2025年人教版八年级数学寒假复习 专题03 轴对称图形（8个知识点回顾+10大题型归纳+过关检测）

专题03轴对称图形题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺提升专练：真题感知+精选专练，全面突破【题型1轴对称图形的相关概念】【题型2关于坐标轴对称的点的坐标性质】【题型3线段垂直平分线的性质及应用】【题型4线段垂直平分线和角平分线的作图】【题型5等腰三角形的性质】【题型6求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】【题型7等腰三角形的判定与性质】

【题型8等边三角形的判定与性质综合】【题型9含30°角的直角三角形的性质】【题型10将军饮马-最短路径问题】知识点1：轴对称图形⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.知识点2：轴对称性质对称的性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.②关于某直线对称的两个图形是全等形.知识点3：关于坐标轴对称的点的坐标性质①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.知识点4：线段垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。2.线段垂直平分线的作图（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD，CD为所求直线3.线段垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.知识点5：等腰三角形的概念与性质1.等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2.等腰三角形的性质如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．3.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.知识点6：等边三角形的概念与性质1.等边三角形概念三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.2.等边三角形的性质（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.（2）三个角都是60°3.等边三角形的判定（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.知识点7：含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识点8：将军饮马-最短路径问题基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短题型归纳【题型1轴对称图形的相关概念】1．（24-25八年级上·全国·期末）下列图形是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，连接AA'，BB'，CC'，其中BB'分别交AC，A'C'于点D，DA．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线A．120° B．135° C．140° D．150°4．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠，若∠1=56°则∠2为度．

【题型2关于坐标轴对称的点的坐标性质】5．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）已知点P1a−1,5和P22,b−1关于x轴对称，则A．0 B．−1 C．1 D．无法确定6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若点2,−3与点x,y关于y轴对称，则x，y的值为（）A．x=2，y=3 B．x=−2，y=−3 C．x=−2，y=3 D．x=2，y=−37．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，点−2,3关于y轴对称的点的坐标是（

）A．2,−3 B．−2,−3 C．2,3 D．3,−28．（24-25八年级上·北京·期中）一只电子跳蚤从点A2,−3开始，先以x轴为对称轴跳至点A的对称点B，紧接着又以y轴为对称轴跳至点B的对称点C，则点C的坐标为（

A．2,3 B．−2,3 C．3,2 D．【题型3线段垂直平分线的性质及应用】9．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=4cm，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若△BCE的周长是10cm，则△ABC的周长是等于（

A．16cm B．14cm C．12cm D．10cm10．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，DE,FG分别是线段AB,BC的垂直平分线，若∠ABC=100°，则∠DBF的度数是（

）A．20° B．30° C．40° D．50°11．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=18cm，AC=8cm，则BE的长为（A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm12．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（

）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点13．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D．连接BD．若AC=12，CD=7，则BD=14．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)请你判断AD与EF关系，并说明理由；(2)若AB=12，AC=8，S△ABC=60，求15．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，求证：(1)BE=CF；(2)AD垂直平分EF．【题型4线段垂直平分线和角平分线的作图】16．（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄C、D，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄C、D的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法）17．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知∠AOB及点C、D，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到OA、18．（24-25八年级上·浙江·期中）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）：(1)在如图所示的△ABC中，作AB边上的垂直平分线EF，交AB于点E，交BC于点F．(2)在（1）的条件下，连接AF，若AE=3，△ABC的周长为18，求△ACF的周长．19．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°(1)（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：）作AB的垂直平分线分别交CB于M, AB于(2)依据（1）的图形，若CM=8，求BM的长．【题型5等腰三角形的性质】20．（24-25八年级上·云南昭通·期中）一个等腰三角形的两边长分别为4.5cm，9cm，则该等腰三角形的周长为（A．22.5cm B．18cm C．22.5cm或1821．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数为（

）A．50° B．40°或130° C．50°或140° D．50°或130°22．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）若等腰三角形一个角为50°，则顶角的度数是（

）A．50° B．80° C．50°或80° D．60°或70°23．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，△ABC中，AB=AC，点E在线段AB上，且满足AE=EC．若∠ACE=40°，则∠BCE的度数是（

）A．70° B．30° C．40° D．45°24．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE=3，则BC的长是（

）

A．9 B．6 C．7 D．525．（24-25八年级上·江苏·期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D．若∠A=40°，则∠DCB的度数为（

A．15° B．20° C．40° D．50°【题型6求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】

26．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．927．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有（

