2024-2025学年新疆维吾尔自治区高三12月大联考（新课标卷）数学检测试题（附解析）

2024-2025学年新疆维吾尔自治区高三12月大联考（新课标卷）数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知函数满足，则实数的值为（）A． B． C． D．3．已知平面向量，满足，，，则（）A．1 B．2 C． D．4．苏州荻溪仓始建于明代，曾作为古代官方桹仓，圆筒桹仓简约美观、储存容量大，在粮食储存方面优势明显，如图（1）.某校模型制作小组设计圆筒粮仓模型时，将粮仓的屋顶近似看成一个圆锥，如图（2）.若该圆锥的侧面展开图为半圆，底面圆的直径为，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．5．已知函数，若为偶函数，且在区间上不单调，则（）A． B． C． D．6．物理学中的“波义耳定律”是指一定质量的气体，在温度不变的情况下，压强p与体积V成反比．若容器的容积为V，容器内某种气体的初始压强为，真空泵每次抽出该气体的体积为，n次抽气后，设容器内剩余该气体的压强为，则．若，设抽气时该气体温度不变，欲使容器内剩余该气体的压强低于初始压强的，则最少需要抽气的次数为（参考数据：）（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知，，，则（）A． B． C． D．8．已知定义在上的函数满足，且当时，，设，，则（）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知为虚数单位，复数，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．已知是边长为3的等边三角形，点P在内或边界上，则下列说法正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则点P的轨迹长度为 D．若，则11．如图所示的多面体中，为矩形，平面，且，，点为的重心，设，则下列说法正确的是（

）A．该多面体的体积为B．存在，使得平面C．若，则四点共面D．若点在该多面体外接球的球面上，则三、填空题（本大题共3小题）12．已知，则的最大值为．13．某密码锁的密码由三位不重复的数字组成，请根据下面三张图片提供的信息，判断这个密码锁的解码为．14．若关于x的方程有且仅有两个解，则实数a的值为．四、解答题（本大题共5小题）15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求；(2)若，，求．16．已知数列的前n项和为S，且，．数列满足．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的通项公式及．17．已知函数.(1)若，求证：；(2)若且在上恒成立，求的最大值.18．如图，在四棱台中，平面，底面为菱形，，点为的中点．(1)求证：平面；(2)若，，二面角的大小为45°，求该四棱台的体积．19．已知函数．(1)若为增函数，求实数m的取值范围．(2)若，正项数列满足，．①求证：当时，；②求证：对任意，．

答案1．【正确答案】D【详解】将代入中，可知成立，不成立，．故选：D．2．【正确答案】B【详解】，故，故选：B3．【正确答案】C【详解】由可得，故，又，故，故，故选：C4．【正确答案】A【详解】由题意，知该圆锥底面圆的半径为，设该圆锥的母线长为，高为.由，得，，所以该圆锥的体积.故选：A.5．【正确答案】A【详解】为偶函数，故，故，由于，故，则，令,解得，故的一个单调递增区间为，由于区间关于原点对称，要使在区间上不单调，故，故选：A6．【正确答案】C【详解】因为，，所以，所以，即得，要使，即得，即得.所以.故选：C.7．【正确答案】D【详解】由于，，故，由，可得由可得，则，故选：D8．【正确答案】B【详解】任取，，且，设，，由，得，即，所以，所以在上为减函数，记，则，记，所以，所以在上单调递增且，所以当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，所以，所以恒成立，所以，即.故选.9．【正确答案】BD【详解】对于A，，故，A错误，对于B，，故，B正确，对于C,，解得，故C错误，对于D，由，则，故，D正确，故选：BD10．【正确答案】ABD【详解】对于A,当时，为的中点，则,故，A正确，对于B，，则，由余弦定理可得，B正确，对于C,若，则点P的轨迹为以圆心，以为半径的圆（在内部及边界部分），故长度为，C错误，对于D，当，则位于边的高上，故,又，故，D正确，故选：ABD11．【正确答案】ACD【详解】将该多面体补成长方体，如图所示：对于A，故该多面体的体积为，A正确，对于B，由于为的重心，故，，显然不垂直，故，因此，故不垂直，因此不存在，使得平面，B错误，对于C，建立如图所示的空间之间坐标系，则，则，由于，故是的中点，故，故，故，因此共面，进而可得共面，C正确，对于D，，该多面体的外接球与长方体的外接球相同，故球的直径为长方体对角线，而，故，故位于，故，，D正确.故选：ACD.12．【正确答案】1【详解】由题意，，即，解得，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，即的最大值为1.故113．【正确答案】698【详解】假设第一个图片中的3号码正确，且位置正确，则第二图片中的3也满足号码正确，且位置正确，不合要求，假设第一个图片中的1号码正确，且位置正确，则从第三个图片可知，剩余的2个号码为8和3，且位置要互换，故密码锁的解码为318，但此时第一个图片将有2个号码正确，不合要求，假设第一个图片中的8正确，则从第三个图片可知，有1个号码为6，从第二个图片可知，第三个号码为7或9，若第三个号码为7，且密码锁的解码为678，此时第二个图片中7的位置正确，不合要求，若第三个号码为9，且密码锁的解码为698，满足所有图片要求.故69814．【正确答案】【详解】由题意可知当，即时，方程为不成立，故可得，则此方程可化为，令，，则，当时，，则，令，解得，故当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数，故.当时，，则在上恒成立，故函数为增函数，作出和函数的图象如下：故由图象可知当时，这两个函数的图象只有2个公共点.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1），由余弦定理得，故，将其代入中得，，故；（2），故，，因为，所以①，由余弦定理得，又，所以，，由余弦定理得，故②，联立①②得③，又，故，将其代入中得④，联立③④得，解得，解得，负值舍去16．【正确答案】(1)；(2)；.【详解】（1）因为，所以，当时，，所以，当时，，作差得，所以，所以，所以.（2）当时，因为，所以，，，所以累加法得出，所以，所以，当时，，所以，所以，所以.17．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）的定义域为，当时，，，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以.（2）令，则在上恒成立.求导，得，当时，在上恒成立，所以在上单调递增.又，不符合题意，舍去.当时，若，可得，所以在上单调递增，若，可得，所以在上单调递减，所以，只需即可.设，则，所以在上单调递增.又，所以当时，恒成立，所以.又，所以的最大值为.18．【正确答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由于，底面为菱形，且为四棱台，故四边形也为菱形，故且，由于点为的中点,故,故四边形为平行四边形，则，平面，平面，故平面，（2）因为平面，且平面，故,,则,,故,由于也为菱形，故,故为等边三角形，,,且也为等边三角形，由于点为的中点,故,因为平面，故平面，故,平面，故平面，过作于,连接,平面，平面,故,平面,故平面,平面,故,故为二面角的平面角，所以，,故,又，故,故，因此，,则,故四棱台的