2022年人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数同步知识点指导与训练

第五章三角函数

5.1任意角和弧度制

5.1.1任意角

【素养目标】

1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念.（数学抽象）

2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.（直观想象）

3.理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题.（数学运算）

4.能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为以后的学习打好基

础.（逻辑推理）

【学法解读】

在本节学习中，学生应用运动的观点来理解角的定义，其关键是抓住角的终边和始边，在学习时提升

自己的数学抽象及直观想象等素养.

必备知识•探新知

基础知识

知识点1角的概念

角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的图形.

思考1：定义中当射线旋转时有几种旋转方向？

提示：根据旋转方向，射线在旋转时，有逆时针、顺时针和不作任何旋转三种旋转方向.

知识点2角的表示

/

0A

顶点：用0表示；

始边：用0A表示，用语言可表示为起始位置；

终边：用0B表示，用语言可表示为终止位置.

思考2：（1）当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？

⑵你能说出角的三要素吗？

提示：（1）不是的.虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小（旋转圈数）并没有确定，所以角

也就不能确定.

1

⑵角的三要素是顶点、始边、终边.

知识点3角的分类

类型定义图示

一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的

角0^—4

一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的Op---------

负角

角V

一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零

零角0A

角

思考3：(1)正角、负角、零角是根据什么区分的？

(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？

提示：(1)角的分类是根据组成角的射线的旋转方向确定的.

(2)不一定.零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°,—360。等，角的

大小不是根据始边、终边的位置，而是根据射线的旋转.

知识点4象限角

如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个

角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

思考4：把一个角放在平面直角坐标系中时，这个角是否一定就是某一个象限的角？

提示：象限角是指当角的始边与x轴的非负半轴重合时，终边在哪个象限，我们就说这个角是第几象

限角.如果一个角的终边在坐标轴上时，我们认为这个角不在任何象限内，又叫轴线角.

知识点5终边相同的角

所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合！！！S=I司360。，JUZ｝,即任

一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.

思考5：反过来，若角a,£满足S=｛缈=a+》360。，女£Z｝时，角a,£是否是终边相同的角？

提示：当角a,£满足S=4W=a+k360。，攵£Z｝时，表示角a与夕相隔整数个周角，即角Q,“终边

相同.

基础自测

1.下列各角：一60。，126。，-63。，0°,99°,其中正角的个数是(B)

A.1B.2

C.3D.4

［解析］正角有126。，99。共2个.

2

2.将射线。M绕端点。按逆时针方向旋转120。所得的角为(A)

A.120°B.-120°

C.60°D.240°

3.（2021・济南外国语期中）下列各角中,与一1110。的角终边相同的角是（D）

A.60°B.-60°

C.30°D.-30°

［解析］一1110。=-3X360。-30。，所以与一30。的角终边相同.

4.若一30。角的始边与x轴的非负半轴重合，现将一30。角的终边按逆时针方向旋转2周，则所得角是

690°.

［解析］因为逆时针方向旋转为正角，所以。=-30。+2乂360。=690。.

5.图中从OA旋转到08,OBi，时所成的角度分别是390。、一150°、60：.

（1）

［解析］题图中(1)中的角是正角，1=390。，题图中(2)中的角，一个是负角、一个是正角，^=-150°,

尸60°.

关键能力•攻重难

题型探究

题型一任意角的概念

»・例1下列命题正确的是(C)

A.终边与始边重合的角是零角

B.终边和始边都相同的两个角一定相等

C.在90OW.V180。范围内的角夕不一定是钝角

D.小于90。的角是锐角

［分析］角的概念推广后确定角的关键是抓住角的旋转方向和旋转量.

［解析］终边与始边重合的角还可能是360。，720。，…，故A错；终边和始边都相同的两个角可能相差

360。的整数倍，如30。与一330。，故B错；由于在90。＜尸＜180。范围内的角£包含90。角，所以不一定是钝角，

C正确；小于90。的角可以是0。，也可以是负角，故D错误.

3

［归纳提升］关于角的^念问题的处理

正确解答角的概念问题，关键在于正确理解象限南与锐角、首角、钝角、平角、周南等的概念，弄清

角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而

判断结论不正确只需举一个反例即可.

