2021高考数学(文)一轮知能检测：第3章-第3节-三角函数的图象与性质

第三节三角函数的图象与性质[全盘巩固]1．给定性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))D．y＝sin|x|解析：选B留意到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π，当x＝eq\f(π,3)时，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,3)－\f(π,6)))＝1，因此该函数同时具有性质①②.2．函数y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为()A．2－eq\r(3)B．0C．－1D．－1－eq\r(3)解析：选A∵0≤x≤9，∴0≤eq\f(π,6)x≤eq\f(3π,2)，∴－eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)x－eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6)，∴－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))≤1，即－eq\r(3)≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－\f(π,3)))≤2.所以其最大值为2，最小值为－eq\r(3)，故最大值与最小值之和为2－eq\r(3).3．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))，则b－a的值不行能是()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C．πD.eq\f(4π,3)解析：选A画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(4π,3))).4．(2022·丽水模拟)函数y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))内的图象是()ABCD解析：选Dy＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2tanx，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，,2sinx，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3π,2))).))故选D.5．(2022·温州模拟)若函数y＝2cosωx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上递减，且有最小值1，则ω的值可以是()A．2B.eq\f(1,2)C．3D.eq\f(1,3)解析：选B由y＝2cosωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上是递减的，且有最小值为1，则有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝1，即2×coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω×\f(2π,3)))＝1，即coseq\f(2π,3)ω＝eq\f(1,2).阅历证，得出选项B符合．6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝eq\f(π,2)时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数解析：选A∵f(x)的最小正周期为6π，∴ω＝eq\f(1,3).∵当x＝eq\f(π,2)时，f(x)有最大值，∴eq\f(1,3)×eq\f(π,2)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，φ＝eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，∵－π＜φ≤π，∴φ＝eq\f(π,3).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)＋\f(π,3)))，由函数f(x)的图象(图略)易得，函数f(x)在区间[－2π，0]上是增函数，而在区间[－3π，－π]或[3π，5π]上均没单调性，在区间[4π，6π]上是增函数．7．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))等于________．解析：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))，∴x＝eq\f(π,6)是函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一条对称轴．∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝±2.答案：2或－28．已知函数f(x)＝eq\f(1,2)(sinx＋cosx)－eq\f(1,2)|sinx－cosx|，则f(x)的值域是________．解析：f(x)＝eq\f(1,2)(sinx＋cosx)－eq\f(1,2)|sinx－cosx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosxsinx≥cosx，,sinxsinx＜cosx.))画出函数f(x)的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为eq\f(\r(2),2)，故值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2))).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))9．已知函数f(x)＝cosxsinx(x∈R)，给出下列四个命题：①若f(x1)＝－f(x2)，则x1＝－x2；②f(x)的最小正周期是2π；③f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上是增函数；④f(x)的图象关于直线x＝eq\f(3π,4)对称．其中真命题的是________．解析：f(x)＝eq\f(1,2)sin2x，当x1＝0，x2＝eq\f(π,2)时，f(x1)＝－f(x2)，但x1≠－x2，故①是假命题；f(x)的最小正周期为π，故②是假命题；当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，故③是真命题；由于feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝eq\f(1,2)sineq\f(3π,2)＝－eq\f(1,2)，故f(x)的图象关于直线x＝eq\f(3π,4)对称，故④是真命题．答案：③④10．函数f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(π,2).(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝2，求α的值．解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(π,2)，∴最小正周期T＝π，∴ω＝2，∴函数f(x)的解析式为y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1.(2)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋1＝2，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,2).∵0<α<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,6)<α－eq\f(π,6)<eq\f(π,3)，∴α－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，∴α＝eq\f(π,3).11．(2021·湖南高考)已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))，g(x)＝2sin2eq\f(x,2).(1)若α是第一象限角，且f(α)＝eq\f(3\r(3),5)，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．解：f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)sinx，g(x)＝2sin2eq\f(x,2)＝1－cosx.(1)由f(α)＝eq\f(3\r(3),5)，得sinα＝eq\f(3,5).又α是第一象限角，所以cosα>0.从而g(α)＝1－cosα＝1－eq\r(1－sin2α)＝1－eq\f(4,5)＝eq\f(1,5).(2)f(x)≥g(x)等价于eq\r(3)sinx≥1－cosx，即eq\r(3)sinx＋cosx≥1.于是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))≥eq\f(1,2).从而2kπ＋eq\f(π,6)≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(5π,6)，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)2kπ≤x≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)).12．已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx，2eq\r(3)cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，求函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,5)))上的取值范围．解：(1)f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2eq\r(3)sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋eq\r(3)sin2ωx＋λ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,6)))＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωπ－\f(π,6)))＝±1，所以2ωπ－eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即ω＝eq\f(k,2)＋eq\f(1,3)(k∈Z)．又ω∈(eq\f(1,2)，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝eq\f(5,6).所以f(x)的最小正周期是eq\f(6π,5).(2)由y＝f(x)的图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝0，即λ＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)×\f(π,2)－\f(π,6)))＝－2sineq\f(π,4)＝－eq\r(2)，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)x－\f(π,6)))－eq\r(2)，由0≤x≤eq\f(3π,5)，有－eq\f(π,6)≤eq\f(5,3)x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，所以－eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)x－\f(π,6)))≤1，得－1－eq\r(2)≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)x－\f(π,6)))－eq\r(2)≤2－eq\r(2)，故函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,5)))上的取值范围为[－1－eq\r(2)，2－eq\r(2)]．[冲击名校]1．已知函数f(x)＝2sinωx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，则ω的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪[6，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))C．(－∞，－2]∪[6，＋∞)D．(－∞，－2]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))解析：选D当ω＞0时，由－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,4)，得－eq\f(π,3)ω≤ωx≤eq\f(π,4)ω，由题意知，－eq\f(π,3)ω≤－eq\f(π,2)，∴ω≥eq\f(3,2)；当ω＜0时，由－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(π,4)，得eq\f(π,4)ω≤ωx≤－eq\f(π,3)ω，由题意知，eq\f(π,4)ω≤－eq\f(π,2)，∴ω≤－2，综上可知，ω∈(－∞，－2]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).2．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，给出以下四个论断：①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x＝eq\f(π,12)成轴对称图形；③它的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))成中心对称图形；④在区间eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))上是增函数．以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．解析：若①②成立，则ω＝eq\f(2π,π)＝2；令2·eq\f(π,12)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，且|φ|＜eq\f(π,2)，故k＝0，则φ＝eq\f(π,3).此时f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，当x＝eq\f(π,3)时，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))＝sinπ＝0，所以f(x)的图象关于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))成中心对称；又f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,12)，\f(π,12)))上是增函数，则f(x)在eq\b\l