【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-2双基限时练7

双基限时练(七)1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内微小值有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析设x0为f(x)的一个微小值点，则在x0左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，由y＝f′(x)的图象知，只有一个适合．答案A2．已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x－x3的极大值点坐标为(b，c)，则ad等于()A．2 B．1C．－1 D．－2解析y′＝3－3x2，令y′＝0，得x＝±1.可推断函数y＝3x－x3在x＝1处取得极大值，因此极大值点的坐标为(1,2)，即b＝1，c＝2，又ad＝bc，∴ad＝2.答案A3．三次函数当x＝1时，有极大值，当x＝3时，有微小值，且函数的图象过原点，则该三次函数为()A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x解析本题若直接求解，相当于解一个大题，本题依据小题小做的原则，可接受试验找答案，明显四个函数的图象都过原点，下面分别求导函数，验证x＝1和x＝3都是导函数的根，对于B，y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．当x＝1和x＝3时，有y′＝0.而其他不适合题意．答案B4．已知函数y＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A．(2,3) B．(3，＋∞)C．(2，＋∞) D．(－∞，3)解析y′＝6x2＋2ax＋36.依题意知6×22＋4a＋36＝0，∴a＝－15，∴y′＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)，易知当x>3时，y′>0，∴函数的一个增区间为(3，＋∞答案B5．函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－2ax2＋3a2x在(0,1)内有微小值，则实数a的取值范围是()A．(0，＋∞) B．(－∞，3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))解析f′(x)＝x2－4ax＋3a2＝(x－a)(x－3a)，易知a≠0，∴f′(0)＝3a2>0，Δ＝(－4a)2－12a2＝4a2>0，依题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<3a<1，,f′1＝1－4a＋3a2>0.))解得0<a<eq\f(1,3).答案C6．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值，又有微小值，则实数a的取值范围是________．解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，由题意知f′(x)＝0有两个不同的实数根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0，解得a<－1，或a答案a>2或a<－17．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋m，在R上的极大值为20，则实数m＝________.解析f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x＋1)(x－3)，当－1＜x<3时，f′(x)>0，当x>3时，f′(x)<0，∴当x＝3时，f(x)有极大值，则f(3)＝－33＋3×32＋9×3＋m＝20，∴m＝－7.答案－78．曲线y＝eq\f(1,2)x2＋4lnx上切线斜率的微小值为________．解析y′＝x＋eq\f(4,x)(x>0)，令g(x)＝x＋eq\f(4,x)，则g′(x)＝1－eq\f(4,x2).令g′(x)＝0，得x＝2.当x∈(0,2)时，g′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时g′(x)>0，∴当x＝2时，g(x)有微小值g(2)＝2＋eq\f(4,2)＝4.答案49．函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①－3是函数y＝f(x)的极值点；②－1是函数y＝f(x)的最小值点；③y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增；④y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是________．解析由f′(x)的图象知，在－3的左右两侧f′(x)符号左负右正，是极值点，故①正确；②错；在(－3,1)上f′(x)≥0，故③正确；k＝f′(0)>0，故④错．答案①③10．设x＝－2，x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求常数a，b；(2)推断x＝－2，x＝4是函数f(x)的极大值点还是微小值点，并说明理由．解(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由极值点的必要条件可知，x＝－2，x＝4是方程f′(x)＝0的两根．∴a＝－3，b＝－24.(2)f′(x)＝3x2－6x－24＝3(x＋2)(x－4)当x<－2时，f′(x)>0，当－2<x<4时，f′(x)<0，当x>4时，f′(x)>0，∴x＝－2是f(x)的极大值点，x＝4是f(x)的微小值点．11．设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.(1)求f(x)的单调区间；(2)争辩f(x)的极值．解由已知得，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝a－1，(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．当a>1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]．f′(x)，f(x)随x的变化状况如下表：x(－∞，0)0(0，a－1)a－1(a－1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘微小值↗从表上可知，函数f(x)在(－∞，0)上单调递增；在(0，a－1)上单调递减；在(a－1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，当a＝1时，函数f(x)没有极值．当a>1时，函数在x＝0处取得极大值1，在x＝a－1处取得微小值1－(a－1)3.12．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．解∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b又f′(1)＝2a，∴3＋2a＋b＝∴b＝－3.令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b又f′(2)＝－b，∴12＋4a＋b＝－b解得a＝－eq\f(3,2).∴f(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－3x＋1.从而f(1)＝－eq\f(5,2).又∵f′(1)＝2×(－eq\f(3,2))＝－3.故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(－eq\f(5,2))＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.(2)由(1)知，g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，∴g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x＝－3x(x－3)e－x.令g′(x)＝0，得x1＝0，x2＝3.当x∈(－∞，0