2025高考数学一轮复习-第1章-第2节 常用逻辑用语【课件】

第一章集合与常用逻辑用语、不等式第2节常用逻辑用语1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义,能正确对两种命题进行否定.目

录CONTENTS知识诊断自测01考点聚焦突破02课时分层精练03知识诊断自测1ZHISHIZHENDUANZICE1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件p是q的____________条件p⇒q且q⇒/

pp是q的____________条件p⇒/

q且q⇒pp是q的______条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒/

q且q⇒/

p充分必要充分不必要必要不充分充要2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____”表示.∀∃3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记____________________∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)______________________∀x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)常用结论与微点提醒1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(

)(2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.(

)(3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.(

)(4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.(

)×解析(1)错误，至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题.√√√2.(必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的(

) A.充分不必要条件

B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件A解析

由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立.3.(必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是__________________________.任意一个偶数都不是素数4.使－2＜x＜2成立的一个充分条件是______________________.(答案不唯一，写出一个即可)0＜x＜2(答案不唯一)解析只要是{x|－2＜x＜2}的一个子集都是使－2＜x＜2成立的充分条件，如－1＜x＜1，或0＜x＜2等.考点聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考点一充分条件、必要条件的判定例1

(1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件B解析若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以a2＝b2⇒/

a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.(2)(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cosβ＝0，则(

)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件B解析甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，等价于sinα＝±cosβ，所以由甲不能推导出sinα＋cosβ＝0；由sinα＋cosβ＝0，得sinα＝－cosβ，平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲.综上，甲是乙的必要不充分条件.(3)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是(

)A.a＝－1 B.a＝bC.b＝1 D.ab＝1AC解析由ab＋b－a－1＝0，可得(a＋1)(b－1)＝0，解得a＝－1或b＝1，故选AC.感悟提升充分、必要条件的两种判定方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.训练1(1)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件A解析由a2＞a，得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0，∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件.ACD解析对于A，由a>b⇒/

ac2>bc2(c＝0时不成立)，由ac2>bc2⇒a>b，则“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，A中命题是真命题；易知C，D中命题是真命题，故选ACD.考点二充分、必要条件的应用例2已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围.解由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}.由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A.即所求m的取值范围是[0，3].迁移

本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围.解∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，∴A

B，解得m≥9，故m的取值范围是[9，＋∞).感悟提升充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.训练2(1)(2023·衡水调研)若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数.①若A是B的充要条件，则b＝________；②若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是_____________.解析①由已知可得A＝B，②若A是B的充分不必要条件，则A

B，(2)(2024·驻马店模拟)已知p：x2－x－12≤0，q：(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0).若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是___________.[3，＋∞)解析由不等式x2－x－12≤0，解得－3≤x≤4，设p对应的集合为A，则A＝[－3，4].由不等式(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0)，解得－m≤x≤2m＋1(m>0)，设q对应的集合为B，则B＝[－m，2m＋1](m>0).因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以实数m的取值范围是[3，＋∞).考点三全称量词与存在量词角度1含量词命题的否定例3(1)(2024·西安模拟)若命题p：∀x∈R，ex≥x＋1，则綈p是(

)A.∀x∈R，ex≤x＋1 B.∀x∈R，ex<x＋1C.∃x∈R，ex≤x＋1 D.∃x∈R，ex<x＋1D解析∀x∈R，ex≥x＋1的否定是∃x∈R，ex<x＋1，故选D.(2)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为(

)A.∀n∈N，n2≥2n＋5 B.∃n∈N，n2≤2n＋5C.∀n∈N，n2＜2n＋5 D.∃n∈N，n2＝2n＋5C解析綈p为∀n∈N，n2＜2n＋5，所以C正确.角度2含量词命题的真假判断例4(2024·九江联考)下列命题的否定是真命题的为(