【对点练习】❶(1)(多选题)下列说法，不正确的是(ACD)

A.三角形的内角必是第一、二象限角

B.始边相同而终边不同的角一定不相等

C.钝角比第三象限角小

D.小于180。的角是钝角、直角或锐角

(2)经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是(B)

A.60°,720°B.-60°,-720°

C.-30°,-360°D.-60°,720°

［解析］(1)对A,90。的角既不是第一象限角，也不是第二象限角；B正确：对C中钝角大于一120。，但

-120)的角是第三象限角，故C错误；对DQ。角小于180。，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D错

误.

2

⑵顺时针旋转为负角，正义360。=60°,2X360°=720°,故钟表的时针、分针转过的角度分别为一60。,

-7205.

题型二终边相同的角

»■例2已知。=一1845。，在与。终边相同的角中，求满足下列条件的角.

(1)最小的正角；

(2)最大的负角；

(3)—360。〜720。之间的角.

［解析］因为一1845°=—45°+(—5)乂360°,

即一1845。角与一45。角的终边相同，

所以与角a终边相同的角的集合是｛用?=-45。+2360。，

(1)最小的正角为315。.

(2)最大的负角为一45。.

(3)—360。〜720。之间的角分别是一45。，315°,675°.

［归纳提升］⑴一般地，可以将所给的角夕化成拓360。+。的形式(其中(TWa<360。，kf,其中的a

就是所求的角.

(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360。的

方式；当所给角是正角时，采用连续减360。的方式，直到所得结果达到要求为止.

4

特别提醒：表示终边相同的角时，kEZ这一条件不能省略.

【对点练习】❷(2020•济南高一检测)下列各角中，与角30。终边相同的角是(B)

A.-390°B.一330。

C.330°D.570°

［解析］-330。=-360。+30。，与30°终边相同.

题型三终边在给定直线上的角的集合

»■例3写出终边落在直线尸x上的角的集合S,并把S中适合不等式一360。0?<720。的元素用写

出来.

［分析］先在0。〜360。内找到终边在y=x上的角；再推广到任意角；最后找出一360。W火720。内的角.

［解析］直线y=x与x轴的夹角是45。，在0。〜360。范围内，终边在直线)，=x上的角有两个：45。，225。。

因此，终边在直线y=x上的角的集合：

s={6|/?=45。+历360。，UW=225°+/：.360o.kJ7\

={朋=45。+24・180。，攵£Z}U{缈=45°+(2k+l)480°,女£Z}={缈=45°+〃480°,〃任Z}.

所以S中适合一360。^.<720。的元素是：

45°-2X1800=-315°；45°-1X180。=-135°；

450+0X180°=45°;45。+IX180。=225。；

450+2X180°=405°；45°+3X180°=585°.

注意解题过程的规范性：

①终边在直线y=x上注意讨论两种情况.

②这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合.

［归纳提升］(1)求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是求出与已知角终边相同的角的一般

形式，再依条件构建不等式求出攵的值.

(2)求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分和x<0两种情况讨论，最后再进

行合并.

【对点练习】❸写出终边在直线了=一小.1上的角的集合.

［解析］S={a|a=h360。-60。，L£Z}U{m=好360。+120。，依"}={四=h360。-60。，^eZ}U

Oooo

{a\a=A：2-360+180°-60°}={a\a=2kv\800-60°,^eZ)U{a|a=(2jt2+l)-180-60)={a|a=wl80-60°,

〃仁Z}.

题型四区域角的表示

己知，如图所示.

5

（1）分别写出终边落在04,。8位置上的角的集合：

（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.

［解析］①终边落在0A位置上的角的集合为{砒2=90。+45。+。360。，4£2}={。|。=135。+左・360。，k

WZ},终边落在08位置上的角的集合为汝汝=-30。+k360。，2£Z}.

②由题干图可知，阴影部分（包括边界）的角的集合是由所有介于一30。到135。之间的与之终边相同的角

组成的集合，故可表示为{。|-30。+。360。《。W135。+k360。，AeZ}.

［归纳提升］1.表示区域角的三个步骤

第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.

第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的一360。〜360。范围内的角a和人写出最简集合

{x\a<x</i］y其中少一“<360。.

第三步：起始、终止边界对应角％少再加上360。的整数倍，即得区域角集合.

