2024-2025学年宁夏回族自治区高一上学期第二次月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年宁夏回族自治区高一上学期第二次月考数学检测试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x∈R|log2x＜2}，集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．（0，3） B．（﹣1，3） C．（0，4） D．（﹣∞，3）2．（5分）用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f（2）•f（4）＜0，取区间的中点x1＝＝3，计算得f（2）•f（x1）＜0，则此时零点x0满足（）A．x0＝x1 B．x0＞x1 C．2＜x0＜3 D．x0＜23．（5分）关于x的不等式x2﹣ax﹣b﹣1≤0的解集是[﹣2，5]，那么logab＝（）A．1 B．3 C．2 D．4．（5分）已知，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a5．（5分）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）函数f（x）＝log2（|x|﹣1）的图像为（）A． B． C． D．7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝3，对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2有，则关于x的不等式（x+2）f（x+2）＜9的解集为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣5，1） C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）8．（5分）设函数，则函数y＝f（f（x）﹣1）﹣1的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列结论正确的是（）A．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0且a≠1）的图像必过定点（2，﹣2） B．若am＞an（a＞0且a≠1），则m＞n C．已知函数，则方程的实数解为x＝ln3 D．对任意x∈R，都有3x＞2x（多选）10．（6分）下列说法不正确的是（）A．函数的单调递减区间为（﹣∞，1） B． C．“﹣5＜x＜8”是“|x|＜5”的充分不必要条件 D．函数没有最小值（多选）11．（6分）已知函数，且f（a）＝f（b）＝f（d）＜f（c），则下列说法正确的是（）A．a＜0 B．c≥1 C．2ad＜5 D．2a+2b+2d的取值范围为（18，34）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若，则实数a的取值范围为．13．（5分）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．14．（5分）已知函数，则g（3）+g（﹣3）＝．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）计算下列各值：（1）；（2）．16．（15分）已知函数f（x）＝log2（1﹣x）﹣log2（1+x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）方程f（x）＝x+1是否有根？如果有根x0，请求出一个长度为的区间（a，b），使x0∈（a，b）；如果没有，请说明理由？（注：区间（a，b）的长度＝b﹣a）．17．（15分）已知函数f（x）＝m•9x﹣3x+1﹣m．（1）当时，求f（x）的值域；（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．18．（17分）为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的部分图象接近图示；（ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分；（iiii）每天最多得分不超过100分．现有以下三个函数模型供选择：①y＝kx+m（k＞0）；②；③．（1）请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式；（3）已知学校要求每天的得分不少于75分，求每天至少阅读多少分钟？19．（17分）设f（x）＝logag（x）（a＞0且a≠1）（Ⅰ）若，且满足f（x）＞1，求x的取值范围；（Ⅱ）若g（x）＝ax2﹣x，是否存在a使得f（x）在区间[，3]上是增函数？如果存在，说明a可以取哪些值；如果不存在，请说明理由．（Ⅲ）定义在[p，q]上的一个函数m（x），用分法T：p＝x0＜x1＜…＜xi﹣1＜xi＜…＜xn＝q将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x1）﹣m（x0）|+|m（x2）﹣m（x1）|+…+|m（xi）﹣m（xi﹣1）|+…+|m（xn）﹣m（xn﹣1）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数．试判断函数f（x）＝是否为在[，3]上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由．

