【优化方案】2021高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测：第10章-第3课时

[基础达标]一、选择题1．(2022·辽宁六校联考)某产品在某零售摊位上的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：x16171819y50344131由上表可得回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－4，据此模型估量零售价定为15元时，每天的销售量为()A．48个 B．49个C．50个 D．51个解析：选B.由题意知eq\o(x,\s\up6(－))＝17.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝39，代入回归直线方程得eq\o(a,\s\up6(^))＝109.当x＝15时，eq\o(y,\s\up6(^))＝109－15×4＝49.2．(2022·武汉二中高考模拟试题)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：加工零件数x(个)1020304050加工时间y(分钟)6469758290经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列推断正确的是()A．成正相关，其回归直线经过点(30,76)B．成正相关，其回归直线经过点(30,75)C．成负相关，其回归直线经过点(30,76)D．成负相关，其回归直线经过点(30,75)解析：选A.随着x的增大，y也增大，所以成正相关．又eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(10＋20＋30＋40＋50,5)＝30，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(64＋69＋75＋82＋90,5)＝76，所以回归直线经过点(30,76)．3．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080依据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，据此模型来猜想当x＝20时，y的估量值为()A．210 B．210.5C．211.5 D．212.5解析：选C.由已知得eq\o(x,\s\up6(－))＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝54，则(5，54)满足回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝1.5，因此eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋1.5.当x＝20时eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5×20＋1.5＝211.5.4．(2022·山东东营模拟)已知变量x与y之间的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋2x，若eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝17，则eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi的值等于()A．3 B．4C．0.4 D．40解析：选B.依题意x＝eq\f(17,10)＝1.7，而直线eq\o(y,\s\up6(^))＝－3＋2x确定经过(x，y)，所以y＝－3＋2x＝－3＋2×1.7＝0.4，∴eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝0.4×10＝4.5．已知x与y之间的几组数据如下表：x123456y021334假设依据上表数据所得线性回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).若某同学依据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则以下结论正确的是()A.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ B.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′C.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ D.eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))<a′解析：选C.由(1，0)，(2，2)求b′，a′.b′＝eq\f(2－0,2－1)＝2，a′＝0－2×1＝－2.求eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))时，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，eq\o(x,\s\up6(－))＝3.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(13,6)，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(58－6×3.5×\f(13,6),91－6×3.52)＝eq\f(5,7)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\f(13,6)－eq\f(5,7)×3.5＝eq\f(13,6)－eq\f(5,2)＝－eq\f(1,3)，∴eq\o(b,\s\up6(^))<b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′.二、填空题6．(2022·武汉市部分学校高三调研)某地区恩格尔系数y(%)与年份x统计数据如下表：年份x2004200520062007恩格尔系数y(%)4745.543.541从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋4055.25，则eq\o(b,\s\up6(^))＝________，据此模型可猜想2022年该地区的恩格尔系数(%)为________．解析：由于eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2004＋2005＋2006＋2007,4)＝2005.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(47＋45.5＋43.5＋41,4)＝44.25，且点eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))在回归直线方程y＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋4055.25上，代入得eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，所以回归直线方程为y＝－2x＋4055.25.当x＝2012时，y＝31.25.故可猜想2022年该地区的恩格尔系数为31.25.答案：－231.257．(2022·辽宁大连市双基测试)已知下列表格所示数据的回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝3.8x＋a，则a的值为________.x23456y251254257262266解析：由已知得，x＝4，y＝258，由于点(x，y)在回归直线上，所以a＝242.8.答案：242.88．(2022·山东济南市模拟考试)为了均衡训练资源，加大对偏远地区的训练投入，调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年训练支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年训练支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.15x＋0.2.