【对点练习】❹如图所示的图形，那么阴影部分（包括边界）表示的终边相同的角的集合如何表示？

［解析］在0。〜360。范围内、阴影部分（包括边界）表示的范围是：15（rWaW225。，则满足条件的角a为

（妣360。+150。WaWL360。+225°,kGZ\.

题型5象限角的确定

若a是第一象限角，则2a,卷分别是第几角限角？

［分析］由a是第一象限角可知。360。V冰^360。+90。/£2）,则2a,5的范围分别为2/360°v2av2》360°

+18（F伏EZ）,k180。与小180。+45。伏£Z）.再通过对整数k分类讨论即可得结果.

［解析］因为it-360o<a<A:-360o+90o（A：GZ）,

所以2k3600v2a〈22・3600+（80°（KZ）.

所以2a是第一、二象限角或终边落在），轴非负半轴上的角.

又Q180畤4180。+45。/WZ）,

6

所以当k=2〃（〃£Z）时，n-360°<2<«-360°+45°.

所以舞第一象限角.

当左=2〃+l（〃£Z）时，

〃3600+180畤<〃.360°+225°,

所以今是第三象限角.故冬是第一、三象限角.

［归纳提升］已知a角所在象限，判断〃a,半〃£Z）所在象限的方法

⑴若已知角a是第几象限角，判断余卷等是第几象限角，主要方法是解不等式并对整数女进行分类讨

论.求解题的思维模式应是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住内在联系，确定解题方略.

（2）由a的象限确定2a的象限时，应注意2a可能不再是象限角，对此特殊情况应特别指出.如a=135。，

而2a=270°就不再是象限角.

【对点练习】❺若3是第二象限角，那么多和90。一夕都不是（B）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］,：（p是笫二象限角，.•4•360。+90。<夕<卜360。+180。，k^Z,：.k-180°+45°<^<k-180°+90°,k

ez,即号终边是第一或第三象限角，而一8显然是第三象限角，，90。一少是第四象限角，故选B.

课堂检测•固双基

1.与一457。角终边相同的角的集合是（C）

A.{。汝=幺360。+457°,2EZ}

B.{a|a=A-360°+97°,kGZ}

C.{a|a=^360°+263°,k^Z}

D.{a|a=jt-360°-263°,k^Z}

［解析］一457。与一97。角终边相同，又一97。角与263。角终边相同，又263。角与卜360。+263。角终边相

同，，应选C.

2.一215。是（B）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

［解析］由于一215。=-360。+145。,而145。是第二象限角，则一215。也是第二象限角.

7

3.下列各组角中，终边相同的是（B）

A.390°,690°B.-330°,750°

C.480°,-420°D.3000°,一840°

4.若角a与£的终边互为反向延长线，则有（D）

A.。=夕+180。

B.a=^-180°

C.a=­p

D.a=£+（24+1）」80°,kS

［解析］角a与0的终边互为反向延长线，则。=夕+180。+0360。=少+（2攵+1）180。，故选D.

5.写出图中阴影区域所表示角a的集合（包括边界）.

［解析］(1)｛。出360。+30。W。・心3600+90°,&£Z｝U｛。体360。+210。忘。£%.360。+270°,2£Z｝或写成

{180°+30。WaWk180。+90。，止Z}.

⑵{诋360。-45。。。3600+45。，Z}.

素养作业•提技能

请同学们认真完成练案［39］

4组•素养自测

一、选择题

1.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为（B）

A.120°B.-120°

C.-60°D.60°

4

［解析］由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为一台乂360。=-120。，故选B.

2.给出下列命题：

①一75。是第四象限角；②225。是第三象限角：③475。是第二象限角；④一315。是第一象限角.

其中正确的命题有（D）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

［解析］①一75。是第四象限角，正确.②225。是第三象限角，正确.③475。=360。+115。是第二象限角,

8

正确.④-315。=-360。+45。，是第一象限角；故选D.

3.若。=/180。+45。，kRZ,则a终边所在的象限是（A）

A.第一、三象限B.第一、二象限

C.第二、四象限D.第三、四象限

［解析］由题意知仪=/180。+45。，&EZ.