答案与试题解析题号12345678答案ACCDBABC一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）已知集合A＝{x∈R|log2x＜2}，集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}，则A∩B＝（）A．（0，3） B．（﹣1，3） C．（0，4） D．（﹣∞，3）【分析】先求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x∈R|log2x＜2}＝{x|0＜x＜4}，集合B＝{x∈R||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0，3）．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上零点的近似值，经验证有f（2）•f（4）＜0，取区间的中点x1＝＝3，计算得f（2）•f（x1）＜0，则此时零点x0满足（）A．x0＝x1 B．x0＞x1 C．2＜x0＜3 D．x0＜2【分析】在解答时，要充分利用条件所给的计算结果，结合二分法的分析规律即可获得问题的解答．解：由题意可知：对于函数y＝f（x）在区间[2，4]上，有f（2）•f（4）＜0，利用函数的零点存在性定理，所以函数在（2，4）上有零点，取区间的中点x1＝＝3，∵计算得f（2）•f（3）＜0，∴利用函数的零点存在性定理，函数在（2，3）上有零点，∴x0∈（2，3）．故选：C．【点评】本题考查的是二分法求函数的近似区间的问题，属于基础题．3．（5分）关于x的不等式x2﹣ax﹣b﹣1≤0的解集是[﹣2，5]，那么logab＝（）A．1 B．3 C．2 D．【分析】由题意可知﹣2和5是方程x2﹣ax﹣b﹣1＝0的两个根，由韦达定理求出a，b的值，再利用对数的运算性质求解即可．解：因为关于x的不等式x2﹣ax﹣b﹣1≤0的解集是[﹣2，5]，所以﹣2和5是方程x2﹣ax﹣b﹣1＝0的两个根，由韦达定理可得，解得，所以logab＝log39＝＝2．故选：C．【点评】本题主要考查了韦达定理的应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．4．（5分）已知，，，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】利用对数函数的单调性及作差法比较三个数的大小即可．解：∵e2＜2.82＜8，∴a﹣c＝﹣＝＝＜0，∴a＜c；∵b﹣c＝﹣＝＝＞0，∴b＞c，∴b＞c＞a，故选：D．【点评】本题考查三个数的大小比较的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．5．（5分）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是（）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判定．解：由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”只是构成某一结果的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”是逻辑中的必要不充分条件，所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件．故选：B．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．6．（5分）函数f（x）＝log2（|x|﹣1）的图像为（）A． B． C． D．【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．解：由|x|﹣1＞0得x＞1或x＜﹣1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），排除B，C，f（﹣x）＝log2（|﹣x|﹣1）＝log2（|x|﹣1）＝f（x），则f（x）是偶函数，排除D，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝3，对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2有，则关于x的不等式（x+2）f（x+2）＜9的解集为（）A．（﹣∞，1） B．（﹣5，1） C．（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【分析】由题意可得函数在[0，+∞）单调递增，再由奇函数的性质可得函数在R上，单调递增，再由题意将9化成3f（3），由单调性可得不等式﹣3＜x+2＜3，进而求出不等式的解集．