【八年级下册数学湘教版】第三章 图形与坐标（压轴题专练）

第三章图形与坐标（压轴题专练）一、选择题1．（2023上·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（

）A．1.5 B．2 C．3 D．12．（2023下·福建厦门·七年级校考期中）对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（

）A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.53．（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在正方形中，已知点，．将正方形绕点顺时针旋转角度后，点的对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为（

）

A．或 B．或或C．或 D．或4．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（）A． B． C． D．5．（2023·河南商丘·统考一模）如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（

）A． B． C． D．6．（2019上·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（

）A． B． C． D．7．（2022下·湖北黄石·七年级黄石八中校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得第2019个点的坐标是（

）A．（64，2） B．（64，3） C．（1010，505） D．（2021，2020）8．（2021下·四川广安·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（

）A． B． C． D．9．（2021下·山东滨州·七年级统考期末）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，，表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第2021棵树种植点的坐标为（

）．A． B． C． D．10．（2021下·河南周口·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从原点O出发向右移动1个单位长度到达点P1；然后逆时针转向90°移动2个单位长度到达点P2；然后逆时针转向90°，移动3个单位长度到达点P3；然后逆时针转向90°，移动4个单位长度到达点P4；…，如此继续转向移动下去．设点Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+x3+…+x2021＝（）A．1 B．﹣1010 C．1011 D．202111．（2021下·河南新乡·八年级统考期末）如图，矩形ABCD的顶点A（﹣3，0），B在x轴的负半轴上，顶点C（﹣1，3），D在第二象限内，对角线AC与BD的交点为M．将矩形ABCD沿x轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在x轴上，点M的对应点分别为M1，M2，M3，…，则M2021的坐标为（）A．（5050，1） B．（5050，）C．（5050，1） D．（5050，）12．（2021下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，﹣1），点A第一次向左跳动至A1（﹣1，0），第二次向右跳动至A2（2，0），第三次向左跳动至A3（﹣2，1），第四次向右跳动至A4（3，1）…依照此规律跳动下去，点A第9次跳动至A9的坐标（）A．（﹣5，4） B．（﹣5，3） C．（6，4） D．（6，3）二、填空题13．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，在轴正半轴上，点，，在射线上，，若，且，，均为等边三角形，则线段的长度为_________14．（2023上·北京东城·八年级东直门中学校考期中）如图，长方形中，，，以长方形的顶点D为坐标原点，边所在的直线为x轴建立如图所示坐标系，在长方形的对称轴上存在点，使得、、、均为等腰三角形．请写出一个符合的点P坐标：_________；满足条件的点P共有_____个．15．（2023上·四川成都·九年级成都市树德实验中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．点P到的距离定义如下：点Q为三边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点P到的距离，记为．已知矩形的四个顶点依次是，若点P在矩形的四条边上，则满足的点P有______个．16．（2023下·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴的夹角为30°，点在x轴上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交x轴、干点、，以为边在的右侧作等边三角形，过点作的垂线分别交x轴、于点、，以，为边在的右侧作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的纵坐标为______，点的纵坐标为______．

17．（2023下·广东汕头·八年级汕头市潮阳实验学校校考期中）如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，点在边上，沿翻折后点恰好落在轴上点处，若为等腰三角形，点的坐标为____________．18．（2023下·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点D的坐标为，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为____．19．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点并且平行于x轴的直线记作直线y=m．给出如下定义：点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于直线和直线的二次对称点．若点关于直线对称得到点，点为点C关于直线和直线的二次对称点，当是直角三角形时，则______．

20．（2023·山东菏泽·菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考一模）在平面直角坐标系中一组菱形，，，，…按如图方式放置，已知点，，，…，，点，，，…，，则菱形的面积为______．

三、解答题21．（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）已知，实数m，n，t满足．(1)求m，n，t的值；(2)如图，在平面直角坐标系中，A，B都是y轴正半轴上的点，C，D都是x轴正半轴上的点（点D在C右边），，．①如图（1），若点A与B重合，，求B点的坐标；②如图（2），若点A与B不重合，，，直接写出的面积．22．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点.(1)求证：轴是线段的垂直平分线；(2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设；若，求的度数(用含有的式子表示)；探究线段与的数量关系，并证明．23．（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知两点，．(1)若a，b满足．①直接写出的周长；②P在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标，(2)如图2，C是x轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足．①探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明；②设与的面积的比值为k，直接写出k的取值范围．24．（2023上·福建莆田·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，．

