【2022届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固：第1章-第1节-集合

第一章第一节一、选择题1．(文)集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝cosx，x∈A}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．{－1,0,1}[答案]B[解析]∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B＝{1，cos1}，∴A∩B＝{1}．(理)(2021·江苏南通一模)集合A＝{－1,0,1}，B＝{y|y＝ex，x∈A}，则A∩B＝()A．{0} B．{1}C．{0,1} D．{－1,0,1}[答案]B[解析]∵x∈A，∴B＝{eq\f(1,e)，1，e}，∴A∩B＝{1}．故选B．2．(文)已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则∁U(A∪B)＝()A．{6,8} B．{5,7}C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}[答案]A[解析]∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U(A∪B)＝{6,8}．(理)(2022·乌鲁木齐地区三诊)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，集合B＝{2,4}，则(∁UA)∪B为()A．{2,4,5} B．{1,3,4}C．{1,2,4} D．{2,3,4,5}[答案]A[解析]∁UA＝{2,5}，∴(∁UA)∪B＝{2,4,5}．3．设集合A＝{x|y＝eq\r(3x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B为()A．[0,3] B．(2,3]C．[3，＋∞) D．[1,3][答案]B[解析]由3x－x2≥0得，0≤x≤3，∴A＝[0,3]，∵x>1，∴y＝2x>2，∴B＝(2，＋∞)，∴A∩B＝(2,3]．4．已知集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q等于A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}[答案]B[解析]依据题意P∩Q＝{0}，所以log2a解得a＝1从而b＝0，可得P∪Q＝{3,0,1}，故选B．5．(2022·山西高校附中月考)设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x的值为()A．0 B．－2C．0或－2 D．0或±2[答案]C[解析]当x2＝4时，x＝±2，若x＝2，则不满足集合中的元素的互异性，∴x≠2；若x＝－2，则A＝{1,4，－4}，B＝{1,4}，满足题意，当x2＝2x时，x＝0或2(舍去)，x＝0满足题意，∴x＝0或－2.6．(文)(2021·山东潍坊一模)已知R为全集，A＝{x|(1－x)·(x＋2)≤0}，则∁RA＝()A．{x|x<－2，或x>1} B．{x|x≤－2，或x≥1}C．{x|－2<x<1} D．{x|－2≤x≤1}[答案]C[解析]∵(1－x)(x＋2)≤0，即(x－1)(x＋2)≥0，∴x≤－2或x≥1.∴A＝{x|x≤－2，或x≥1}．∴∁RA＝{x|－2<x<1}，故选C．(理)(2021·辽宁大连一模)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)[答案]B[解析]易知A＝{x|0≤x≤2}．∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴a∈(－∞，0]，故选B．二、填空题7．(文)已知集合A＝{(x，y)|x、y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x、y为实数，且y＝－x＋1}，则A∩B的元素个数为________．[答案]2[解析]集合A表示圆x2＋y2＝1上的全部的点，集合B表示直线y＝－x＋1上的全部的点，故A∩B表示圆与直线的交点．由于直线与圆相交，故这样的点有两个．(理)已知集合A＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________.[答案]{(0,1)，(－1,2)}[解析]A、B都表示点集，A∩B即是由集合A中落在直线x＋y－1＝0上的全部点组成的集合，将A中点的坐标代入直线方程检验知，A∩B＝{(0,1)，(－1,2)}．8．(2022·长春市调研)设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中有________个元素．[答案]6[解析]∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素．9．(文)若A＝{x|22x－1≤eq\f(1,4)}，B＝{x|logeq\f(1,16)x≥eq\f(1,2)}，实数集R为全集，则(∁RA)∩B＝________.[答案]{x|0<x≤eq\f(1,4)}[解析]由22x－1≤eq\f(1,4)得，x≤－eq\f(1,2)，由logeq\f(1,16)x≥eq\f(1,2)得，0<x≤eq\f(1,4)，∴(∁RA)∩B＝{x|x>－eq\f(1,2)}∩{x|0<x≤eq\f(1,4)}＝{x|0<x≤eq\f(1,4)}．(理)已知全集U＝R，函数y＝eq\f(1,\r(x2－4))的定义域为M，N＝{x|log2(x－1)<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是________．[答案](－∞，－2)∪[3，＋∞)[分析]将阴影部分用已知集合表示是关键．[解析]∵M＝(－∞，－2)∪(2，＋∞)，N＝(1,3)．阴影部分为(∁UN)∩M.∴∁UN＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．(∁UN)∩M＝(－∞，－2)∪[3，＋∞)．三、解答题10．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}．(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围．[解析]集合A是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝－32－8a<0，))∴a>eq\f(9,8)，即实数a的取值范围是(eq\f(9,8)，＋∞)．(2)当a＝0时，方程只有一解eq\f(2,3)，此时A中只有一个元素eq\f(2,3)；当a≠0时，应有Δ＝0，∴a＝eq\f(9,8)，此时方程有两个相等的实数根，A中只有一个元素eq\f(4,3)，∴当a＝0或a＝eq\f(9,8)时，A中只有一个元素，分别是eq\f(2,3)和eq\f(4,3).(3)A中至多有一个元素，包括A是空集和A中只有一个元素两种状况，依据(1)，(2)的结果，得a＝0或a≥eq\f(9,8)，即a的取值范围是{a|a＝0或a≥eq\f(9,8)}．一、选择题11．(文)已知A、B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝()A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}[答案]D[解析]由题意知，A中有3和9，若A中有7或5，则∁UB中无7和5，即B中有7或5，则与A∩B＝{3}冲突，故选D．