当％=2〃+1,〃£Z时，1=2〃・180。+180。+45。=〃・360。+225。，其终边在第三象限;

当2=2〃，时，a=2n\80°+45°=n-360°+45°,〃£Z,其终边在第一象限.

综上，a终边所在的象限是第一或第三象限.

4.如图所示，终边落在阴影部分的角的集合是（C）

A.{a|-450<a<120°）

B.{a|120°<a<315°}

C.{a|^360o-45°<a<^360°+120°,k^Z］

D.{a|A:-360o+1200<a<A:-360o+315°,kEZ］

［解析］在（一360。,360。）范围内，阴影部分表示为（一45。，120。），故选C.

5.下列叙述正确的是（B）

A.第一或第二象限的角都可作为三角形的内角

B.始边相同而终边不同的角一定不相等

C.若。是第一象限角，则2a是第二象限角

D.钝角比第三象限角小

［解析］一330。角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A错；若a是第一象限角，则

&-360。<0<&-360。+90。（&EZ）,所以22360。<2a<2k•360。+180。%£Z）,所以2a是第一象限角或第二象限角或

终边在y轴非负半轴上的角，故C错：一100。角是第三象限角，它比钝角小，故D错.

6.已知a为第三象限角，贝脸所在的象限是（D）

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C.第一或第三象限D.第二或第四象限

［解析］因为a终边在第三象限，

所以180。+jt-3600<a<270°+0360。（&GZ）,

9

所以90。+大180。与＜135。+0180。伏£Z),攵为偶数时，施第二象限，k为奇数时，养第四象限.故选

D.

二、填空题

7.已知角a终边所在的位置，请你元成下表:

角a终边所

角a的集合

在的位置

第一象限{ak・360°vav900+拓360°,火WZ}

第二象限

第三象限

第四象限

［解析］如下表:

角a终边所

角a的集合

在的位置

第一象限{砒・360。<。<90。+2・360。，k^Z]

第二象限{a|90°+k36O0<av1800+k360。,k^Z)

第三象限{a|l80°+A:-3600<«<270°+2・360。，2£Z}

第四象限{a|270°+k360°<a<360。+2・36D。，心Z}

8.一1485。角是第国象限的角，与其终边相同的角中最大的负角是一45。.

［解析］因为一1485。=-5乂360。+315。，

而315。£(270。，360°),所以一1485。是第四象限角.

又一360。+315。=一45。，最大的负角是一45。.

9.终边在直线丫=早上的角的集合S=!!!函4=3()。+P180。，k£Z\.

［解析］

在0。〜360。范围内，终边在直线旷=条上的角有两个：30。、210。(如图〕,

所以终边在y=右上的角的集合是

S={^=30°+jt-360°,JtezjU{^=210°4-^360°,k^Z]=30°+2k-180°,2=Z}U{邓=30°+

10

180°+2^-180°,1WZ}={/?|/?=3O0+2118O。,1£Z}U{配=30。+(2%+1)480°,%£2}={缈=30。+/180°,

女£Z}.

三、解答题

10.已知夕=一1910。.

(1)把a写成夕+女360。伙£2,0。《尸《360。)的形式，并指出它是第几象限角；

(2)求仇使0与a的终边相同，且一720。^^0。.

［解析］(1)设。=夕+260。(左£2),

则p=~\910。一&,360°(&£2).

令一1910。一卜360。20°,解得左W一堵-=一51|.

k的最大整数解为攵=-6,求出相应的£=250。，

于是。=250。-6乂360。，它是第三象限角.

(2)令e=250°+/r360°(〃£Z),

取〃=一1,一2就得到符合一720。五长0。的角.

250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.

故。=一110。或。=一470。.

B组•素养提升

一、选择题

1.已知角勿的终边在x轴上方，那么角a的范围是(C)

A.第一象限角的集合

B.第一或第二象限角的集合

C.第一或第三象限角的集合

D.第一或第四象限角的集合

［解析］由题意得：36(TMv2av36(r/十180\&BZ.

・・・2180°vct<P1800+90°,kGZ,故选C.

2.集合A={a|a=k900-36。，kWZ),{^|-180°<^<I80°),则AAB等于(C)

A.{-36°,54°}

B.{-126°,144°}

C.{-126°,-36°,54°,144°}

D.{-126°,54°}

［解析］令&分别取一1,0,12对应得到a的值为一126。，-36°,54。，144。.故选C.

