【名师一号】2022届高三数学一轮总复习基础练习：第八章-平面解析几何8-6-

第六节双曲线时间：45分钟分值：100分eq\x(基)eq\x(础)eq\x(必)eq\x(做)一、选择题1．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝()A．2 B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(5),2) D．1解析由已知得eq\f(\r(a2＋3),a)＝2，且a>0，解得a＝1，故选D.答案D2．(2022·广东卷)若实数k满足0<k<9，则曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1与曲线eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1的()A．焦距相等 B．实半轴长相等C．虚半轴长相等 D．离心率相等解析由于0<k<9，所以方程eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1与eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1均表示焦点在x轴上的双曲线．双曲线eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1中，其实轴长为10，虚轴长为2eq\r(9－k)，焦距为2eq\r(25＋9－k)＝2eq\r(34－k)；双曲线eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1中，其实轴长为2eq\r(25－k)，虚轴长为6，焦距为2eq\r(25－k＋9)＝2eq\r(34－k).因此两曲线的焦距相等，故选A.答案A3．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于eq\f(3,2)，则C的方程是()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,\r(5))＝1 B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,5)＝1 D.eq\f(x2,2)－eq\f(y2,\r(5))＝1解析由双曲线C的右焦点为F(3,0)，知c＝3.由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，则a＝2，故b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以双曲线C的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.答案B4．(2022·新课标全国卷Ⅰ)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.eq\r(3) B．3C.eq\r(3)m D．3m解析由题意，可得双曲线C为eq\f(x2,3m)－eq\f(y2,3)＝1，则双曲线的半焦距c＝eq\r(3m＋3).不妨取右焦点(eq\r(3m＋3)，0)，其渐近线方程为y＝±eq\f(1,\r(m))x，即x±eq\r(m)y＝0.所以由点到直线的距离公式得d＝eq\f(\r(3m＋3),\r(1＋m))＝eq\r(3).故选A.答案A5．(2022·江西卷)过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A，若以C的右焦点为圆心，半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1解析设双曲线的右顶点为B，则B(a,0)．不妨取渐近线y＝eq\f(b,a)x，则A点的坐标为(a，b)，从而可知|OA|＝c.∵由已知可得|OF|＝|AF|＝c＝4，∴△OAF为边长是c的等边三角形．又AB⊥OF，∴|OB|＝a＝2，|AB|＝b＝2eq\r(3).故所求的双曲线方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案A6．双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线分别为l1，l2，点P在第一象限内且在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(5) B．2C.eq\r(2) D.eq\r(3)解析由题意可知F1(－c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)，渐近线l1的直线方程为y＝eq\f(b,a)x，渐近线l2的直线方程为y＝－eq\f(b,a)x.∵l2∥PF2，∴eq\f(y0,x0－c)＝－eq\f(b,a)，即ay0＝bc－bx0.∵点P在l1上，即ay0＝bx0，∴bx0＝bc－bx0，解得x0＝eq\f(c,2).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(bc,2a))).∵l2⊥PF1，∴eq\f(\f(bc,2a),\f(3c,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)))＝－1，即3a2＝b2.∵a2＋b2＝c2，∴4a2＝c2，即c＝2a.答案B二、填空题7．双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1的两条渐近线的方程为________．解析本题考查双曲线的渐近线方程．由a2＝16，b2＝9，得渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(3,4)x.答案y＝±eq\f(3,4)x8．双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(5,4)，则m等于________．解析a2＝16，b2＝m，得c2＝16＋m，则e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(16＋m),4)＝eq\f(5,4)，∴m＝9.答案99．设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，O为坐标原点．若以F为圆心，FO为半径的圆与双曲线C的渐近线y＝eq\f(b,a)x交于点A(不同于O点)，则△OAF的面积为________．解析由于右焦点F(c,0)到渐近线y＝eq\f(b,a)x，即bx－ay＝0的距离为eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b，所以|OA|＝2a，故△OAF的面积为eq\f(1,2)×2a×b＝ab.答案ab三、解答题10．直线l：y＝eq\r(3)(x－2)和双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且|AB|＝eq\r(3)，又l关于直线l1：y＝eq\f(b,a)x对称的直线l2与x轴平行．(1)求双曲线C的离心率；(2)求双曲线C的方程．解(1)设双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1过一、三象限的渐近线l1：eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝0的倾斜角为α.由于l和l2关于l1对称，记它们的交点为P.而l2与x轴平行，记l2与y轴的交点为Q.依题意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.