2024-2025学年内蒙古自治区赤峰市高二上学期第三次阶段性测试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年内蒙古自治区赤峰市高二上学期第三次阶段性测试数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．2．如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（

）

A． B．C． D．3．“”是“直线与直线垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．平面的一个法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（

）A． B． C．1 D．5．已知椭圆E：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．6．圆上有且仅有两点到直线的距离为，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．7．已知、分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于，两点，且，以为圆心，为半径的圆经过点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．8．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段（不含端点）上运动，则下列结论正确的是（

）①的外接球表面积为；②异面直线与所成角的取值范围是；③直线平面；④三棱锥的体积随着点的运动而变化.A．①② B．①③ C．②③ D．③④二、多选题（本大题共3小题）9．设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（

）.A． B．C．以为直径的圆与相离 D．为等腰三角形10．以下四个命题为真命题的是（

）A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为B．直线的倾斜角的范围是C．直线与直线之间的距离是D．方程表示双曲线，则的取值范围是或11．已知椭圆，，分别为它的左右焦点，点，分别为它的左右顶点，已知定点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．直线与直线斜率乘积为定值B．存在点，使得C．有最小值D．的范围为三、填空题（本大题共3小题）12．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是说“百日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使路线最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在的直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为.13．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，，点为两曲线的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，那么的最小值为.14．在平面直角坐标系中，点，动点满足，则面积的最大值为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆，直线.(1)求证：直线恒过定点；(2)直线被圆截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时的值以及最短弦长.16．已知椭圆E：，若椭圆焦距为4，点在椭圆上，焦点，且面积最大值为4，过点的直线交椭圆于，两点.(1)求椭圆标准方程.(2)若直线与轴不垂直，在轴上是否存在点，使得恒成立？若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由.17．已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点.18．平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.(1)求证.(2)求与平面所成角的正弦值.(3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.19．在平面直角坐标系中，有点Px1,y1、Qx2,y2．若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点

(1)若点、、在平面直角坐标系中的坐标分别为、、，求证：，；(2)若点、在平面直角坐标系中的坐标分别为、Px,y，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么，并求该轨迹与轴围成的图形的面积；(3)若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线、分别交椭圆于、两点，且其斜率满足，求的最大值．

答案1．【正确答案】C【详解】由，即，所以焦点坐标为.故选：C.2．【正确答案】B【分析】连接，根据空间向量的线性运算计算求解.【详解】连接，是的中点，，，.故选：B

3．【正确答案】A【详解】由得，，解得，所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件.故选：A.4．【正确答案】A【详解】由题意得，，∴点到平面的距离.故选：A.5．【正确答案】C【详解】设点、，则的中点为，则，可得.若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意；故直线的斜率存在，且，由于A、两点都在椭圆上，则，两式相减得，即，因为在直线AB上，故，故，即，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.故选：C.6．【正确答案】D【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，且圆心到直线的距离，若圆上有且仅有两点到直线的距离为，则，即，解得或，所以实数的取值范围是.故选：D．7．【正确答案】D【详解】如图所示，连结，易知以为圆心，为半径的圆经过点，则为圆的直径，所以，不妨设，则，由双曲线的定义可得，，所以，即，整理得，①在中，，在中，，因为，可得，②联立①②可得，，则双曲线的离心率故选：D8．【正确答案】C【分析】根据正方体棱长可知其外接球半径为,其表面积为，可判断①错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦值可求得②正确，求出平面的法向量为，可知，即③正确，易知点到平面的距离是定值，利用等体积法可知三棱锥的体积为定值，即④错误.【详解】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为,则满足，可得，此时外接球的表面积为，可知①错误；对于②，以为坐标原点，以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则，所以，设，其中；可得，异面直线与所成角的余弦值为，易知时，，可得，所以异面直线与所成角的取值范围是，即②正确；对于③，由②可知，，则；设平面的法向量为，又，则，取，则；所以平面的法向量为，此时，可得，又平面，所以直线平面，即③正确；对于④，根据正方体性质平面，所以，易知直线到平面的距离是定值，底面的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，因此三棱锥的体积不会随点的运动而变化，即④错误；综上所述，正确的结论为②③.故选：C方法点睛：求解异面直线所成角的方法：（1）平移法：将两异面直线通过平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值；（2）向量法：建立空间直角坐标系利用空间向量所成的角与异面直线所成的角的关系，求得两向量夹角的余弦值.9．【正确答案】BC【详解】对于选项A：由直线，可得当时，，所以抛物线的焦点为，所以，解得，所以抛物线，所以准线为,故选项A错误；对于选项B：由,可得，解得或,所以，故选项B正确；对于选项C：由上述分析可知，所以的中点，其到准线的距离为,所以以为直径的圆与相切，与相离，故选项C正确；对于选项D：,,而，所以不是等腰三角形.故选项D错误.故选：BC.