解：对∀x1，x2∈[0，+∞），且x1≠x2有，可得函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，因为f（3）＝3，又函数为奇函数，所以函数在R上为增函数，设g（x）＝xf（x），则g（x）为偶函数，且在[0，+∞）递增，所以不等式可得（x+2）f（x+2）＜9＝3f（3），即g（x+2）＜g（3），可得﹣3＜x+2＜3，解得﹣5＜x＜1，故选：B．【点评】本题考查抽象函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．8．（5分）设函数，则函数y＝f（f（x）﹣1）﹣1的零点个数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】利用换元法，t＝f（x）﹣1，先解出f（t）﹣1＝0时t的值，然后再根据y＝f（x）的图象，判断f（x）＝t+1时，x的个数．解：令t＝f（x）﹣1，则由f（t）﹣1＝0即f（t）＝1解得t＝﹣2或0或e，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f（x），y＝﹣1，y＝1，y＝e+1的图象如图所示，由图象可知y＝f（x）与y＝﹣1有1个交点，即f（x）﹣1＝﹣2有1个根，y＝f（x）与y＝1有3个交点，即f（x）﹣1＝0有3个根，y＝f（x）与y＝e+1有2个交点，即f（x）﹣1＝e有2个根，所以函数y＝f（f（x）﹣1）﹣1的零点个数为1+3+2＝6个，故选：C．【点评】本题考查抽象函数的零点与数形结合思想，属于中档题．二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）下列结论正确的是（）A．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0且a≠1）的图像必过定点（2，﹣2） B．若am＞an（a＞0且a≠1），则m＞n C．已知函数，则方程的实数解为x＝ln3 D．对任意x∈R，都有3x＞2x【分析】令x＝2可判断A；当0＜a＜1时可判断B；令可得ex＝3，从而可判断C；当x＜0时可判断D．对于A，令x＝2，可得f（2）＝a0﹣3＝﹣2，故函数f（x）的图象必过定点（2，﹣2），故A正确；对于B，若0＜a＜1，函数y＝ax单调递减，由am＞an可得m＜n，故B错误；对于C，令，可得ex＝3，解得x＝ln3，故C正确；对于D，当x＝0时，D显然错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了指数函数性质的应用，属于中档题．（多选）10．（6分）下列说法不正确的是（）A．函数的单调递减区间为（﹣∞，1） B． C．“﹣5＜x＜8”是“|x|＜5”的充分不必要条件 D．函数没有最小值【分析】根据定义域即可判断A；根据指数幂的运算可判断B；根据必要条件的定义可判断C；结合奇函数的性质及基本不等式，求出函数的值域，即可判断D．解：对于A，当x＝0时，有x2﹣2x＝0，所以的定义域不包含0，从而（﹣∞，1）不可能是单调递减区间，故A错误；对于B，有，故B正确；对于C，由|x|＜5，可得﹣5＜x＜5，又因为（﹣5，5）⊆（﹣5，8），所以“﹣5＜x＜8”是“|x|＜5”的必要不充分条件，故C错误；对于D，易知y＝x+为奇函数，当x＞0时，y＝x+≥2＝4，当x＝2时，等号成立；所以当x＜0时，y＝x+≤﹣4，当x＝﹣2时，等号成立；所以函数y＝x+的值域为（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞），所以函数f（x）没有最小值，故D正确．故选：AC．【点评】本题考查了对数函数的性质、指数幂的基本运算、必要不充分条件的定义及奇函数的性质，属于中档题．（多选）11．（6分）已知函数，且f（a）＝f（b）＝f（d）＜f（c），则下列说法正确的是（）A．a＜0 B．c≥1 C．2ad＜5 D．2a+2b+2d的取值范围为（18，34）【分析】作出函数图象，结合图象可得a，b，d的范围，再由2a＝d﹣4，2b＝6﹣d，即可求得2ad和2a+2b+2d的范围．解：作出函数f（x）的图象：根据图象可知，a＜0，0＜b＜1，4＜d＜5，根据b＜c得不出c≥1，所以选项A正确，选项B错误；由于|2a﹣1|＝5﹣d，因此1﹣2a＝5﹣d，因此2a＝d﹣4，所以2ad＝d（d﹣4）＝d2﹣4d，由于4＜d＜5，因此g（d）＝d2﹣4d在（4，5）上单调递增，因此d2﹣4d＜g（5）＝5，所以选项C正确；由于2b﹣1＝5﹣d，因此2b＝6﹣d，因此2a+2b+2d＝d﹣4+6﹣d+2d＝2+2d，y＝2+2d在（4，5）上单调递增，因此2+2d∈（18，34），所以选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查函数与方程综合应用，属于中档题．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．（5分）若，则实数a的取值范围为{a|a}．【分析】由已知结合根式的意义即可求解．解：若＝1﹣3a，则3a﹣1≤0，即a．故{a|a}．【点评】本题主要考查了根式的意义，属于基础题．13．（5分）如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．