）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【题型7等腰三角形的判定与性质】28．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，E为BC的中点，连接DE．(1)求证：△BCD为等腰三角形．(2)求∠EDC的度数．29．（24-25八年级上·全国·期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，连接EC．(1)求∠ECB的度数；(2)若CE=4，求BC长．30．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F．(1)求证：EF垂直平分BC；(2)如图2，若EF=DE，求∠ABE的度数．31．（24-25八年级上·天津南开·期中）在△ABC中，∠C=∠B=50°，点D在边BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，在△ADC内部作∠ADE=50°，DE与AC边相于点E．(1)如图1，当∠BDA=100°时，∠EDC=______（度），∠AED=______（度）；(2)如图2，若AC=DC，证明：△ABD≌△DCE；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【题型8等边三角形的判定云性质综合】32．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F，求证：(1)BE=DC；(2)FA平分∠DFE．33．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）已知：在等边三角形ABC中，点D为边AB上一点，E为CB延长线上一点，AD=BE．(1)如图1，求证：DE=DC；(2)如图2，延长ED交AC于点F，若点D为AB中点，且CF+BE=10，求AF的长．34．（24-25八年级上·江西南昌·期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，求证：(1)△ABE≌△CAD；(2)BP=2PQ.35．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．(1)求证：AD=BE；(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【题型9含30°角的直角三角形的性质】36．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若∠B=30°，BC=8cm，则CD的长为（

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm37．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=24，则BD的长为．38．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠CBA，且交AC于点D，AC=1，那么AD的长是．39．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，△ABC是等边三角形，AB=8，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC=3，则DB的长为．【题型10将军饮马-最短路径问题】40．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是（

）A．22.5° B．30° C．45° D．60°41．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD平分∠BAC，点P、Q分别是AB，AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值为（）

A．7 B．8 C．9 D．1442．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB=7，AC=4，BC=5，则△APC周长的最小值是（

）A．12 B．11 C．9 D．743．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，等边三角形ABC的边长为8，A、B、A1三点在一条直线上，且△ABC≌△A1BC1．若D为线段A．10 B．12 C．16 D．1844．（18-19八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是过关检测一、单选题1．（24-25八年级上·广东韶关·期中）下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（

）A． B． C． D．2．（24-25八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，点P−3,2关于y轴对称的点的坐标为（

A．−2,3 B．2,−3 C．3,−2 D．3,23．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，若BD=4，则DC的长是（

）A．2 B．4 C．6 D．84．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若A．17 B．18 C．20 D．225．（24-25八年级上·全国·期末）如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置．若∠DEF=65°，则A．45° B．50° C．60° D．65°6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）如图，对于△ABC，小颖作如下操作：①分别以A、C为圆心，大于12AC长为半径在AC的两侧画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC、AC于E、F两点；连接AE，恰好AB=AE，已知AD⊥BC于D，△ABC周长为16，AC=6，则DC长为（A．5 B．8 C．9 D．107．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（

）A．45° B．55° C．60° D．75°8．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，ED⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，AB=11，AC=5，则BE的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．69．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1AA．22022 B．22023 C．22024二、填空题10．（2012·山东德州·一模）已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是．11．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△ABC中，∠B=∠C，BC=6，AD⊥BC于D，则BD的长为．12．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D，E､F为AD上两点，连接EB､EC､13．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点C在AE的垂直平分线上．若△ABC的周长为16cm，则DE的长为cm14．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若∠ABC=150°，BC长为8米，则乘电梯从点B到点C上升的高度ℎ=米．15．（24-25八年级上·四川自贡·期中）如图，等腰△ABC中，AB=AC=24cm，BC=18cm，点D为AB的中点．点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，点Q在线段AC上以xcm/s的速度由点C向点A16．（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，AB>AC，AC=6，∠BAC=60°，点M，N分别是AD，AC上的动点，当CM+MN有最小值时，则CN的长是．三、解答题17．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）．(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A(2)求△ABC的面积；(3)在y轴上画出点P，使PA+PC最小．18．（24-25八年级上·全国·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E是BC边上两点，且AD=AE．求证：BE=CD．19．（24-25八年级上·浙江金华·期中）如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连结AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D．连结DE．(1)若△ABC的周长为25，△DEC的周长为13，求AB的长．(2)若∠ABC=40°，∠C=48°，求∠CDE的度数．20．（24-25八年级上·广西南宁·期中）综合与实践：我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是怎样的呢？