3.(多选题)下列与412。角的终边相同的角是(ACD)

A.52°B.778°

11

C.-308°D.1132°

［解析］因为412。=360。+52。，所以与412。角的终边相同的角为£=k乂360。+52。，当k=-\时，

夕=一308。；当k=0时，£=52。；当k=2时，4=772。；当2=3时，［$=\132。.综上，ACD正确.

4.（多选题）下列条件中，能使Q和/7的终边关于y轴对称的是（BD）

A.“+4=90。

B.a+S=180。

C.夕=/360。+90。（％£2）

D..+片（22+1）4800（/Z）

［解析］假设扇用为0。〜180。内的角，如图所示，因为£的终边关于），轴对称，所以0+/?=180。，

所以B满足条件；结合终边相同的角的概念，可得。+尸=2・360。+180。=（22+1>180。/丘2）,所以D满足

条件，AC都不满足条件.

二、填空题

5.与一500。角的终边相同的最小正角是220。,最大负角是一140。.

［解析］与一500。角的终边相同的角可表示为。=幺360。-500。（2£Z）,当k=2时。=220。为最小正角,

当k=\时a=-140。为最大负角.

6.已知角B的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么—!!!㈤〃180°+30°vav〃480。

+150〉，刀£Z}.

［解析］在0。〜360。范围内，终边落在阴影内的角a的取值范围为30。<0<150。与210。<。<330。，所以所

有满足题意的角a的集合为{。体360。+30。<。<七360。+150。，U{a|jt-360o+210o<a<A-360o+330°,kW

Z}={a\2h\80°+30°va<2k180°+150°,k£Z}U{a\(2k+1)180°+3O°va〈(2A+1)-180°+150°,k^Z］=

{a\n\80°+30°<a<nl80°+l50°,/?£Z}.

三、解答题

7.在集合{a|a=B90°+45。,-WZ}中

(1)有几种终边不相同的角？

12

⑵有几个在区间(一360。，360。)内的角？

(3)写出其中的第三象限角.

［解析］(1)由2=4〃,4〃+l,4〃+2,4〃+3(〃£Z),知在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种.

Q7

(2)由-360。<拈90。+45°<360°,得一尹时.

又上£Z,故左=一4,一3,-2,-1,0,123.所以在给定的角的集合中在区间(一360。，360。)内的角共有

8个.

(3)其中的第三象限角为k360。+225。，kSZ.

8.已知角P的终边在直线小%—>=0上.

⑴写出角的集合S；(2)写出S中适合不等式一360弋.<720。的元素.

［解析］

(1)如图，直线，lx-y=0过原点，倾斜角为60。，在0。〜360。范围内，终边落在射线OA上的角是60。,

终边落在射线OB上的角是240。，所以以射线04、。8为终边的角的集合为：

S={缈=60°+拈360°,MZ},S2=WB=240°+k360°,MZ},

所以，角用的集合S=$US2

={缈=60°+k360。，&WZ}U{AW=60°+180°+&・360。，k^Z］

={邓=60。+2k180°,左£Z}U{须=60°+(2k+l>180。，k^Z］

={缈=60。+〃-180。，〃£Z}.

(2)由于一360°W£<720。，即一360°W60°+〃480°<720。，〃£Z,

711

解得一〃£Z,所以〃=一2、一1、0、1、2、3.

所以S中适合不等式一360。辽/?<720。的元素为：

6Do-2X180o=-300°；

600-IX1800=-120°；

&)。-0义180。=60。；

63°+lX180o=240°；

63o+2X180o=420°；

63O4-3X180°=600°.

13

5.1.2弧度制

【素养目标】

1.掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数.（数学运算）

2.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用.（数学运算）

3.根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会引入弧度制的必要性.（逻

辑推理）

【学法解读】

本节在学习中把抽象问题直观化，即借助扇形理解弧度概念，在学角度与弧度换算时巧借兀=180。，学

生可提升自己的数学抽象及数学运算的素养.

必备知识•探新知

基础知识

知识点1度量角的两种制度

⑴角度制.

①定义：用度作为单位来度量角的单位制.

②1度的角：周角的！！！志为1度角,记作1°.

