【同步辅导】2021高中数学北师大版必修五导学案：《数列在日常经济生活中的应用》

第11课时数列在日常经济生活中的应用1.把握等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式及其应用.2.了解银行存款的种类及存款计息方式.3.体会“零存整取”、“定期自动转存”、“分期付款”等日常经济生活中的实际问题.4.感受从数学中发觉美的乐趣,体验成功解决问题的欢快,激发学习数学的爱好.某人有七位伴侣.第一位伴侣每天晚上都去他家看他,其次位伴侣每隔一个晚上到他家去,第三位伴侣每隔两个晚上去他家串门,第四位伴侣每隔三个晚上去他家做客,依次类推,直至第七位伴侣每隔六个晚上在他家消灭.这七位伴侣昨晚在仆人家中碰面,请问他们还会在同一个晚上在仆人家中碰面吗?我们来分析下,第一位伴侣每天晚上都在;其次位伴侣第2,4,6,8,…天在,是首项为2,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n;第三位伴侣第3,6,9,…天在,是首项为3,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n;第四、五、六、七位伴侣在的时间的通项公式分别为an=4n,an=5n,an=6n,an=7n;要使他们在同一晚上消灭,这个数应为这六个数列的公共项,即2,3,4,5,6,7的公倍数,而2,3,4,5,6,7的最小公倍数为420,因此第420,840,1260,…天晚上他们会同时在仆人家消灭.问题1:数列应用问题的常见模型(1):一般地,假如增加(或削减)的量是一个固定的具体量时,那么该模型是等差模型,增加(或削减)的量就是公差,其一般形式是:an+1-an=d(d为常数).

(2):一般地,假如增加(或削减)的百分比是一个固定的数时,那么该模型是等比模型.

(3):在一个问题中,同时涉及等差数列和等比数列的模型.

(4):假如简洁找到该数列任意一项an+1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式,那么我们可以用递推数列的学问求解问题.

问题2:解题时怎样推断是用等差数列还是等比数列来求解?一般涉及递增率什么的,用到;涉及依次增加或者削减什么的,用到,或者有的问题是通过转化得到的,在解决问题时要往这些方面去联系.

问题3:与银行利率相关的几类模型(1)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和.

(2)银行储蓄复利公式:利息按复利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和.

(3)产值模型:原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值.

(4)分期付款模型a为贷款总额,r为月利率,b为月等额本息还款数,n为贷款月数,则b=r(1+r)问题4:数列综合应用题的解题步骤(1)——弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.

(2)——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”,每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.

(3)——分别求解这些小题或这些小“步骤”,从而得到整个问题的解答.

(4)——将所求结果还原到实际问题中.

具体解题步骤如下框图:1.夏季高山上的气温从山脚起每上升100米降低0.7度,已知山脚气温为26度,山顶气温为14.1度,那么此山相对山脚的高度为()米.A.1600 B.1700 C.1800 D.19002.依据市场调查结果,猜测某种家用商品从年初开头的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足关系式:Sn=n90(21n-n2-5)(n=1,2,…,12),按此猜测,在本年度内,需求量超过1.5万件的月份是()A.5、6月 B.6、7月 C.7、8月 D.8、9月3.阿明存入5万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,那么10年后共得本息和为万元.(精确到0.001)