【观察猜想】（1）在△ABC中，AB>AC，猜想∠C与∠B的大小关系；【操作证明】（2）如图1，某同学发现在△ABC中，若AB>AC，可将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在边AB上的E点，折线交BC于点D，连接ED，发现∠AED=∠B+∠EDB，……，请用上述思路证明（1）中猜想的结论；【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大边”，发现存在图1中的四边形AEDC，满足AE=AC，DE=DC．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．【拓展应用】（3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器AEDC上的点A处绑一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点E、C紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过点D，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由；（4）如图4，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，E，F分别是边AB，BC上的动点、当四边形AEFC为“筝形”时，请直接写出∠BFE的度数．

专题03轴对称图形题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺提升专练：真题感知+精选专练，全面突破【题型1轴对称图形的相关概念】【题型2关于坐标轴对称的点的坐标性质】【题型3线段垂直平分线的性质及应用】【题型4线段垂直平分线和角平分线的作图】【题型5等腰三角形的性质】【题型6求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】【题型7等腰三角形的判定与性质】

【题型8等边三角形的判定与性质综合】【题型9含30°角的直角三角形的性质】【题型10将军饮马-最短路径问题】知识点1：轴对称图形⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.知识点2：轴对称性质对称的性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.②关于某直线对称的两个图形是全等形.知识点3：关于坐标轴对称的点的坐标性质①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；点关于轴对称的点的坐标为.知识点4：线段垂直平分线1.定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。2.线段垂直平分线的作图（1）分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；（2）作直线CD，CD为所求直线3.线段垂直平分线性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.知识点5：等腰三角形的概念与性质1.等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2.等腰三角形的性质如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．3.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.知识点6：等边三角形的概念与性质1.等边三角形概念三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形.2.等边三角形的性质（1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴.（2）三个角都是60°3.等边三角形的判定（1）三个角相等的三角形是等边三角形.（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.知识点7：含有30°角的直角三角形定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识点8：将军饮马-最短路径问题基本图模1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.方法总结：1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短题型归纳【题型1轴对称图形的相关概念】1．（24-25八年级上·全国·期末）下列图形是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形的定义，牢记轴对称图形的定义是解答本题的关键，属于基础题，比较简单．根据轴对称图形的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，从而进行判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．2．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，连接AA'，BB'，CC'，其中BB'分别交AC，A'C'于点D，DA．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．【详解】解：∵△ABC和△A'B∴AA'∥∵△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，点∴∠ADB=∠A'D∵△ABC和△A'B∴线段AA'，∴直线l垂直平分AA'，故∵△ABC和△A'B∴线段AC、A'C'所在直线的交点一定在直线l∴正确的有①②③，故选：A．3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，△ABC和△A'B'C'关于直线A．120° B．135° C．140° D．150°【答案】B【分析】本题考查了轴对称的性质．由轴对称的性质即可得∠B【详解】解：∵△ABC和△A'B∴∠B故选：B．4．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，把一张长方形的纸片ABCD沿EF折叠，若∠1=56°则∠2为度．

【答案】68【分析】本题考查了平行线的性质，折叠性质，矩形的性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，内错角相等，②两直线平行，同位角相等，③两直线平行，同旁内角互补．根据长方形性质得出平行线，根据平行线的性质求出∠DEF，根据折叠求出∠FEG，即可求出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC,∴∠DEF=∠1=56°,∵沿EF折叠D到D'∴∠FEG=∠DEF=56°,∴∠2=180°−56°−56°=68°,故答案为：68．【题型2关于坐标轴对称的点的坐标性质】5．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）已知点P1a−1,5和P22,b−1关于x轴对称，则A．0 B．−1 C．1 D．无法确定【答案】B【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据点P1(a−1,5)和P2(2,b−1)关于x轴对称，可得a−1=2，b−1=−5，求出【详解】解：∵点P1a−1,5和P2∴a−1=2，b−1=−5，解得a=3，b=−4，∴(a+b)故选：B6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若点2,−3与点x,y关于y轴对称，则x，y的值为（）A．x=2，y=3 B．x=−2，y=−3 C．x=−2，y=3 D．x=2，y=−3【答案】B【分析】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，熟知这一性质是解题的关键．根据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变解答即可．【详解】∵点2,−3与点x,y关于y轴对称，∴x=−2，y=−3．故选：B．7．（24-25八年级上·湖北荆州·期中）在平面直角坐标系中，点−2,3关于y轴对称的点的坐标是（

