广东省广州市2025届高三上学期市调研适应性测试 数学试卷（附解析）

广东省广州市2025届高三上学期市调研适应性测试数学试卷一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．若，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（）A．2 B．0 C． D．4．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为，则该圆锥的内切球体积为（）A． B． C． D．5．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为A．30 B．36 C．60 D．726．函数（，，）的部分图象如图所示，图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象.若对任意的都有，则图中的值为（）A． B． C． D．7．已知点、是椭圆的左、右焦点，点M为椭圆B上一点，点关于的角平分线的对称点N也在椭圆B上，若，则椭圆B的离心率为（）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为，且对任意，满足，且，则（

）A．651 B．676 C．1226 D．1275二、多选题（本大题共3小题）9．已知直线和圆相交于M，N两点，则下列说法正确的是（

）A．直线过定点B．的最小值为3C．的最小值为D．圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则10．设函数，则（）A．当时，的极大值大于0B．当时，无极值点C．，使在上是减函数D．，曲线的对称中心的横坐标为定值11．如图，已知四面体的各条棱长均等于2，E，F分别是棱AD，的中点.G为平面上的一动点，则下列说法中正确的有（

）A．三棱锥体积为B．线段的最小值为C．当G落在直线BD上时，异面直线与所成角的余弦值最大为D．垂直于的一个面，截该四面体截得的截面面积最大为1三、填空题（本大题共3小题）12．已知等差数列（）中，，成等比数列，，则.13．已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则.14．已知集合，若集合，且M中的所有元素之和为奇数，称M为A的奇子集，则A的所有“奇子集元素之和”的总和为.四、解答题（本大题共5小题）15．的内角的对边分别为，，，已知．(1)若，，求的面积；(2)若角为钝角，求的取值范围．16．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，分别为，的中点，平面，且.(1)证明：平面；(2)若与平面所成的角是，求二面角的余弦值.17．已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3．(1)求双曲线的标准方程；(2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，君，求点到直线的距离的最大值．18．已知函数，.(1)当时，求的最小值；(2)若与在原点处的切线重合，且函数有且仅有三个极值点，求实数的取值范围.19．若有穷数列（且）满足，则称为M数列.(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由：①1，2，4，3.②4，2，8，1.(2)已知M数列中各项互不相同.令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；(3)已知数列是（且）个连续正整数的一个排列.若，求的所有取值.

答案1．【正确答案】B【详解】解：由，可得，所以；由，可得，解得，所以；所以.故选：B.2．【正确答案】C【详解】由，可得，故在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.3．【正确答案】C【详解】因为向量在向量上的投影向量是，所以，化简得，因为，所以，解得.故选：C,4．【正确答案】D【详解】设圆锥的底面半径为,因为圆锥的轴截面为等边三角形,所以圆锥的母线长为依题意：,解得.设圆锥的内切球半径为,又圆锥的轴截面为等边三角形，所以，则内切球的体积.故选：D.5．【正确答案】C【详解】记事件位男生连着出场，即将位男生捆绑，与其他位女生形成个元素，所以，事件的排法种数为，记事件女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件的排法种数为，事件女生甲排在第一位，且位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将位男生与其他个女生形成三个元素，所以，事件的排法种数为种，因此，出场顺序的排法种数种，故选C．6．【正确答案】A【详解】解：由，得.的图象上的所有点向左平移个单位长度后得的图象，由题意知为奇函数，所以其图象关于原点对称，得函数的图象过点.设的最小正周期为，则，所以，故.又，，且，可得，所以，.故选：A.7．【正确答案】B【详解】由题意可知，，且，，所以，