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年训练支出平均增加________万元．解析：由题意知，0.15(x＋1)＋0.2－(0.15x＋0.2)＝0.15.答案：0.15三、解答题9．(2022·武汉市高三模拟考试)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20；(2)估量在今后的销售中，销量与单价照旧听从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)由于eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(2)设工厂获得的利润为L元，依题意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－8.25)2＋361.25.当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．10．为了分析某个高二同学的学习状态，对其下一阶段的学习供应指导性建议．现对他前7次考试的数学成果x、物理成果y进行分析．下面是该生7次考试的成果.数学888311792108100112物理949110896104101106(1)他的数学成果与物理成果哪个更稳定？请给出你的证明；(2)已知该生的物理成果y与数学成果x是线性相关的，若该生的物理成果达到115分，请你估量他的数学成果大约是多少？解：(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝100＋eq\f(－12－17＋17－8＋8＋12,7)＝100，eq\o(y,\s\up6(－))＝100＋eq\f(－6－9＋8－4＋4＋1＋6,7)＝100，所以数学的方差是eq\f(1,7)(144＋289＋289＋64＋64＋144)＝142.物理的方差是eq\f(1,7)(36＋81＋64＋16＋16＋1＋36)＝eq\f(250,7).从而物理的方差小于数学的方差，所以物理成果更稳定．(2)由于x与y之间具有线性相关关系，依据回归系数公式得到，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝50，则y＝0.5x＋50.所以回归直线方程为y＝0.5x＋50.当y＝115时，x＝130，即该生物理是115分时，数学成果是130.[力气提升]一、选择题1．(2022·黄冈中学高三模拟)经统计，用于数学学习的时间(单位：小时)与成果(单位：分)近似于线性相关关系．对某小组同学每周用于数学的学习时间x与数学成果y进行数据收集如下：x1516181922y10298115115120由表中样本数据求得回归方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(a,\s\up6(^))，\o(b,\s\up6(^))))与直线x＋18y＝100的位置关系是()A．点在直线左侧 B．点在直线右侧C．点在直线上 D．无法确定解析：选B.样本数据的中心点为(18，110)，在直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))上，则eq\o(a,\s\up6(^))＋18eq\o(b,\s\up6(^))＝110>100.故点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(a,\s\up6(^))，\o(b,\s\up6(^))))在直线x＋18y＝100的右侧．2．(2022·安徽合肥检测)由数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)求得线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则“(x0，y0)满足线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))”是“x0＝eq\f(x1＋x2＋…＋x10,10)，y0＝eq\f(y1＋y2＋…＋y10,10)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B.(x0，y0)为这10组数据的平均值，又由于回归直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必过样本中心点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，因此(x0，y0)确定满足线性回归方程，但坐标满足线性回归方程的点不愿定是(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．二、填空题3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．依据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发觉表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为________.解析：零件个数的平均值eq\o(x,\s\up6(－))＝30，设零件为20个的对应加工时间为tmin，加工时间的平均值eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(307＋t,5)，由于回归直线必经过点(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，代入回归方程y＝0.67x＋54.9，计算得t＝68.答案：684．(2022·广东梅州质检)在2021年8月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x99.5m10.511销售量y11n865由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝________．解析：eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(9＋9.5＋m＋10.5＋11,5)＝8＋eq\f(m,5)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(11＋n＋8＋6＋5,5)＝6＋eq\f(n,5)，线性回归直线确定经过样本中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，即6＋eq\f(n,5)＝－3.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8＋\f(m,5)))＋40，即3.2m＋n＝42.又∵m＋n＝20，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.2m＋n＝42，,m＋n＝20，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝10，))故n＝10.答案：10三、解答题5．一家商场为了确定营销策略，进行了四次投入促销费用x和商场实际销售额的试验，得到如下数据：投入促销费用x(万元)2356商场实际营销额y(万元)100200300400(1)在下面的直角坐标中，画出上述数据的散点图，并据此推断两个变量是否具有较好的线性相关性；(2)求出x，y之间的回归直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)若该商场方案营销额不低于600万元，则至少要投入多少万元的促销费用？解：(1)散点图，如图所示，从图上可以看出两个变量具有较好的线性相关性．(2)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(100＋200＋300＋400,2)＝250，故所求的回归直线方程为eq