，进而得到.考点一、利用导数解决函数中的双变量问题1．（四川·高考真题）已知函数，的导函数是．对任意两个不相等的正数、，证明：(1)当时，；(2)当时，．2．（2022·浙江·统考高考真题）设函数．(1)求的单调区间；(2)已知，曲线上不同的三点处的切线都经过点．证明：（ⅰ）若，则；（ⅱ）若，则．（注：是自然对数的底数）1．（2023·山东淄博·统考二模）已知函数，.(1)求函数的单调区间；(2)若，是函数的两个极值点，且，求证：.2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若，当时，证明：．3．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数在上单调递增.(1)求的取值范围；(2)若存在正数满足（为的导函数），求证：.4．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）设函数.(1)求的极值；(2)已知，有最小值，求的取值范围.5．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数，其中．(1)当时，求函数在处的切线方程；(2)讨论函数的单调性；(3)若存在两个极值点的取值范围为，求的取值范围．6．（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）已知函数.(1)设函数，若恒成立，求的最小值；(2)若方程有两个不相等的实根、，求证：.7．（2023·湖北咸宁·校考模拟预测）已知函数，其中.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数存在三个零点、、（其中），证明：（i）若，函数，使得；（ii）若，则.【基础过关】1．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数存在两个极值点.(1)求的取值范围；(2)求的最小值.2．（2023·青海西宁·统考一模）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)任取两个正数，当时，求证：.3．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．4．（2023·河南郑州·三模）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．5．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知函数．(1)若在点处的切线与直线垂直，求该切线方程；(2)若的极值点为，设，且证明：．【能力提升】1．（2023·广西·校联考模拟预测）已知函数．(1)若，求在处的切线方程；(2)若有两个不同零点，证明：．2．（2023·全国·模拟预测）已知函数，的导函数为.(1)若在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若，求证：方程在上有两个不同的实数根，且.3．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)若，当时，证明：．4．（2023·上海松江·校考模拟预测）已知函数.(1)若，求函数的极值点；(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围；(3)若函数有三个不同的极值点、、，且，求实数a的取值范围.5．（2023·陕西安康·统考一模）设向量.(1)讨论函数的单调性；(2)设函数，若存在两个极值点，证明：.6．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数．(1)若，求方程的解；(2)若有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为，求的取值范围并证明．7．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数(1)若，求不等式的解集；(2)若存在两个不同的零点，，证明：.8．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）已知.(1)若存在实数，使得不等式对任意恒成立，求的值；(2)若，设，证明：①存在，使得成立；②.9．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数.(1)若函数为增函数，求的取值范围；(2)已知.（i）证明：；（ii）若，证明：.10．（2023·山东潍坊·校考一模）已知函数.(1)讨论极值点的个数；(2)若有两个极值点，且，证明:.【真题感知】1．（重庆·高考