）A．2,−3 B．−2,−3 C．2,3 D．3,−2【答案】C【分析】本题考查轴对称点的坐标变换，熟练掌握关于y轴对称点的坐标变换特征是解题的关键．根据关于y轴对称点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等求解即可．【详解】解：点−2,3关于y轴对称的点的坐标是2,3，故选：C．8．（24-25八年级上·北京·期中）一只电子跳蚤从点A2,−3开始，先以x轴为对称轴跳至点A的对称点B，紧接着又以y轴为对称轴跳至点B的对称点C，则点C的坐标为（

A．2,3 B．−2,3 C．3,2 D．【答案】B【分析】本题主要考查了点的坐标规律，掌握关于x轴对称横坐标相等、纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数成为解题的关键．首先写出A点关于x轴对称的点B的坐标，再写出点B关于y轴对称的点C的坐标即可解答．关于x轴对称x坐标不变，另一个坐标变成相反数．【详解】解∶∵A2,−3∴点A关于x轴对称的点B的坐标是2,3，点B以y轴为对称轴的点C的坐标是∶−2,3．故选B．【题型3线段垂直平分线的性质及应用】9．（24-25八年级上·重庆铜梁·期中）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,BC=4cm，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，若△BCE的周长是10cm，则△ABC的周长是等于（

A．16cm B．14cm C．12cm D．10cm【答案】A【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等，得到AE=BE，进而得到△BCE的周长等于BC+AC，进而求出AC的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可．【详解】解：∵线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+BC+CE=AE+CE+BC=AC+BC=10cm∴AC=10−BC=6cm∵AB=AC=6cm∴△ABC的周长=AB+AC+BC=16cm故选A．10．（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图，在△ABC中，DE,FG分别是线段AB,BC的垂直平分线，若∠ABC=100°，则∠DBF的度数是（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】A【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出∠A=∠DBA，∠C=∠FBC，由三角形内角和定理得出∠A+∠C=180°−∠ABC=80°，等量代换可得出∠DBA+∠FBC=80°，再利用角的和差关系即可得出答案．【详解】解：∵DE,FG分别是线段AB,BC的垂直平分线，∴AD=DB，BF=FC，∴∠A=∠DBA，∠C=∠FBC，∵∠A+∠C=180°−∠ABC=80°，∴∠DBA+∠FBC=80°，∴∠DBF=∠ABC−∠DBA+∠FBC故选：A．11．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB=18cm，AC=8cm，则BE的长为（A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】D【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，连接CD,BD，证明△DFC≌△DEB，得到CF=BE，证明△ADF≌△ADE，得到AF=AE，进而得到AC+CF=AB−BE，求解即可．【详解】解：连接CD,BD，则：DC=BD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD平分∠BAC，∴DF=DE,∠BED=∠DEA=∠DFA=90°，∴△DFC≌△DEBHL∴CF=BE，∵AD=AD，∴△ADF≌△ADEHL∴AF=AE，∴AC+CF=AB−BE，∴2BE=AB−AC=10，∴BE=5cm故选：D．12．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（