(1)如图1，求点的坐标；(2)如图2，若点在第一象限且满足，线段交轴于点，求线段的长；(3)如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点，满足．请探究之间的数量关系．25．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，连接，平分交于点C，点E为x轴上一动点．

(1)如图1，过点E作交于点D，若点D为中点，且，，求的长度；(2)如图2，连接，过点C作且，交x轴于点F，连接，若，，求的值；(3)如图3，连接，过点A作交的延长线于点N，交y轴于点M，连接，若，，求证：．26．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，以为边作长方形．点是边上一点（不与点、点重合），连接，以为直角边在第一象限作，其中．(1)当点的坐标为时，求点的坐标；(2)连接，当为等腰三角形时，请直接写出点的横坐标．（提示：若等腰直角三角形的直角边长为，根据勾股定理可求得斜边长为）27．（2023上·湖北武汉·八年级期末）如图,直线交轴于点,交轴于点,且满足.(1)如图1,若点的坐标为，过点A作于点,交于点,求点的坐标;(2)在（1）的条件下，连接,求的度数;(3)如图2,若点为的中点,点为轴正半轴上一动点,连接,过作交轴于点,当点在运动过程中,式子的值是否发生变化?若不变,求出该式子的值.28．（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且已知．

(1)求证：；(2)如图①，过x轴上一点作于E，交y轴于点F．①求证：；②求F点的坐标；(3)将沿x轴向左平移，边与y轴交于一点P（P不同于A和C两点），过P作一直线与的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且，在平移过程中，求证：．29．（2023上·湖北黄石·八年级校考阶段练习）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，平分与y轴交于D点，．(1)求证：；(2)如图2，点C的坐标为，点E为AC上一点，且，求的长；(3)在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点．（如图（3），当H在上移动，点G点在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．30．（2023上·湖南长沙·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A点在第二象限、坐标为．

(1)若关于的多项式是完全平方式，直接写出点A的坐标：________；(2)如图1，为等腰直角三角形．分别以和为边作等边和等边，连接，；①若，求的长；②求的度数．(3)如图2，过点A作轴于点，点为轴正半轴上一点，为延长线上一点，以为直角边作等腰直角三角形，，过点A作轴交于点，连接．试猜想线段，和的数量关系，并证明你的猜想．31．（2023上·江西南昌·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，，，，满足，点与点关于轴对称．(1)直接写出，两点的坐标；(2)如图1，分别以为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交轴于点，连接．①求出D，两点的坐标；②求证：；(3)如图2，点为轴上一动点，点在直线上，以为直角边向右侧作等腰，若连接，，三点恰好围成一个等腰直角三角形，请直接写出的值．

第三章图形与坐标（压轴题专练）答案全解全析一、选择题1．（2023上·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（

）A．1.5 B．2 C．3 D．1【答案】A【分析】以为边作等边，连接，然后证明得，从而可判断当N，A，B三点共线时，最大，即最大，然后利用等边三角形的性质解答即可．【详解】如图1，以为边作等边，连接，

由题意，∴，∴，∴，∵，∴当N，A，B三点共线时，最大，即最大，如图2，过P作轴，垂足为T，∵是等边三角形，，∴，∵点A的坐标为，∴．∵，∴，∴，∴点P的横坐标为1.5．当P在x轴下方时，同上可求点P的横坐标为1.5．故选：A．2．（2023下·福建厦门·七年级校考期中）对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（

）A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5【答案】A【分析】设线段上存在线段的“单位面积点”是，分两种情况进行讨论：线段在线段的下方；线段在线段的上方，分别求解即可．【详解】解：设线段上存在线段的“单位面积点”是，如图，，当线段在线段的下方时，此时，点，，，，，，，点到的距离为，可将线段沿轴正方向平移个单位长度，沿轴正方向平移，，，当线段在线段的上方时，此时，同理可得：点到的距离为，可将线段沿轴正方向平移，即，综上所述，的取值范围为：或，的值可以是0.5，故选：A．3．（2023·河北邯郸·校考三模）如图，在正方形中，已知点，．将正方形绕点顺时针旋转角度后，点的对应点恰好落在坐标轴上，则点的对应点的坐标为（