4.一件家用电器,现价2000元,实行分期付款,每期付款数相同,购买后一个月付款一次,共付12次,一年后还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少元(精确到0.01元)?等差数列模型某旅游公司年初用98万元购买一艘游艇,第一年各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年旅游收益50万元.(1)问第几年开头获利?(2)若干年后,有两种处理方案:①年平均获利最大时,以26万元出售该游艇;②总纯收入获利最大时,以8万元出售该游艇.问哪种方案合算.分期付款的等比数列模型陈老师购买商品房92m2,单价为10000元/m2,首付432000元以后向银行申请住房商业贷款.经协商住房贷款实行分期付款,经过一年付款一次,……共付10次,10年后付清,假如按年利率7.5%,每年按复利计算,那么每年应付款多少元?(参考下列数据:1.0759≈1.971,1.07510≈2.061,1.07511≈2.216)易错易混点(第几年的中低价房的面积与累计面积)假设某市:2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.估计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?(2)哪年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于85%?有若干台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的小麦,若同时投入工作到收割完毕需要24小时.现在这些收割机是每隔相同的时间挨次投入工作的,每一台投入工作后都始终工作到小麦收割完.假如第一台收割机时间是最终一台的5倍,求用这种方法收割完这片土地的小麦需要多长时间?用分期付款方法购买电器一件,价格为1150元,购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完,若交付150元以后的第一个月开头算分期付款的第一个月,问分期付款的第十个月该交付多少钱?全部贷款付清后,买这件家电实际花多少钱?为了建设和谐社会,我国打算治理垃圾.经调查,近10年来我国城市垃圾的年平均增长率为3%,到2021年底堆存垃圾已达60亿吨,侵占了约5亿平方米的土地,目前我国还以年产1亿吨的速度产生新的垃圾,垃圾治理已刻不容缓.(1)问2004年我国城市垃圾约有多少亿吨?(2)假如从2022年起,每年处理上年堆存垃圾的110,到2021年底,我国城市垃圾约有多少亿吨?可节省土地多少亿平方米1.某放射性物质的质量每天衰减3%,若此物质衰减到其质量的一半以下,则至少需要的天数是(参考数据lg0.97=-0.0132,lg0.5=-0.3010)().A.22 B.23 C.24 D.252.现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余钢管的根数为().A.9 B.10 C.19 D.293.小王每月除去全部日常开支,大约结余a元.小王打算接受零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月初存入银行a元,存期1年(存12次),到期取出本息和.假设一年期零存整取的月利率为r,每期存款按单利计息.那么,小王存款到期利息为元.