（2）弧度制

①定义：以弧度为单位来度量角的单位制.

②1弧度的角：长度等于生径长的圆弧所对的圆心角叫做L速的角.

③表示方法：1弧度记作1rad.

思考1：圆心角a所对应的弧长与半径的比值是否是唯一的确定的？

提示：一定大小的圆心角a的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关.

知识点2弧度数

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是Q

如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为/,那么角a的弧度数的绝对值是lal=!!!

思考2：（1）建立弧度制的意义是什么？

（2）对于角度制和弧度制，在具体的应用中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？

提示：（1）在瓠度制下，角的集合与实效R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（即

这个角的瓠度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即瓠度数等于这个实数的角）与它对

应.

（2）角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混用，例如。=上360。+小2£Z）,p=2kn

14

+60。伏WZ)等写法都是不规范的，应写为1=%360。+30。(攵0,Q=2E+枭£Z).

知识点3弧度与角度的换算公式

(1)周角的弧度数是2兀，而在角度制下的度数是360。，于是360。=2兀rad,即

....：1°=薪句0.01745rad

180°=wrad|：；：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：：...

二・；Irad=(-l^-)0=57.30°

根据以上关系式就可以进行弧度与角度的换算了.

瓠度与角度的换算公式如下：

若一个角的弧度数为a,角度数为〃，则arad=(』警)。，•■嵩rad.

⑵常用特殊角的弧度数

0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

!!!!!!!!!!!!!!!!!!jV!

0E27r

n22n37t57t7t37r

4TTTT

(3)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起:-一对应关系:每一个角都有唯一

的一个实教(即这个角的弧度数)与它对应：反过来，任一个实数也都有唯一的一个鱼(即弧度数等于这个实

数的角)与它对应.

思考3：(1)角度制与弧度制在进制上有何区别？

(2)弧度数与角度数之间有何等量关系？

提示：(1)角度制是六十进制，而弧度制是十进制的实数.

(2)瓠度数=角度数X焉；

1QA

角度数=瓠度数x(」詈).

知识点4弧度制下的弧长公式与扇形面积公式

(1)弧长公式

在半径为r的圆中，弧长为/的弧所对的圆心角大小为a,则同=%变形可得/=囱£,此公式称为弧长

公式，其中a的单位是弧度.

(2)扇形面积公式

由圆心角为1rad的扇形面积晦而弧长为/的扇形的圆心角大小注rad,故其面积为

=/，将/=即代入上式可得S=/=如凡此公式称为扇形面积公式.

思考4：(1)弧度制下弧长公式及扇形面积公式有哪些常用变形形式？

15

（2）弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？

提示：⑴①|。|=看：②氏=由

2020

③闷=京；@R=—

（2）由弧度制下的瓠长公式及扇形面枳公式可知，对于a,R,/,S四个量，可“知二求二”.这实质上

是方程思想的应用.

基础自测

1.下列说法中正确的是（D）

A.1弧度是1度的圆心角所对的弧

B.1弧度是长度为半径长的弧

C.1弧度是1度的弧与1度的角之和

D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位

［解析］利用弧度的定义及角度的定义判断.

选项结论理由

A错误

B错误长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度是角的一种

C错误度量单位，不是长度的度量单位.

D正确

2.一300。化为弧度是（B）

4兀

A.-TB.

7兀D.-普

C.

3.已知半径为10cm的圆上，有一条弧的长是40cm,则）该弧所对的圆心角的弧度数是4.

4.如果。=-2,贝Ijci的终边所在的象限为（C）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

［解析］因为一户一2v一会所以a的终边在第三象限.

5.与60。终边相同的角可表示为（D）

A.左360。+孤WZ)

16

B.2E+60°伏£Z)

C.203600+60°(2eZ)

Tl

D.2E+«&£Z)

［解析］60。化为瓠度制等于会与含边相同的角可表示为2E+界£Z).

关键能力•攻重难

题型探究

题型一角度与弧度的换算及应用

»・例1将下列角度与弧度进行互化：

(1)20°；(2)-800°；(3)患；(4)一会.

［解析］(l)20°=20X^=1；

⑵一800°=一800X焉=一事；

⑶居=纵(祟。=105。；

(4)一去=―氏义(号)°=-144°.