）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点【答案】D【分析】本题主要考查三角形三边垂直平分线的交点的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形三边垂直平分线的交点的性质．根据到三个村庄的距离相等，即确定一个点到三角形三个顶点都相等，根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得这个点是三角形三个垂直平分线的交点．【详解】解：∵由三条公路连接的A，B，C三个村庄所构成的三角形区域内修建一个集贸市场，且使集贸市场到三个村庄的距离相等，到三角形三个顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，∴这个集贸市场应建在三角形ABC三边垂直平分线的交点处．故选：D．13．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D．连接BD．若AC=12，CD=7，则BD=【答案】5【分析】先求出AD=12−7=5，再由线段垂直平分线的性质推出BD=AD=5，即可作答．本题考查线段垂直平分线的性质，关键是线段垂直平分线性质定理的应用．【详解】解：∵AC=12，∴AD=AC−CD=12−7=5，∵D在AB的垂直平分线上，∴BD=AD=5故答案为：5．14．（24-25八年级上·江西赣州·期中）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高．(1)请你判断AD与EF关系，并说明理由；(2)若AB=12，AC=8，S△ABC=60，求【答案】(1)AD垂直平分EF，理由见解析(2)DE=6【分析】（1）根据角平分线的性质得出DE=DF，根据三角形全等的判定得出Rt△AED≌Rt△AFD（2）根据三角形面积公式得出12【详解】（1）解：AD垂直平分EF，理由如下：∵AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高，∴DE=DF，在Rt△AED与RtAD=ADDE=DF∴Rt△AED≌∴AE=AF，∵DE=DF，∴AD垂直平分EF；（2）解：∵DE=DF，∴S△ABC∵AB=12，AC=8，∴DE=6．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，三角形面积公式，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明Rt△AED≌15．（24-25八年级上·湖北荆门·期中）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，求证：(1)BE=CF；(2)AD垂直平分EF．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．（1）根据AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线的性质可得DE=DF，结合D是BC的中点，即可证明Rt△DEB≌Rt△DFC（2）首先由DE=DF得到点D在EF的垂直平分线上，然后由Rt△DEB≌Rt△DFCHL得到∠B=∠C，得到【详解】（1）证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD，∵DE⊥AB,DF⊥AC,AD为∠BAC的平分线，∴DE=DF，在Rt△DEB和Rt∵BD=CDDE=DF∴Rt∴BE=CF；（2）证明：∵DE=DF，∴点D在EF的垂直平分线上，由（1）知：Rt△DEB≌∴∠B=∠C，∴AB=AC，∵BE=CF，∴AB−BE=AC−CF，∴AE=AF，∴点A在EF的垂直平分线上，∴AD垂直平分EF．【题型4线段垂直平分线和角平分线的作图】16．（24-25八年级上·青海西宁·期中）在两条公路的交叉处有两个村庄C、D，政府想在交叉处的内部建一个加油站P，并且使加油站到村庄C、D的距离相等且到两条公路的距离也相等．（请用圆规和无刻度的直尺找到点P，保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质是解题关键．先作出线段CD的垂直平分线EF，再作出∠AOB的平分线OP，则EF与OP的交点P即为所求．【详解】解：如图，点P即为所求作的点．17．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知∠AOB及点C、D，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到OA、【答案】见解析【分析】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作CD的垂直平分线和∠AOB的平分线，它们的交点即为点P．【详解】解：如图，点P即为所求．18．（24-25八年级上·浙江·期中）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹）：(1)在如图所示的△ABC中，作AB边上的垂直平分线EF，交AB于点E，交BC于点F．(2)在（1）的条件下，连接AF，若AE=3，△ABC的周长为18，求△ACF的周长．【答案】(1)见解析(2)△ACF的周长为12．【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE=3，AF=BF，由△ABC的周长为18，求得AC+AF+CF=12，进而即可求解．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；；（2）解：由题意得AE=BE=3，AF=BF，∵△ABC的周长为18，∴AB+AC+BC=18，∴6+AC+BF+CF=18，∴AC+AF+CF=12，∴△ACF的周长为12．19．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°(1)（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法：）作AB的垂直平分线分别交CB于M, AB于(2)依据（1）的图形，若CM=8，求BM的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】本题主要考查作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键．（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；（2）连接AM，由线段垂直平分线的性质得到BM=AM，则∠MAB=∠B，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，则∠MAB=30°，进而得到∠CAM=90°，从而可得BM=AM=1【详解】（1）解：直线MN即为所求；（2）解：连接AM，∵直线MN为线段AB的垂直平分线，∴BM=AM，∴∠MAB=∠B，∵AB=AC,∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=30°，∴∠CAM=90°，在Rt△ACM中，∠C=30°∴AM=1∴BM=AM=4．【题型5等腰三角形的性质】20．（24-25八年级上·云南昭通·期中）一个等腰三角形的两边长分别为4.5cm，9cm，则该等腰三角形的周长为（A．22.5cm B．18cm C．22.5cm或18【答案】A【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目给出等腰三角形有两条边长为4.5cm和9【详解】解：①9cm为腰，4.5cm为底，9+9>4.5能构成三角形，此时周长为②9cm为底，4.5∴该三角形的周长是22.5cm故选：A．21．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数为（

）A．50° B．40°或130° C．50°或140° D．50°或130°【答案】D【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分高在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：如图，当高在三角形的内部时：由题意，得：∠ADB=90°，∠ABD=40°，∴∠A=50°；当高在三角形的外部时，如图：由题意，得：∠ADB=90°,∠ABD=40°，∴∠BAD=50°，∴∠BAC=180°−50°=130°；故选D．22．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）若等腰三角形一个角为50°，则顶角的度数是（