4.某商场今年销售计算机5000台.假如平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?1.(2022年·北京卷)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,m的值为 ()A.5B.7C.9D.11考题变式(我来改编):2.(2011年·安徽卷)某国接受养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0),因此,历年所交纳的储务金数目a1,a2,…是一个公差为d的等差数列,与此同时,国家赐予优待的计息政策,不仅接受固定利率,而且计算复利.这就是说,假如固定年利率为r(r>0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,其次年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,……,以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.(1)写出Tn与Tn-1(n≥2)的递推关系式;(2)求证:Tn=An+Bn,其中{An}是一个等比数列,{Bn}是一个等差数列.考题变式(我来改编):第11课时数列在日常经济生活中的应用学问体系梳理问题1:(1)等差模型(2)等比模型(3)混合模型(4)递推模型问题2:等比数列等差数列等差或等比数列问题3:(1)y=a(1+xr)(2)y=a(1+r)x(3)y=N(1+p)x问题4:(1)审题(2)分解(3)求解(4)还原基础学习沟通1.1700从山脚到山顶气温的变化成等差数列,首项为26,末项为14.1,公差为-0.7,设数列的项数为n,则14.1=26+(n-1)×(-0.7),解得n=18,所以山的高度为h=(18-1)×100=1700(米).2.C由an=Sn-Sn-1解得an=130(-n2+15n-9)(n≥2),再解不等式130(-n2+15n-9)>1.5,得6<n<3.6.24610年后的本息和为:a10=5(1+0.0225)10≈6.246(万元).4.解:设每期应付款x元,则第1期付款后欠款2000(1+0.008)-x,第2期付款后欠款(2000×1.008-x)×1.008-x=2000×1.0082-1.008x-x,…第12期付款后欠款2000×1.00812-(1.00811+1.00810+…+1)x,由于第12期付款后欠款为0,所以2000×1.00812-(1.00811+1.00810+…+1)x=0,故x=2000×1.008121.00812-1重点难点探究探究一:【解析】(1)由题设知每年费用构成以12为首项,4为公差的等差数列,设纯收入与年数的关系为f(n).∴f(n)=50n-[12+16+…+(8+4n)]-98=40n-2n2-98.获利即为f(n)>0,即n2-20n+49<0,解之得10-51<n<10+51,即2.9<n<17.1.又n∈N+,∴n=3,4,…,17.∴当n=3时,即第3年开头获利.(2)①年平均收入f(n)n=40-2(n+49n),当n=7时,年均获利最大,总收益为84+②当n=10时,f(n)max=102,总收益为102+8=110万元.比较两种方案,总收益都为110万元,但第一种方案需7年,其次种方案需10年,故选择第一种.【小结】建立数列模型与建立函数模型一样,应抓住数量关系,结合数学方法,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表示.探究二:【解析】设每年应付款x元,那么到最终一次付款时(即购房十年后),第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元,其次年付款及所生利息之和为x×1.0758元,…,第九年付款及其所生利息之和为x×1.075元,第十年付款为x元,而所购房余款的现价及其利息之和为[10000×92-432000]×1.07510=488000×1.07510(元).因此有x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=488000×1.07510(元),所以x=488000×1.07510×1-1.0751-1.07510≈488000×所以每年需交款71096元.【小结】分期付款问题,实质上是等比或等差数列求和问题,解题的视角是建立等量关系式.探究三:【解析】(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,其中a1=250,d=50,则Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n,令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10,即到2021(2)设第n年建筑的中低价房满足题意,则有400(1+8%)n-1·85%<25n2+225n.解出n即可.[问题]上述解法正确吗?[结论]不正确.(2)问中应是第几年的中低价房的面积而不是累计面积.于是,正确解答为:(1)同错解部分.(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1.由题意可知an>0.85bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.由于n是正整数,将1,2,…依次代入可得满足上述不等式的最小正整数n=6,即到2009年底,当年建筑的中低价房的面积占该年建筑住房面积的比例首次大于85%.【小结】对应用题的审题肯定要认真认真,否则很简洁出错.思维拓展应用应用一:依题意,这些联合收割机投入工作的时间构成一个等差数列,按规定的方法收割,所需要的时间等于第一台收割机所需要的时间,即数列的首项.设这n台收割机工作的时间依次为a1,a2,…,an小时,依题意,{an}是一个等差数列,且每台收割机每小时的工作效率为124n,由②得a1+a2+…+an=24n,即n(a1+∴a1+an=48.③由①,③联立,解得a1=40.故用这种方法收割完这片土地上的小麦共需40小时.应用二:购买时付150元,欠1000元,每月付50元,分20次付清.设每月付款数顺次成数列{an},则a1=50+1000×1%=60(元),a2=50+(1000-50)×1%=59.5=60-0.5×1(元),a3=50+(1000-50×2)×1%=59=60-0.5×2(元),…,a10=50+(1000-50×9)×1%=55.5=60-0.5×9(元),an=60-0.5(n-1)=-0.5n+60.5(1≤n≤20),∴{an}是以60为首项,-0.5为公差的等差数列,∴总数=S20+150=20a1+20×192×d+150=1255(元),∴第十个月该交55.5元,全部付清实际花应用三:(1)设2004年我国城市垃圾约有a亿吨,则有a+a(1+3%)+a(1+3%)2+…+a(1+3%)9=60,∴a·1-1.03101-1.03=60(2)2022年底有垃圾60×910+1亿吨2021年底有垃圾(60×910+1)×910+1=60×92102022年底有垃圾(60×92102+910+1)×910+1=60×93……2021年底有垃圾60×(910)6+(910)5+(910)4+…+1=60×(910)6+1-0.9可节省土地23.4×560≈2(亿平方米)基础智能检测1.B依题意有(1-3%)n<0.5,所以n>lg0.5lg0.97≈22.2.B1+2+3+…+n<200,即n(n+1)2<200.明显n=19时,剩余钢管最少,此时最多用去19×2023.78ar依题意得,小王存款到期利息为12ar+11ar+10ar+…+3ar+2