）

A．或 B．或或C．或 D．或【答案】B【分析】根据题意画出图形，分三种情况进行讨论：①点对应点恰好落在轴正半轴上时；②点对应点恰好落在轴负半轴上时；③点对应点恰好落在轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点的对应点的坐标．【详解】解：，，轴，，四边形是正方形，且点、在上方，，，，，当正方形绕点顺时针旋转角度后，①点对应点恰好落在轴正半轴上时，如图，，，，，，，，在和中，，，，，，点的对应点的坐标为；②点对应点恰好落在轴负半轴上时，如图，，此时，，点的对应点的坐标为，③点对应点恰好落在轴负半轴上时，如图，同①可知，，，，点的对应点的坐标为，综上所述：点的对应点的坐标为或或，故选：B．4．（2023上·全国·九年级专题练习）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…则正方形铁片连续旋转次后，点的坐标为（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】按照题意，连接右下角轴上的点与，如图所示，由旋转性质逐步求出各个位置时点的坐标，找到循环规律求解即可得到答案．【详解】解：如图所示：

点，点，，则，由旋转的性质可得，第一次；如图所示：

，，则由旋转的性质可得，第二次，如图所示：

，，则由旋转的性质可得，第三次，如图所示：

，，则由旋转性质可得，第四次，…数形结合，发现点的位置4次一个循环，，∵，的纵坐标与相同为，横坐标为，∴，故选：C．5．（2023·河南商丘·统考一模）如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接，过C点作于点M，根据平移有：，根据翻转可知：，即证明，则有，即，在中，，即可求出，即，根据对称有：，即有，可得，根据，，可得，即，则有，根据平移可知：点C向右平移得到点F，即可求解．【详解】连接，过C点作于点M，如图，根据平移有：，∴，根据翻转，可知：，，，∴，∴，∴，即，∵，，∴，，∴，，，，∵在中，，∴，∴，即，根据对称，点O的对应点为点C，有：，∴，∵，∴，即，∵，∴在中，，在中，，∴，∴解得：，即，∴，∵，∴根据平移可知：点C向右平移得到点F，∴，∴，故选：A．6．（2019上·辽宁抚顺·九年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，．则点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据已知求出三角形三边长度，然后通过旋转发现，…，由图象可知点在x轴上，，根据这个规律可以求得的坐标．【详解】解：由图象可知点在x轴上，，，，，，．故选C．7．（2022下·湖北黄石·七年级黄石八中校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0）……，根据这个规律探索可得第2019个点的坐标是（