）A．50° B．80° C．50°或80° D．60°或70°【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；等腰三角形一内角为50°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况讨论．【详解】解：当50°角为顶角，顶角度数即为50°；当50°为底角时，顶角=180°−2×50°=80°；综上，若等腰三角形一个角为50°，则顶角的度数是50°或80°，故选：C．23．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，△ABC中，AB=AC，点E在线段AB上，且满足AE=EC．若∠ACE=40°，则∠BCE的度数是（

）A．70° B．30° C．40° D．45°【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，掌握等腰三角形性质是关键；由AE=EC及∠ACE=40°，得∠EAC=40°；由AB=AC可求得∠ACB，再由∠BCE=∠ACB−∠ACE即可求解．【详解】解：∵AE=EC，∠ACE=40°，∴∠EAC=∠ACE=40°；∵AB=AC，∴∠ACB=1∴∠BCE=∠ACB−∠ACE=70°−40°=30°；故选：B．24．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC．若DE=3，则BC的长是（

）

A．9 B．6 C．7 D．5【答案】A【分析】根据角平分线上点到角两边的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠DAB=∠B，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余，求出∠B=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即可．【详解】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE=3，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB，∵∠DAB=∠CAD，∴∠CAD=∠DAB=∠B，∵∠C=90°，∴∠CAD+∠DAB+∠B=90°，∴∠B=30°，∴BD=2DE=6，∴BC=BD+CD=6+3=9，故选：A【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等；等边对等角；直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．25．（24-25八年级上·江苏·期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D．若∠A=40°，则∠DCB的度数为（

A．15° B．20° C．40° D．50°【答案】B【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理，由作图可得AC=AD，再由等边对等角结合三角形内角和定理得出∠ACD的度数，最后由∠DCB=∠ACB−∠ACD计算即可得解．【详解】解：由作图可得：AC=AD，∵∠A=40°，∴∠ACD=∠ADC=180°−∠A∴∠DCB=∠ACB−∠ACD=20°，故选：B．【题型6求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】

26．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点且使△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【详解】解：如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个（包括两个等腰直角三角形）；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．一共有8个点.故选：C．27．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有（

