【名师一号】2020-2021学年人教A版高中数学选修2-1双基限时练21

双基限时练(二十一)1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α法向量的是()A．(0，－3,1) B．(2,0,1)C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)答案D2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝()A．2 B．－4C．4 D．－2答案C3．若平面α与平面β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，与b＝(1,0,2)，则平面α与平面β的位置关系是()A．平行 B．垂直C．相交不垂直 D．无法判定答案B4．若直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2这两条异面直线所成的角等于()A．30° B．150°C．30°或150° D．以上均错答案A5．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于()A．120° B．60°C．30° D．以上均错解析如图所示，易知直线l与平面α所成的角为30°.答案C6．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)，－\f(\r(3),3)))解析∵eq\o(AB,\s\up16(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AC,\s\up16(→))＝(－1,0,1)，结合选项，验证知应选D.答案D7．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，则平面ACB1解析建立空间直角坐标系，如图所示，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，B1(1,1,1)，∴eq\o(AC,\s\up16(→))＝(－1,1,0)，eq\o(AB1,\s\up16(→))＝(0,1,1)．设平面ACB1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则由n⊥eq\o(AC,\s\up16(→))，n⊥eq\o(AB1,\s\up16(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋y＝0，,y＋z＝0，))令x＝1，得n＝(1,1，－1)．答案(1,1，－1)8．若两个平面α，β的法向量分别等于u＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是____________________．解析∵a＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)，∴|u|＝eq\r(2)，|v|＝eq\r(2)，u·v＝－1.∴cos〈u·v〉＝－eq\f(1,2).∴〈u，v〉＝120°，故两平面所成的锐二面角为60°.答案60°9．已知直线l1的一个方向向量为v1＝(1，－1,2)，直线l2的一个方向向量为v2＝(3，－3,0)，则两直线所成角的余弦值为________．解析cos〈v1，v2〉＝eq\f(v1·v2,|v1|·|v2|)＝eq\f(3＋3,\r(6)·\r(18))＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)10．给定下列命题：①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的法向量，且向量a与平面α共面，则a·n＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面肯定不垂直．其中正确命题的序号是________．答案①③④11．设a，b分别是直线l1和l2的方向向量，依据下列条件推断l1与l2的位置关系．(1)a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)；(2)a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)；(3)a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)．解(1)∵a＝(2,3，－1)，b＝(－6，－9,3)，∴a＝－eq\f(1,3)b，∴a∥b，∴l1∥l2.(2)∵a＝(5,0,2)，b＝(0,4,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.(3)∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a与b不共线，也不垂直，∴l1与l2的位置关系是相交或异面．12．设u，v分别是平面α，β的法向量，依据下列条件推断α，β的位置关系．(1)u＝(1，－1,2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))；(2)u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)；(3)u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．解(1)∵u＝(1，－1,2)，v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2，－\f(1,2)))，∴u·v＝3－2－1＝0.∴u⊥v，∴α⊥β.(2)∵u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)，∴u＝－eq\f(3,5)v，∴u∥v，∴α∥β.(3)∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴u与v既不共线，也不垂直，∴平面α与β相交(不垂直)．13．设u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，依据下列条件推断α与l的关系．(1)u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)；(2)u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)；(3)u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)．解(1)∵u＝(2,2，－1)，a＝(－3,4,2)，∴u·a＝－6＋8－2＝0.∴u⊥a.∴直线l与平面α的位置关系是l⊂α或l∥α.(2)∵u＝(0,2，－3)，a＝(0，－8,12)，∴u＝－eq\f(1,4)a.∴u∥a，∴l⊥α.(3)∵u＝(4,1,5)，a＝(2，－1,0)，∴u与a不共线也不垂直．∴l与α相交(斜交)．14．若直线a和b是两条异面直线，它们的方向向量分别是(1,1,1)，和(2，－3，－2)，求直线a和b的公垂线的一个方向向量．解设直线a与b的公垂线的一个方向向量为n＝(x，y，z)，则n⊥(1,1,1)，n⊥(2，－3，－2)，∴eq\b\lc