又l：y＝eq\r(3)(x－2)的倾斜角为60°，则2α＝60°，α＝30°.所以tan30°＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3).于是e2＝eq\f(c2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).所以e＝eq\f(2\r(3),3).(2)由eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，可设双曲线方程为eq\f(x2,3k2)－eq\f(y2,k2)＝1，即x2－3y2＝3k2.将y＝eq\r(3)(x－2)代入x2－3y2＝3k2，得x2－3·3(x－2)2＝3k2.化简得8x2－36x＋36＋3k2＝0，则x1＋x2＝eq\f(9,2)，x1x2＝eq\f(36＋3k2,8).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋3)|x1－x2|＝2eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))2－4·\f(36＋3k2,8))＝eq\r(9－6k2)＝eq\r(3)，解得k2＝1.故所求双曲线C的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.11．(2021·湛江模拟)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－eq\r(3)，求双曲线的离心率．解(1)∵双曲线的渐近线为y＝±eq\f(b,a)x，∴a＝b.∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4，∴a2＝b2＝2.∴双曲线方程为eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.(2)设点A的坐标为(x0，y0)，∴直线AO的斜率满足eq\f(y0,x0)·(－eq\r(3))＝－1，∴x0＝eq\r(3)y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3yeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝c2，即y0＝eq\f(1,2)c.∴x0＝eq\f(\r(3),2)c，∴点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c，\f(1,2)c)).代入双曲线方程得eq\f(\f(3,4)c2,a2)－eq\f(\f(1,4)c2,b2)＝1，即eq\f(3,4)b2c2－eq\f(1,4)a2c2＝a2b2.②又∵a2＋b2＝c2，∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得eq\f(3,4)c4－2a2c2＋a4＝0.∴3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))4－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))2＋4＝0，∴(3e2－2)(e2－2)＝0.∵e>1，∴e＝eq\r(2)，∴双曲线的离心率为eq\r(2).eq\x(培)eq\x(优)eq\x(演)eq\x(练)1．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－5,0)和C(5,0)，顶点B在双曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1上，则eq\f(sinB,|sinA－sinC|)为()A.eq\f(3,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,4) D.eq\f(4,5)解析设△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，由正弦定理得eq\f(sinB,|sinA－sinC|)＝eq\f(b,|a－c|)，由双曲线的标准方程和定义可知，A，C是双曲线的焦点，且b＝10，|c－a|＝8.所以eq\f(sinB,|sinA－sinC|)＝eq\f(b,|a－c|)＝eq\f(5,4).故选C.答案C2．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为2，A，B为其左，右顶点，点P为双曲线C在第一象限的任意一点，点O为坐标原点，若PA，PB，PO的斜率为k1，k2，k3，则m＝k1k2k3的取值范围为()A．(0,3eq\r(3)) B．(0，eq\r(3))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),9))) D．(0,8)解析e＝eq\f(c,a)＝2，b＝eq\r(3)a，设P(x，y)，则eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，k1k2＝eq\f(y,x＋a)·eq\f(y,x－a)＝eq\f(y2,x2－a2)＝eq\f(b2,a2)＝3，又双曲线的渐近线为y＝±eq\r(3)x，所以0<k3<eq\r(3)，故0<m<3eq\r(3)，选A.答案A3．已知点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1,2) B．(eq\r(2)，2)C．(eq\r(3)，2) D．(2,3)解析由题意知，△ABE为等腰三角形．若△ABE是锐角三角形，则只需要∠AEB为锐角．依据对称性，只要∠AEF<eq\f(π,4)即可．直线AB的方程为x＝－c，代入双曲线方程得y2＝eq\f(b4,a2)，取点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，则|AF|＝eq\f(b2,a)，|EF|＝a＋c，只要|AF|<|EF|就能使∠AEF<eq\f(π,4)，即eq\f(b2,a)<a＋c，即b2<a2＋ac，即c2－ac－2a2<0，即e2－e－2<0，即－1<e<2.又e>1，故1<e<2.答案A4．(2022·福建卷)已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率．(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.摸索究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．解(1)由于双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以eq\f(b,a)＝2，所以eq\f(\r(c2－a2),a)＝2，故c＝eq\r(5)a，从而双曲线E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).(2)由(1)知，双曲线E的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4a2)＝1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则|OC|＝a，|AB|＝4a.又由于△OAB的面积为8，所以eq\f(1,2)|OC|·|AB|＝8，因此eq\f(1,2)a·4a＝8，解得a＝2，此时双曲线E的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1.若存在满足条