）A．（64，2） B．（64，3） C．（1010，505） D．（2021，2020）【答案】A【分析】把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2,0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点，…第n列有n个点，可得前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0），由此可得第2016个点的坐标为（63，0），最后根据规律解答第2019个点即可．【详解】解：把第一个点（1，0）作为第一列，（2，1）和（2,0）作为第二列，以此类推，第一列有1个点，第二列有2个点，…第n列有n个点，前n列共有个点，第n列最下面的点的坐标为（n，0）第2016个点的坐标为（63，0）第2017个点的坐标为（64，0）第2018个点的坐标为（64，1）第2019个点的坐标为（64，2）故选：A．8．（2021下·四川广安·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，向右平移3个单位长度到达点，再向上平移6个单位长度到达点，再向左平移9个单位长度到达点，再向下平移12个单位长度到达点，再向右平移15个单位长度到达点……按此规律进行下去，该动点到达的点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，探究规律可得A2021（3033，-3030），从而求解．【详解】解：由题意A1（3，0），A5（9，-6），A9（15，-12），A13（21，-18），•••，可以看出，9=，15=，21=，得到规律：点A2n+1的横坐标为，其中的偶数，点A2n+1的纵坐标等于横坐标的相反数+3，，即，故A2021的横坐标为，A2021的纵坐标为，∴A2021（3033，-3030），故选：C．9．（2021下·山东滨州·七年级统考期末）某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，，当时，，表示非负实数的整数部分，例如，．按此方案，第2021棵树种植点的坐标为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据所给的xk、yk的关系式找到种植点的横坐标和纵坐标的变化规律，然后将2021代入求解即可．【详解】解：由题意可知，，，，，……，将以上等式相加，得：，当k=2021时，；，，，，……，将以上等式相加，得：，当k=2021时，，∴第2021棵树种植点的坐标为，故选：A．10．（2021下·河南周口·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一只蚂蚁从原点O出发向右移动1个单位长度到达点P1；然后逆时针转向90°移动2个单位长度到达点P2；然后逆时针转向90°，移动3个单位长度到达点P3；然后逆时针转向90°，移动4个单位长度到达点P4；…，如此继续转向移动下去．设点Pn（xn，yn），n＝1，2，3，…，则x1+x2+x3+…+x2021＝（）A．1 B．﹣1010 C．1011 D．2021【答案】A【分析】根据各点横坐标数据得出规律，进而得出；经过观察分析可得每4个数的和为，把2020个数分为505组，求出，即可得到相应结果．【详解】解：根据平面坐标系结合各点横坐标得出：、、、、、、、的值分别为：1，1，，，3，3，，；，，，，，，，，，故选：A．11．（2021下·河南新乡·八年级统考期末）如图，矩形ABCD的顶点A（﹣3，0），B在x轴的负半轴上，顶点C（﹣1，3），D在第二象限内，对角线AC与BD的交点为M．将矩形ABCD沿x轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在x轴上，点M的对应点分别为M1，M2，M3，…，则M2021的坐标为（）A．（5050，1） B．（5050，）C．（5050，1） D．（5050，）【答案】A【分析】先求出的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，根据此规律写出的坐标即可．【详解】解：矩形的顶点，顶点，的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，，的坐标为，．故选：A．12．（2021下·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，﹣1），点A第一次向左跳动至A1（﹣1，0），第二次向右跳动至A2（2，0），第三次向左跳动至A3（﹣2，1），第四次向右跳动至A4（3，1）…依照此规律跳动下去，点A第9次跳动至A9的坐标（）A．（﹣5，4） B．（﹣5，3） C．（6，4） D．（6，3）【答案】A【分析】通过图形观察发现，第奇数次跳动至点的坐标，横坐标是次数加上1的一半的相反数，纵坐标是次数减去1的一半，然后写出即可．【详解】如图，观察发现，第1次跳动至点的坐标（-1,0）即（，），第3次跳动至点的坐标（-2,1）即（，），第5次跳动至点的坐标（，）即（-3,2），……第9次跳动至点的坐标（，）即（-5,4），故答案选A．二、填空题13．（2024上·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，在轴正半轴上，点，，在射线上，，若，且，，均为等边三角形，则线段的长度为_________【答案】【分析】由得出，由等边三角形的性质可得，，由三角形外角的定义及性质得出，从而得到，，进而得出，同理可得，，从而得出，即可得解．【详解】解：，，是等边三角形，，，点，，在射线上，，，，，，，，同理可得：，，同理可得：，…，，，故答案为：．14．（2023上·北京东城·八年级东直门中学校考期中）如图，长方形中，，，以长方形的顶点D为坐标原点，边所在的直线为x轴建立如图所示坐标系，在长方形的对称轴上存在点，使得、、、均为等腰三角形．请写出一个符合的点P坐标：__________；满足条件的点P共有_____个．【答案】5【分析】设直线交于点，交于点，先确定，，则点的纵坐标为1，再分三种情况讨论，一是点为的中点，则；二是是等腰三角形，且，点在线段上，由勾股定理得，则，所以；若点在线段的延长线上，则；三是是等腰三角形，且，点在线段上，则，此时，若点在线段的延长线上，则，于是得到问题的答案．【详解】解：直线是矩形的对称轴，且与、相交，直线垂直平分且垂直平分，直线上的所有点都满足、，且直线轴，和是等腰三角形，且只要是等腰三角形，则也是等腰三角形，如图1，设直线交于点，交于点，，，，，，，点的纵坐标为1，当点为的中点时，则点在矩形的另一条对称轴上，，，和都是等腰三角形，此时，；如图2，是等腰三角形，且，点在线段上，，，，，，；若点在线段的延长线上，则，；如图3，是等腰三角形，且，点在线段上，，，，，若点在线段的延长线上，则，综上所述，满足条件的点共有5个，故答案为：，5．15．（2023上·四川成都·九年级成都市树德实验中学校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．点P到的距离定义如下：点Q为三边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点P到的距离，记为．已知矩形的四个顶点依次是，若点P在矩形的四条边上，则满足的点P有______个．