）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．当AB为底时，作AB的垂直平分线，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，分别找到格点即可求解．【详解】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有2个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有6个；∴这样的顶点C有8个．故选：C．【题型7等腰三角形的判定与性质】28．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D，E为BC的中点，连接DE．(1)求证：△BCD为等腰三角形．(2)求∠EDC的度数．【答案】(1)见解析(2)∠EDC=50°【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．（1）先利用三角形的内角和求出∠ABC=80°，再利用角平分线的定义求出∠DBC=40°，得到∠DBC=∠ACB，最后根据等角对等边即可求证；（2）由（1）可得∠BDC=100°，根据等腰三角形三线合一即可求得∠EDC的度数．【详解】（1）证明：∵∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=80°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=1∴∠DBC=∠ACB=40°，∴DB=DC，∴△BCD为等腰三角形；（2）解：∵∠DBC=∠ACB=40°，∴∠BDC=180°−40°−40°=100°，∵DB=DC，E为BC的中点，∴DE平分∠BDC，∴∠EDC=129．（24-25八年级上·全国·期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，连接EC．(1)求∠ECB的度数；(2)若CE=4，求BC长．【答案】(1)36°(2)4【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到EC=EA，再由等腰三角形的性质得出∠ECD=∠A=36°，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再用角的和差来计算求解；（2）由（1）得∠ECD=36°，结合等腰三角形性质得到∠B的度数，再结合三角形外角性质得到∠BEC=∠B，从而得出BC=CE即可求解．【详解】（1）解：∵DE是AC的垂直平分线，∴EC=EA，∴∠ECD=∠A=36°．∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=180°−36°∴∠ECB=∠ACB−∠ACE=72°−36°=36°．（2）解：由（1）得∠ECD=36°．∠B=72°．∵∠BEC是△AEC的外角，∴∠BEC=36°+36°=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=CE=4．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理和外角的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解答关键．30．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与BD交于点E，过点E作EF⊥BC于点F．(1)求证：EF垂直平分BC；(2)如图2，若EF=DE，求∠ABE的度数．【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）根据直角三角形全等的判定定理先判定Rt△ABC≌Rt△DCB，然后根据其全等性质即可得出∠ACB=∠DBC，进而得出BE=CE（2）证明CE平分∠DCB，得出∠ACB=∠DCE，由（1）得∠ACB=∠DBC，∠DCB+∠DBC=90°，得出∠ACB=∠DBC=∠DCE=30°，结合【详解】（1）证明：在Rt△ABC和RtBC=CBAB=DC∴Rt△ABC≌∴∠ACB=∠DBC，∴BE=CE，∴△BEC是等腰三角形，又∵EF⊥BC，∴BF=CF，∴EF垂直平分BC；（2）解：∵EF=DE，EF⊥BC，∴CE平分∠DCB，∴∠ACB=∠DCE，由（1）得∠ACB=∠DBC，∴∠ACB=∠DBC=∠DCE=30°，∵∠A=90°，∴∠ABE=90°−∠ACB−∠DBC=30°，即∠ABE的度数为30°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、角平分线的判定、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．31．（24-25八年级上·天津南开·期中）在△ABC中，∠C=∠B=50°，点D在边BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，在△ADC内部作∠ADE=50°，DE与AC边相于点E．(1)如图1，当∠BDA=100°时，∠EDC=______（度），∠AED=______（度）；(2)如图2，若AC=DC，证明：△ABD≌△DCE；(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，直接写出此时∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【答案】(1)30，80；(2)证明见解析；(3)△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA的度数为为115°或100°．【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠EDC=30°，然后利用∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE=30°，∠AED=∠EDC+∠C=80°，即可得解；（2）首先推导出AB=DC进一步推导出∠DAC=∠ADC=12180°−50°=65°，利用外角的性质得到∠BAD=∠CDE=15°，利用（3）分三种情况讨论：①当DA=DE时，②当AD=AE时，③当EA=ED时，根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理即可得到结论；本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．【详解】（1）解：∵∠C=∠B=50°，∴AB=AC，∵∠ADE=50°，∠BDA=100°，∵∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE=30°，∴∠AED=∠EDC+∠C=30°+50°=80°，故答案为：30，80；（2）证明：∵AC=DC，AB=AC，∴AB=DC，∵∠C=50°，∴∠DAC=∠ADC=1∴∠BAD=65°−50°=15°，∴∠CDE=65°−50°=15°，∴∠BAD=∠CDE，在△ABD和△DCE中，∠B=∠CAB=DC∴△ABD≌△DCEASA（3）解：△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA的度数为115°或100°，理由如下:∵∠B=∠C=50°，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−50°−50°=80°，分三种情况讨论：①当DA=DE时，∠DAE=∠DEA，∵∠ADE=50°，∠ADE+∠DAE+∠DEA=180°，∴∠DAE=180°−50°∴∠BAD=∠BAC−∠DAE=80°−65°=15°，∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴∠BDA=180°−∠B−∠BAD=180°−50°−15°=115°，②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=50°，∵∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，∴∠DAE=180°−∠AED−∠ADE=180°−50°−50°=80°，又∵∠BAC=80°，∴∠DAE=∠BAE，∴点D与点B重合，不合题意；③当EA=ED时，∠DAE=∠ADE=50°，∴∠BAD=∠BAC−∠DAE=80°−50°=30°，∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°，∴∠BDA=180°−∠B−∠BAD=180°−50°−30°=100°，综上所述，△ADE的形状可以是等腰三角形，∠BDA的度数为为115°或100°．【题型8等边三角形的判定云性质综合】32．