(理)已知M＝{y|y＝x2}，N＝{y|x2＋y2＝2}，则M∩N＝()A．{(1,1)，(－1,1)} B．{1}C．[0,1] D．[0，eq\r(2)][答案]D[解析]∵M＝[0，＋∞)，N＝[－eq\r(2)，eq\r(2)]，∴M∩N＝[0，eq\r(2)]，故选D．[点评]本题特殊易错的地方是将数集误认为点集．12．(文)设全集为U，集合A、B是U的子集，定义集合A与B的运算：A*B＝{x|x∈A或x∈B，且x∉(A∩B)}，则(A*B)*A等于()A．A B．BC．(∁UA)∩B D．A∩(∁UB)[答案]B[分析]本题考查对集合新运算的理解，在韦恩图中，先画出A*B所表示的部分，再画出(A*B)*A表示的部分．[解析]画一个一般状况的Venn图，如图所示，由题目的规定，可知(A*B)*A表示集合B．(理)(2021·青岛一模)设A，B是两个非空集合，定义运算A×B＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A＝{x|y＝eq\r(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B＝()A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪(2，＋∞)C．[0,1] D．[0,2][答案]A[解析]由2x－x2≥0解得0≤x≤2，则A＝[0,2]．又B＝{y|y＝2x，x>0}＝(1，＋∞)，∴A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)，故选A．13．(2022·巢湖质检)设集合A＝{x|eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,4)＝1}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝()A．[－2,2] B．[0,2]C．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}[答案]B[解析]A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．14．(文)(2022·湖北八校其次次联考)设集合A＝{x|x2－(a＋3)x＋3a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中全部元素之和为8，则实数a的取值集合为A．{0} B．{0,3}C．{1,3,4} D．{0,1,3,4}[答案]D[解析]由题意，若a≠3，则A＝{3，a}，B＝{1,4}．∵1＋3＋4＝8，∴a＝0,1或4.若a＝3，则A＝{3}满足题意，故a的取值集合为{0,1,3,4}．(理)(2022·北京顺义第一次统考)设数集M同时满足条件：①M中不含元素－1,0,1；②若a∈M，则eq\f(1＋a,1－a)∈M.则下列结论正确的是()A．集合M中至多有2个元素B．集合M中至多有3个元素C．集合M中有且仅有4个元素D．集合M中有无穷多个元素[答案]C[解析]由条件②可知，若a∈M，则eq\f(1＋a,1－a)∈M，则eq\f(1＋\f(1＋a,1－a),1－\f(1＋a,1－a))＝－eq\f(1,a)∈M，eq\f(1－\f(1,a),1＋\f(1,a))＝eq\f(a－1,a＋1)∈M，则eq\f(1＋\f(a－1,a＋1),1－\f(a－1,a＋1))＝eq\f(2a,2)＝a∈M；由条件①可知a、eq\f(1＋a,1－a)、－eq\f(1,a)、eq\f(1－a,1＋a)互不相等，故集合M＝{a，eq\f(1＋a,1－a)，－eq\f(1,a)，eq\f(1－a,1＋a)}，有且仅有4个元素．二、填空题15．(文)(2021·湘潭模拟)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.[答案]1[解析]∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.(理)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．[答案]2[解析]∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.16．(文)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．[答案][2，＋∞)[解析]∵∁RB＝(－∞，1)∪(2，＋∞)且A∪(∁RB)＝R，∴{x|1≤x≤2}⊆A，∴a≥2.(理)(2022·兰州模拟)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m的值为________．[答案]0或2或3[解析]当m＝0时，B＝∅⊆A；当m≠0时，由B＝{eq\f(6,m)}⊆{2,3}可得eq\f(6,m)＝2或eq\f(6,m)＝3，解得m＝3或m＝2，综上可得实数m＝0或2或3.三、解答题17．(文)(2022·南昌模拟)已知集合A＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，B＝{x|x2＋4x＝0}，若A∪B＝B，求实数a的取值范围．[分析]由A∪B＝B，可以得出A⊆B，而A⊆B中含有特例A＝∅，应留意．[解析]由x2＋4x＝0得：B＝{0，－4}，由于A∪B＝B，(1)若A＝∅，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，得a＜－1.(2)若A≠∅，则0∈A或－4∈A，当0∈A时，得a＝±1；当－4∈A，得a＝1或a＝7；但当a＝7时A＝{－4，－12}，此时不合题意．故由(1)(2)得实数a的取值范围是：a≤－1或a＝1.(理)(2022·临川模拟)已知集合A＝{x|x2－6x＋8<0}，B＝{x|(x－a)·(x－3a)<0}(1)若A⊆B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(3)若A∩B＝{x|3<x<4}，求a的取值范围．[解析]∵A＝{x|x2－6x＋8<0}，∴A＝{x|2<x<4}．(1)当a>0时，B＝{x|a<x<3a}，要使A⊆B应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤2,3a≥4))⇒eq\f(4,3)≤a≤2，当a<0时，B＝{x|3a<x<a}．要使A⊆B应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a≤2,a≥4))不等式组无解，即不存在符合条件的a，∴综上可知，当A⊆B时，a的取值范围是eq\f(4,3)≤a≤2.(2)要满足A∩B＝∅，当a>0时，B＝{x|a<x<3a若A∩B＝∅，则a≥4或3a≤∴0<a≤eq\f(2,3)或a≥4；当a<0时，B＝{x|3a<x<a若A∩B＝∅，则a≤2或a≥eq\f(4,3)，∴a<0；验证知当a＝0时也成立．综上所述，a≤eq\f(2,3)或a≥4时，A∩B＝∅.(3)要满足A∩B＝{x|3<x<4}，明显a>0且a＝3时成立，∵此时B＝{x|3<x<9}，而A∩B＝{x|3<x<4}，故所求a的值为3.18．(文)(2021·衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6