【答案】5【分析】分点在，，，上，四种情况进行求解即可．【详解】解：如图：

∵，，∴轴，，∴，，①当点在线段上，点与点重合时，，∵，∴，满足题意；当点往下移动至点时，逐渐变小至，不存在；当点继续往下移动至点时，，当时，；②当点在上时，，不存在；③当点在上时，当，，存在两个点，使；④当点在上时，作交于点，此时，符合题意；综上，满足的点P有5个；故答案为：5．16．（2023下·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴的夹角为30°，点在x轴上，且，过点作交于点，以为边在右侧作等边三角形；过点作的垂线分别交x轴、干点、，以为边在的右侧作等边三角形，过点作的垂线分别交x轴、于点、，以，为边在的右侧作等边三角形，…，按此规律进行下去，则点的纵坐标为______，点的纵坐标为______．

【答案】【分析】根据特殊直角三角形的性质，求出，，，…，可得点，，的纵坐标，从而得的纵坐标，即可求出答案．【详解】解：∵，∴，∵，，∴的边长，，∴点的纵坐标为，∵等边三角形，∴，，∵，∴，∴轴，∴，∵，∴，，∴，∴点的纵坐标为，同理得：，∴，∴点的纵坐标为，…，∴点的纵坐标为，∴点的纵坐标为，故答案为：，．17．（2023下·广东汕头·八年级汕头市潮阳实验学校校考期中）如图，矩形的顶点在轴上，点的坐标为，点在边上，沿翻折后点恰好落在轴上点处，若为等腰三角形，点的坐标为____________．

【答案】或或【分析】解：如图，为等腰三角形，当，，可得，从而可得答案；当时，如图，则，，从而可得答案；当时，如图，设，，建立方程，从而可得答案．【详解】解：如图，为等腰三角形，当，，

∴，，∴，∴，当时，如图，则，

∴，∴；当时，如图，设，∴，

∴，解得：，∴，∴；综上：或或．故答案为：或或．18．（2023下·广东梅州·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点D的坐标为，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为____．

【答案】【分析】根据旋转的性质，与的垂直平分线的交点即为旋转中心P，连接，，，过P作轴于F，证明并求出的长，然后求出，根据直角三角形两锐角互余求出，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，再求出，即可得到点P，即旋转中心的坐标．【详解】解：如图，与的垂直平分线的交点即为旋转中心P，与，的交点分别为，，

连接，，，过P作轴于F，由旋转的性质可得：，，而，，∴，∴，∴，都是等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，，∵点，∴．故答案为：．19．（2023·四川成都·成都七中校考三模）如图，在平面直角坐标系中，经过点并且平行于x轴的直线记作直线y=m．给出如下定义：点先关于直线对称得到点，再将点关于直线对称得点，则称点为点P关于直线和直线的二次对称点．若点关于直线对称得到点，点为点C关于直线和直线的二次对称点，当是直角三角形时，则______．

【答案】【分析】表示出点和点的坐标，再利用勾股定理列方程即可解答．【详解】解：点关于直线对称得到点，，设，点为点C关于直线和直线的二次对称点，，得，，当是直角三角形时，只存在一种情况，，可得方程，解得，故答案为：．20．（2023·山东菏泽·菏泽市牡丹区第二十二初级中学校考一模）在平面直角坐标系中一组菱形，，，，…按如图方式放置，已知点，，，…，，点，，，…，，则菱形的面积为______．