【分析】设需要将n块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍，根据题意可得（1﹣10%）n＜0.5，求解即可得出答案．解：设需要将n块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍，则（1﹣10%）n＜0.5，即，∴，即，解得，故至少需要将7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍，故7．【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．14．（5分）已知函数，则g（3）+g（﹣3）＝6．【分析】根据已知条件得到g（﹣x）+g（x）＝6，进而求解结论．解：∵函数的定义域为R，且g（﹣x）+g（x）＝+ln（﹣x）++ln（+x）＝++ln[（x2+1）﹣x2]＝6+ln1＝6，∴g（3）+g（﹣3）＝6．故6．【点评】本题主要考查函数性质的应用以及计算能力，属于基础题．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）计算下列各值：（1）；（2）．【分析】（1）根据指数幂运算求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合换底公式运算求解即可．解：（1）原式＝（）﹣1﹣（）+（）2＝﹣1﹣+＝；（2）原式＝＝．【点评】本题主要考查了指数及对数运算性质的应用，属于基础题．16．（15分）已知函数f（x）＝log2（1﹣x）﹣log2（1+x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性；（3）方程f（x）＝x+1是否有根？如果有根x0，请求出一个长度为的区间（a，b），使x0∈（a，b）；如果没有，请说明理由？（注：区间（a，b）的长度＝b﹣a）．【分析】（1）根据对数的定义可知负数和0没有对数，列出关于x的不等式组，求出解集即可；（2）要判断函数的奇偶性即求出f（﹣x），判断f（﹣x）与f（x）的关系可得；（3）把f（x）的解析式代入到方程中利用对数的运算性质及对数的定义化简得到g（x）＝0，然后在（﹣1，1）上取几个特殊值﹣，0，﹣，代入g（x）求出值判断任意两个乘积的正负即可知道之间是否有根．解：（1）要使函数有意义，则，∴﹣1＜x＜1，故函数的定义域为（﹣1，1）（2）∵f（﹣x）＝log2（1+x）﹣log2（1﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数．（3）由题意知方程f（x）＝x+1⇔log2（1﹣x）﹣log2（1+x）＝x+1，可化为（x+1）2x+1+x﹣1＝0设g（x）＝（x+1）2x+1+x﹣1，x∈（﹣1，1）则，g（0）＝2﹣1＝1＞0，所以，故方程在上必有根；又因为，所以，故方程在上必有一根．所以满足题意的一个区间为．【点评】此题是一道综合题，要求学生会求对数函数的定义域，会判断函数的奇偶性，会判断根的存在性和根的个数．在做第三问时注意会取特殊值．17．（15分）已知函数f（x）＝m•9x﹣3x+1﹣m．（1）当时，求f（x）的值域；（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果；（2）根据题意，分m＝0，m＞0，m＜0讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果．解：（1）当时，f（x）＝，令t＝3x，则t＞0，y＝＝，所以f（x）的值域为[﹣3，+∞）．（2）令u＝3x，x＞0，则u＞1，y＝mu2﹣3u﹣m，因为u＝3x在（0，+∞）上单调递增，所以要使f（x）在（0，+∞）上单调递增，只需y＝mu2﹣3u﹣m在（1，+∞）上单调递增，①当m＝0时，y＝﹣3u在（1，+∞）上单调递减，不符合题意；②当m＜0时，y＝mu2﹣3u﹣m的图象开口向下，对称轴为u＝0，不符合题意；③当m＞0时，则，解得m≥．所以实数m的取值范围：[）．【点评】本题考查复合函数的单调性的应用，考查了指数函数、二次函数的性质，考查了转化思想及分类讨论思想，属于中档题．18．（17分）为了号召并鼓励学生利用课余时间阅读名著，学校决定制定一个课余时间阅读名著考核评分制度，建立一个每天得分y（单位：分）与当天阅读时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的部分图象接近图示；（ii）每天阅读时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天阅读时间为30分钟时，当天得分为50分；（iiii）每天最多得分不超过100分．现有以下三个函数模型供选择：①y＝kx+m（k＞0）；②；③．（1）请你根据函数图像性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由；（2）根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型，给出函数的解析式；（3）已知学校要求每天的得分不少于75分，求每天至少阅读多少分钟？【分析】（1）根据图