因为，所以，所以即，又，所以，所以由余弦定理得，整理得，所以即.故选：B.8．【正确答案】A【分析】由条件可以推出，结合，即可求解.【详解】由，所以，即，所以.故选A.9．【正确答案】AC【详解】对于A，直线，即，由解得，所以定点坐标为，A正确，对于B，圆的圆心为，半径为，点与圆心的距离为，所以的最小值为，此时直线垂直于轴，故此时无最小值，故B错误，对于C，设，则，当，即直线方程为时，取得最小值为，所以C正确，对于D，若圆上到直线的距离为的点恰好有三个，则圆心到直线的距离为，所以，整理得，所以D错误.故选：AC10．【正确答案】BD【详解】对于A，当时，，求导得，令得或，由f'x>0，得或，由f'x<0，得，于是在，1,+∞上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，极大值为，故A错误；对于B，，当时，，即f'x≥0恒成立，函数在上单调递增，无极值点，故B正确；对于C，要使在上是减函数，则恒成立，而不等式的解集不可能为，故C错误；对于D，由，得曲线y=fx的对称中心的坐标为，故D正确.故选：BD.11．【正确答案】BCD【详解】对于A，如图，作平面，垂足为，因为四面体为正四面体，则为三角形的中心，则，所以，即正四面体的高为，点到平面的距离为点平面的距离的一半，即，所以，故A错误；对于B，如图，作点关于平面的对称点，连接交平面于点，过点作平面的垂线交平面于点，作，因为平面，所以点，则，，，所以，故B正确；对于C，当落在直线上时，由最小角定理可知，与所成的最小角即与平面所成角，即，所以，所以，即异面直线与所成角余弦最大为，故C正确；对于D，如图，连接，因为是的中点，所以，同理，设平面交正四面体的棱于点，棱于点，棱于点，棱于点，所以，，，，所以，，又，，是平面内的相交直线，则平面，所以，则，即四边形为矩形，即平面截正四面体的截面为矩形.设，即，，即，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以平面截该四面体截得的截面面积最大为1，故D正确.故选：BCD.12．【正确答案】25或13；【详解】设公差为，因为，，成等比数列，所以，即，所以或，若，则，，则，，，，故13或25.13．【正确答案】【分析】首先确定，分别求出各自的概率，然后期望公式可求【详解】记检测次数为，则当时，检测的两件产品均为正品或为次品，则，当时，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，都能确定所有次品，则，所以.故答案为.14．【正确答案】【详解】设为的奇子集，则若，令，若，令为把中的去掉后剩下的元素形成的集合，则中的所有元素之和为偶数，可称为偶子集，显然每个奇子集，均恰有一个偶子集与之对应，每个偶子集，均恰有一个奇子集与之对应，故的奇子集与偶子集个数相等；对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知，在时，这个子集中有一半为奇子集，在时，由于，将上边的3换成5，同样可得其中有一半为奇子集，于是在计算奇子集元素之和时，含元素的和是，奇子集容量之和是.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由余弦定理可得，由正弦定理得，又因为，则有，因，，则，且，故．由余弦定理，，代入得，，因，则有，即得，故的面积．（2）由正弦定理，可得，且，代入化简得：．因为钝角，故由，可得，则，，即，故的取值范围是16．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）设的中点为，连接，由为中点，得且，又且，则，，四边形为平行四边形，则，又平面平面，所以平面.（2）取的中点，连接，取的中点，连接，，则且，由平面，得平面，则与平面所成的角为，即，，菱形中，，则，即，直线两两垂直，以点原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，由平面得平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，令，得，设二面角的平面角为，由图知为锐角，因此，所以二面角的余弦值为.17．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）直线的斜率之积为3，构造方程求出，再将点代入方程即可；（2）设直曲联立，借助韦达定理，由，所以，结合韦达定理，求出，再用点到直线距离计算即可.【详解】（1）由题意可得，则直线的斜率，直线的斜率．因为直线的斜率之积为3，所以，解得．因为点在双曲线上，所以，解得．故双曲线的标准方程为．（2）设直线联立整理得则所以．因为，所以，所以即化简得，故．由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离．因为，所以，所以，即点到直线的距离的最大值是．18．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，，令得：，当时，f'x<0，时，f所以在单调递减，单调递增所以时，.（2），，由得：，所以，问题即：有且仅有三个变号零点当时，，故Fx在单调递减，又，所以故此时Fx在有且仅有一个变号零点0，不合题意；当时，所以在有唯一零点.Fx在递增，递减，故此时Fx在至多有两个变号零点，不合题意；当时，，，，所以在有两个零点：，且时，，时，，时，，所以Fx在递减，递增，递减，又，故，，又时，，因为的增长速度大于的增长速度，故，，于是，又，，所以，令，则，因为的增长速度大于的增长速度，故，，于是，所以Fx在，各有一个零点，，故此时Fx有三个零点：，0，，合题意：所以.19．【正确答案】(1)①数列不是M数列；②数列是M数列；理由见解析(2)证明见解析(3)的所有取值为4或5【详解】（1）①因为，所以该数列不是M数列；②因为，所以该数列是M数列．（2）必要性：若数列是等差数列，设公差为，则．所以数列是常数列．充分性：若数列是常数列，则，即．所以或．因为数列的各项互不相同，所以．所以数列是等差数列．（3）当时，因为，所以