［归纳提升］角度制与弧度制互化的原则和方法

⑴原则：牢记180。=兀惊(1,充分利用和1rad=(3^)。进行换算.

(2)方法：设一个角的弧度数为a,角度数〃，«'Jarad=a-(^^)°;〃°=〃,盍・

【对点练习】❶设w=-570。、a2=750。、仇=尚、色=一生

⑴将外、。2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；

⑵将小、成2用角度制表示出来，并指出它们各自所在象限.

［解析］⑴•••18O°=7trad,

§70汽197r

:.-570°一180-6，

rucc750兀25兀.n

8=750=的=可=2义2兀+不.

17

二内在第二象限,G2在第一象限.

(2)^i=y=1x180°=108°.

JT

伤=一1=一60。，.・.由在第二象限，少在笫四象限.

题型二用弧度制表示给定区域角的集合

»・例2用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合.

［分析］本题考查区域角的表示，关键是要确定好区域的起止边界.

［解析］(1)225。角的终边可以看作是一135。角的终边，化为弧度，即一个，60。角的终边即号的终边，所

以终起落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{a|2E—苧Z<2H+1,kGZ］.

(2)与⑴类似可写出终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为{a|2E+*a〈2E+冬％£Z}U

{a|2E+7c+*av2E+7c+5,攵£Z}={a|wc+*a<〃兀+］,〃£Z}.

［归纳提升］解答本题时常犯以下三种错误.

(1)弧度与角度混用.

(2)终边在同一条直线上的角未合并.

(3)将图①中所求的角的集合错误地写成{a4|/+2E〈aq7T+2E,kGZ\,这是一个空集.对于区域角的

书写，一定要看其区间是否跨越x轴的正半轴，若区间冷越x轴的正半轴，则在“前面”的角用负角表示，

“后面”的角用正角表示；若区间不跨越x轴的正半轴，则无须这样写.

【对点练习】❷用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集

合(不包括边界)，如图所示.

［解析］(1)330。和60。的终边分别对应一热多所表示的区域位于一号生之间且跨越x轴的正半轴，所

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以终辿落在阴影部分的角的集合为{42E—/学<2E+$k£Z}.

(2)210。和135。的终边分别对应一*P尊所表示的区域位于一普与子之间且跨越x轴的正半轴，所以

终边落在阴影部分的角的集合为W2E—景咏2E+%kGZ).

(3)30。=去210。=普，所表示的区域由两部分组成，即终边落在阴影部分的角的集合为{眼

+/A£Z}U{a2E+7C“<2ht+卷，k£Z}={O|2EvO<2E+2，2£Z}U{秋2攵+1)庐0<(22+1)兀+5，k£Z)

={〃|“冗〈0〈〃兀+5，〃£Z}.

题型三弧长公式和扇形面积公式的应用

(2020・东北师大附中单元测试)已知扇形的周长是8cm,面积为3cn?,那么这个扇形的圆

心角的弧度数(圆心角为正)为!！！缄6.

［解析］设这个扇形的半径为r,孤长为/,圆心角的弧度数为出由题意辔

2r+/=8,

r=3,

%=3,解得

1=2

Ya是扇形的圆心角的弧度数，，0va<2兀

/2

当，=3,/=2时，a=~=y符合题意；

当，=1,/=6时，。=:=?=6,符合题意.

综上所述，这个扇形的圆心角的弧度数为彳或6.

［归纳提升］1.运用扇彩弧长及面积公式时应注意的问题.

(1)由扇形的弧长及面积公式可知，对于a,r,/,S中“知二求二”的问题，其实质上是方程思想的运

用.

(2)运用弧度制下扇形的弧长公式与面积公式比用角度制下的公式要简单得多.若角是以“度”为单位

的，则必须先将其化成弧度，再计算.

(3)在运用公式时，还应熟练掌握下面几个公式.

①/=w,a=:,/•=：

0122s

②5=］a厂，</=产

2.解决扇形的周长或面积的最值问题的关键是运用函数思想，把要求的最值问题转化为求函数的最值

问题即可.

19

【对点练习】❸（1）一个扇形的面积为15几，弧长为5兀，则这个扇形的圆心角为（D）

四乙

&A6BR.3

DY

⑵（2021・厦门期末）若