【答案】9【分析】先求出以及的长度，根据菱形的面积公式即可得出答案．【详解】解：∵，，点，，∴，∵菱形，，∴的中点坐标为，由菱形的对角线互相平分可得：，∴，，同理可得：，，根据此规律可得，又∵，，∴，∴菱形的面积为，故答案为：9．三、解答题21．（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）已知，实数m，n，t满足．(1)求m，n，t的值；(2)如图，在平面直角坐标系中，A，B都是y轴正半轴上的点，C，D都是x轴正半轴上的点（点D在C右边），，．①如图（1），若点A与B重合，，求B点的坐标；②如图（2），若点A与B不重合，，，直接写出的面积．【答案】(1)，，；(2)①B点的坐标为；②的面积为5．【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；（2）①由，求得，过点D作交的延长线于点，交y轴于点，证明是等腰直角三角形，推出，得到，再证明，据此求解即可；②过点D作交的延长线于点，交y轴于点，同理，证明，推出，，得到，求得，再利用三角形的面积公式求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，，，∴，，，∴，，；（2）解：①∵点A与B重合，，，∴，∴，∵，∴，过点D作交的延长线于点，交y轴于点，如图，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵，，∴，∴，∴B点的坐标为；②过点D作交的延长线于点，交y轴于点，如图，∵，，∴，∵，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，，∴，设，∵，∴，，∴，解得，即，∴，∴的面积=．22．（2023上·福建厦门·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴正半轴上一动点.(1)求证：轴是线段的垂直平分线；(2)以为边作等边，点在第一象限，作射线交轴于点，设；若，求的度数(用含有的式子表示)；探究线段与的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)①；②，证明见解析【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．（1）由点，得出，结合轴，即可得出答案；（2）①由（1）可得：轴是线段的垂直平分线，，，由等边三角形的性质可得，，从而得出，，最后由等边对等角以及三角形内角和定理计算即可得出答案；②延长至，使，连接、，证明即可得出答案．【详解】（1）证明：点，，，轴，轴是线段的垂直平分线；（2）解：①如图，由（1）可得：轴是线段的垂直平分线，，，是等边三角形，，，，，，，；②，证明：如图，延长至，使，连接、，，则垂直平分，，由（1）可得：轴是线段的垂直平分线，，，是等边三角形，，，，由①可得：，，，，，是等边三角形，，轴是线段的垂直平分线，，，，，，，，，．23．（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知两点，．(1)若a，b满足．①直接写出的周长；②P在第一象限内，若为等腰直角三角形，直接写出点P的坐标，(2)如图2，C是x轴上点A右侧的动点，D在第一象限内，满足．①探究三条线段，，之间的数量关系，并给出证明；②设与的面积的比值为k，直接写出k的取值范围．【答案】(1)①；②或或；(2)①；②【分析】1）①首先根据绝对值和平方的非负性求出，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可；②根据题意分3种情况讨论：①，；②，；③，，然后根据全等三角形的性质求解即可；（2）①在上截取，连接，首先证明出是等边三角形，得到，，然后证明出，得到，求出，进而求解即可；②首先证明出是等边三角形，得到，然后得到当点C和点A重合时，，过点D作，此时的长度最小，得到，然后证明出，得到，进而求出．【详解】（1）①∵∴∴，∴，，∵，∴，∴，∵∴∴的周长；②如图所示，当，时，过点P作轴，∵∴∵∴∴∵，∴∴，∴∴点P的坐标为；如图所示，当，时，过点P作轴，同理可证，∴，∴∴点P的坐标为；如图所示，当，时，过点P作轴，轴，同理可证，∴，根据题意可得，四边形是正方形∴∴∴∴∴∴∴点P的坐标为，综上所述，点P的坐标为或或；（2）①如图所示，在上截取，连接，∵∴∴∵∴△CAE是等边三角形∴，又∵∴∴∵，∴∴；②由①可得，，∴∵∴是等边三角形∵∵C是x轴上点A右侧的动点，∴∴在中，∴如图所示，当点C和点A重合时，，过点D作，∴此时的长度最小，∴点H是的中点，∴∵，，∴∴∴∴∵C是x轴上点A右侧的动点，∴∴．24．（2023上·福建莆田·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，．(1)如图1，求点的坐标；(2)如图2，若点在第一象限且满足，线段交轴于点，求线段的长；(3)如图3，在（2）的条件下，若在第四象限有一点，满足．请探究之间的数量关系．【答案】(1)，，(2)(3)，理由见解析【分析】（1）根据，，在中，有：，进而有，问题随之得解；（2）求出，即，可得，接着求出，证明，即有，可得，得出，进而有，可得，即有，问题随之得解；（3）由（2）可知：，可得，进而有，延长至F，使，连接，过A点作于M点，根据，即有，进一步有，即可证明，接着证明，问题随之得解．【详解】（1）解：∵，，∴在中，有：，∴，∵，∴，∴，，；（2）解：∵，，∴在中，，即，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，即，∵，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴在中，；（3）解：，理由如下：由（2）可知：，∵，，∴，∴，∴，延长至F，使，连接，过A点作于M点，如图，

∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，∵，，∴，，∴∴，∴，即．25．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，连接，平分交于点C，点E为x轴上一动点．(1)如图1，过点E作交于点D，若点D为中点，且，，求的长度；(2)如图2，连接，过点C作且，交x轴于点F，连接，若，，求的值；(3)如图3，连接，过点A作交的延长线于点N，交y轴于点M，连接，若，，求证：．【答案】(1)1(2)8(3)见解析【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）由三角形中位线定理可求，，，由等腰直角三角形的性质可求，即可求解；（2）由“”可证，可得，由面积和差关系可求解；（3）由，可得，，由，可得，由，可得，即可得．【详解】（1）解：如图1，取的中点，连接，点，点，，，点为中点，点是的中点，，，，，平分，，，，是等腰直角三角形，，；（2）解：∵，，∴，，，又平分，，，，，，，，，；（3）证明：如图3，过点作交轴于，轴于，，，是等腰直角三角形，，，，，∵，，，，，，，，，，，∵，∴，过点N作轴于点P，则，轴∴，∵，，∴，，又∵，∵，，∴∴∴∵，，，，，．26．（2023上·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，以为边作长方形．点是边上一点（不与点、点重合），连接，以为直角边在第一象限作，其中．(1)当点的坐标为时，求点的坐标；(2)连接，当为等腰三角形时，请直接写出点的横坐标．（提示：若等腰直角三角形的直角边长为，根据勾股定理可求得斜边长为）【答案】(1)(2)3或或【分析】（1）过点作于点，利用点的坐标表示出线段的长度，利用直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到，求出线段的长度，则结论可得；（2）设点的坐标为，则，过点作于点，延长交于点，利用(1)的结论得到，，利用矩形的判定与性质和勾股定理求得和，再利用分类讨论的思想方法得到关于的方程，解方程即可得出结论．【详解】（1）解：点坐标为，，点的坐标为，过点作于点，如图，，，，，，在和中．，，，则，故点E的坐标为．（2）设点的坐标为，则，过点作于点，延长交于点，如图，由（1）知∶，，，四边形为矩形，，，，四边形为矩形，，，，，当为等腰三角形时，①时，，，，(不合题意，舍去)或②时，，，，，(不合题意，舍去)或．③时，，，，，综上，点的横坐标为或6或3．27．（2023上·湖北武汉·八年级期末）如图,直线交轴于点,交轴于点,且满足.(1)如图1,若点的坐标为，过点A作于点,交于点,求点的坐标;(2)在（1）的条件下，连接,求的度数;(3)如图2,若点为的中点,点为轴正半轴上一动点,连接,过作交轴于点,当点在运动过程中,式子的值是否发生变化?若不变,求出该式子的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据绝对值和完全平方的非负性，先求出a、b，再证明，即可得到；（2）过O分别作于M点，作于N点，先利用证明，则有，即可求解；（3）连接，根据D为的中点，由等腰直角三角形的性质可知，再利用证明，则有，进而可知即可求解．【详解】（1）解：把整理得：解得，即在与中，则；（2）解：过O分别作于M点，作于N点，如图在四边形中，在与中，平分（3）解：的值不发生改变，等于5，理由如下：连接，如图所示：，D为的中点，，即，在与中，．28．（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，且已知．(1)求证：；(2)如图①，过x轴上一点作于E，交y轴于点F．①求证：；②求F点的坐标；(3)将沿x轴向左平移，边与y轴交于一点P（P不同于A和C两点），过P作一直线与的延长线交于Q点，与x轴交于点M，且，在平移过程中，求证：．【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析，②(3)证明见解析【分析】（1）根据非负数的性质求得的值，即可得出的坐标，进而求得，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角即可得证；（2）①证明，得出，可得结论；②由①的结论可得；（3）过点作交于点，证明，得出，根据，得出，从而可得结论．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴；（2）①如图，∵，∴，∴，∵，∴平分，∴，∴，∴，∴，在与中，，∴，∴，∵∴，②∵，，∴；（3）过点作交于点，则，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴∴，∵，∴，∴．29