10．【正确答案】BD【详解】对于A，当直线过原点时，方程为，当直线不过原点时，设方程为，则，解得，所以直线方程为，综上，所求直线方程为或，故A错误；对于B，直线的斜率，所以倾斜角的范围是，故B正确；对于C，直线，即为，故直线与直线之间的距离为，故C错误；对于D，由方程表示双曲线，则，解得或，故D正确.故选：BD.11．【正确答案】ACD【详解】对于A，由椭圆，可得，则，设，则，可得，所以，故A正确；对于B，设椭圆的上顶点为C，由，可得，则，故B错误；对于C，由椭圆的定义，可得，则，当且仅当时，即时等号成立，即有最小值，故C正确；对于D，因为，则点Q在椭圆外，由如图所示，设直线与椭圆相交于，又，则，因为，且，可得，即，所以，所以，故D正确.故选：ACD.12．【正确答案】【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得：，即，“将军饮马”的最短总路程为.故答案为.13．【正确答案】【详解】设两曲线的半焦距为，由余弦定理得：，在椭圆中，，又，，，则，即，在双曲线中，，又，，，则，即，从而，得，0则，，即，则，即，所以，当且仅当，即时等号成立，即的最小值为.故答案为.14．【正确答案】/【详解】设，由得，化简，整理得，即动点的轨迹方程为：，的面积,当点到轴距离=时，为最大值.故答案为.15．【正确答案】(1)证明见解析(2)当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为【详解】（1）直线的方程可化为联立，解得故直线恒过定点（2）当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短则直线的斜率为由得直线的斜率为，解得此时的方程为，即圆心到直线的距离为∴最短弦长故当过圆心时弦长最长；当的方程为时最短；；最短弦长为16．【正确答案】(1)(2)存在【详解】（1）由题意，得，解得，所以椭圆E的标准方程为.（2）假设存在点满足条件，设直线的方程为，设Ax1,y联立，得，易知,则，，由，得，则，即，即，即整理得则整理得，解得，所以存在点，使得.17．【正确答案】（1）;（2）证明见解析【详解】（1）由题意得,,解得,因为点在抛物线上,则,解得,又,所以,即拋物线的标准方程为.（2）设,,因为,所以,即得,因为点、在抛物线上,所以,,代入得,因为,则,设直线的方程为,联立,得,则,所以,所以直线的方程为，过定点.18．【正确答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，.【详解】（1）取中点，连接，如图，又为的中点，，由，则，又为等腰直角三角形，，,，又，平面，平面，又平面，（2）由（1）知，，又平面平面，是交线，平面，所以平面，即两两互相垂直，故以为原点，为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，设，则，，，，设为平面的一个法向量，则，令，即，设与平面所成角为，，即与平面所成角的正弦值为.（3）若存在N使得平面平面，且，，则，解得，又，则，，设是平面CNM的一个法向量，则，令b=l，则，，解得，故存在N使得平面平面，此时.19．【正确答案】(1)证明见解析(2)点所在轨迹是半圆：与四分之三圆：的组合曲线；(3)【详解】（1）建立如图1所示的空间直角坐标系，

其中为坐标原点、轴、轴正方向与原平面中一致，轴正方向与折叠后的轴正方向一致．由题，空间中三点坐标分别为、、．因此（2）由题意，空间中点的坐标为，（i）当点在轴上半平面，即时，空间中点的坐标为，于是．化简得．因此在平面直角坐标系中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆；（ii）当点在轴下半平面．即时，空间中点的坐标为，于是，化简得．因此在平面直角坐标系中，点在轴下半平面的轨迹为以为圆心，以为半径的圆.所以，点所在轨迹是半圆：与四分之三圆：的组合曲线,（如图2）.其与轴围成的面积为．

（3）在平面直角坐标系中，设、两点坐标分别为、．设直线的方程为，即，因为，所以直线的方程为．由于与、两点在平面直角坐标系中的相对位置有关，而点的位置与两直线的斜率有关．因此首先需要对、两点可能的位置进行讨论，并求出相应的的范围．由于两直线具有对称性，此点位置与点位置等价，所以不妨设．因为时，、两点重合，与题目中交于两点不符，舍去．当直线与椭圆相切时，计算此时的斜率，联立，整理得：①，令，解得．因此若使、两点存在，需成立．