)A.任意两个等边三角形都相似B.∃x∈R，x2－x＋1＝0C.存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直D.∀x∈R，x＋|x|≥0B解析对于A，任意两个等边三角形都相似是真命题，所以其否定是假命题,故A错误；对于B，x2－x＋1＝0，Δ＝1－4<0，所以方程无解，所以该命题是假命题，其否定是真命题，故B正确；对于C，存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，是真命题，其否定是假命题，故C错误；对于D，∀x∈R，x＋|x|≥0是真命题，其否定是假命题，故D错误.D感悟提升1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.2.判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可.3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义,利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围.训练3(1)已知命题p：∃x∈(0，＋∞)，3x＋4＝3x.下列说法正确的是(

)A.p为真命题，綈p：∃x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3xB.p为假命题，綈p：∀x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3xC.p为真命题，綈p：∀x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3xD.p为假命题，綈p：∀x∉(0，＋∞)，3x＋4≠3xC解析方程3x＋4＝3x可化为3x＋4－3x＝0，设f(x)＝3x＋4－3x，则方程3x＋4＝3x的根就是函数f(x)＝3x＋4－3x的零点，当x＝2时，f(2)＝3×2＋4－32>0，当x＝3时，f(3)＝3×3＋4－33<0，由零点存在定理知函数f(x)＝3x＋4－3x在区间(2，3)内存在零点，故方程3x＋4＝3x在(0，＋∞)上有解，故p为真命题.根据存在量词命题的否定方法可得綈p：∀x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x，所以C正确.(2)已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是_____________________.(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析若原命题为真命题，则∃x∈{x|－2<x<3}，使得m＝2x成立，则－4<m<6；故若原命题为假命题，则实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[6，＋∞).课时分层精练3KESHIFENCENGJINGLIAN1.下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(

)A.菱形的四条边都相等 B.∃x∈N，使2x为偶数C.∀x∈R，x2＋2x＋1＞0 D.π是无理数A解析对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题.对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题.对于C，∀x∈R，x2＋2x＋1＞0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题.对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题.2.命题“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是(

)A.∃x＞0，x2－2|x|≥0 B.∃x≤0，x2－2|x|≥0C.∀x＞0，x2－2|x|≥0 D.∀x≤0，x2－2|x|≥0C解析由存在量词命题的否定为全称量词命题知“∃x＞0，x2－2|x|＜0”的否定为“∀x＞0，x2－2|x|≥0”.3.(2022·浙江卷)设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件A4.已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是(

) A.(－∞，4) B.(－∞，4] C.(4，＋∞) D.[4，＋∞)B解析“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.CA7.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则(

)A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件B解析当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0；若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件.综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.8.(2024·云南名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1<x<a＋3}.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则a的取值范围为(

) A.[－1，0]

B.(－1，0) C.[4，＋∞)

D.(4，＋∞)A解析由题意，x2－x－2<0，解得－1<x<2，则A＝{x|－1<x<2}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，解得－1≤a≤0，所以a的取值范围为[－1，0].解析因为“sinx<cosx”的否定是“sinx≥cosx”，10.(2023·北京海淀区模拟)设a>0，b>0，则使得命题“若ln(a＋b)>0，则lna＋lnb>0”为假命题的一组a，b的值是________________________.a＝1，b＝1(答案不唯一)解析根据题意，满足题意的a，b需满足ln(a＋b)>0，则lna＋lnb≤0，即ln(a＋b)>ln1，ln(ab)≤ln1，解得a＋b>1，ab≤1，不妨取a＝1，b＝1(答案不唯一)，满足题意.12.(2023·湖南部分名校调研)已知p：∃x∈R，ax2＋2x＋1<0，q：a∈(1，＋∞)，则綈p是q的________________条件(在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中选一个填入).必要不充分解析若綈p：∀x∈R，ax2＋2x＋1≥0为真命题，则a>0且Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.因为(1，＋∞)

[1，＋∞)，所以綈p是q的必要不充分条件.D对于B，因为当x＝5时，25＝32>52＝25，所以∃x∈R，2x>x2为真命题，其否定为假命题，故B错误；14.(多选)(2024·武汉联考)下列命题正确的是(

)AD对于B，命题“任意x<1，都有x