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，连接CD，BE交于点F，求证：(1)BE=DC；(2)FA平分∠DFE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）根据等边三角形的性质可得AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，进而可得∠DAC=∠BAE，利用“SAS”证明（2）过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，利用“AAS”证明△DAM≌△BAN，由全等三角形的性质可得【详解】（1）证明：∵△ABD，△AEC是等边三角形，∴AD=AB，∵∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△DAC≌△BAESAS∴BE=DC；（2）证明：过点A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，如下图，∴∠DMA=∠BNA=90°，∵△DAC≌∴∠ADC=∠ABE，在△DAM和△BAN中，∠ADC=∠ABE∠DMA=∠BNA∴△DAM≌△BANAAS∴AM=AN，∴FA平分∠DFE．33．（24-25八年级上·湖北宜昌·期中）已知：在等边三角形ABC中，点D为边AB上一点，E为CB延长线上一点，AD=BE．(1)如图1，求证：DE=DC；(2)如图2，延长ED交AC于点F，若点D为AB中点，且CF+BE=10，求AF的长．【答案】(1)证明过程见详解(2)2【分析】（1）如图所示，过点D作DM∥BC，可得△ADM是等边三角形，BD=CM，DM=BE，∠DBE=∠DMC，证明△DMC≌△EBDSAS（2）如图所示，过点D作DN∥BC，由（1）的证明可得，△ADN是等边三角形，BD=CN，由等边三角形的性质，外角和的性质，对顶角相等的知识可得∠ADF=∠BDE=30°，AD=2AF=BD=BE，DN=2NF=AD，则有CF=CN+NF=2AF+AF=3AF，根据CF+BE=10，得到3AF+2AF=10，由此即可求解．【详解】（1）证明：如图所示，过点D作DM∥BC，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°,AB=BC=AC，∵DM∥BC，∴∠ADM=∠ABC=60°,∠AMD=∠ACB=60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD=DM=AM，∴AB−AD=AC−AM，即BD=CM，∵AD=BE，∴DM=BE，∵∠ABC=∠AMD=60°，∴∠DBE=∠DMC=180°−60°=120°，在△DMC和△EBD中，DM=EB∴△DMC≌△EBDSAS∴DE=DC；（2）解：如图所示，过点D作DN∥BC，由（1）的证明可得，△ADN是等边三角形，∵点D为AB中点，∴AD=BD=1∵AD=BE，∴BE=BD，∴△BDE是等腰三角形，则∠E=∠BDE，∵∠ABC=∠E+∠BDE=60°，∴∠E=∠BDE=30°，∴∠ADF=∠BDE=30°，在△ADF中，∠A=60°，∴∠AFD=180°−∠ADF−∠A=180°−30°−60°=90°，∴AD=2AF=BD=BE，∵∠ADN=60°,∠ADF=30°，∴∠FDN=30°，且∠DFN=90°，∴DN=2NF=AD，∴AF=FN，由（1）可得BD=CN，∴CN=2NF=2AF，∴CF=CN+NF=2AF+AF=3AF，∵CF+BE=10，∴3AF+2AF=10，解得，AF=2．【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角和的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．34．（24-25八年级上·江西南昌·期中）已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，求证：(1)△ABE≌△CAD；(2)BP=2PQ.【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，直角三角形30∘（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAE=∠C=60°，再利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等；（2）通过全等的性质得到∠ABE=∠CAD，证得∠BPQ=60°，再根据BQ⊥AD，得到∠PBQ=30°，进而得BP=2PQ.【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，在△ABE和△CAD中，AB=AC∠BAE=∠C∴△ABE≌△CADSAS（2）解：由（1）知：△ABE≌△CAD，∴∠ABE=∠CAD，∴∠BPQ=∠ABE+∠PAB=∠CAD+∠PAB=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=90°−∠BPQ=90°−60°=30°，∴BP=2PQ.35．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．(1)求证：AD=BE；(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请求出线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AE=BE+2CM，理由见解析【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等：（1）利用等边三角形的性质得出AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，进而证明△ACD≌△BCESAS（2）同（1）可证△ACD≌△BCESAS，推出AD=BE．再根据△DCE为等腰直角三角形，得出DM=ME=CM，即可得出AE=AD+DE=BE+2CM【详解】（1）证明：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE；（2）解：AE=BE+2CM，理由如下：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，∴CA=CB，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，即∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCESAS∴AD=BE．∵△DCE为等腰直角三角形，CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME=CM，∴DE=2CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．【题型9含30°角的直角三角形的性质】36．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若∠B=30°，BC=8cm，则CD的长为（

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】B【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键；根据直角三角形的性质可求AC=12BC=4cm，根据角度关系求出【详解】解：∵∠BAC=90°，∠B=30°，BC=8cm∴∠C=90°−∠B=60°，AC=1∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°−∠C=30°，∴CD=1∴CD的长为2cm故选：B．37．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=24，则BD的长为．【答案】6【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，在Rt△ABC中，根据含30度角的直角三角形的性质先求得BC=12，在Rt△BCD中，同理可得【详解】解：在Rt△ABC∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=24，∴BC=1在Rt△BCD∵∠B=90°−∠A=90°−30°=60°，∴∠BCD=90°−∠B=30°，∴BD=1故答案为：638．（24-25八年级上·上海·期末）如图，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠CBA，且交AC于点D，AC=1，那么AD的长是．【答案】2【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线定义以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．由直角三角形的性质和角平分线定义得∠CBD=∠ABD=30°=∠A，则BD=2CD，AD=BD=2CD，得AC=3CD，再求出CD=1【详解】解：∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠ABD=30°=∠A，∴BD=2CD，AD=BD=2CD，∴AC=3CD，∵AC=1，∴CD=1∴AD=AC−CD=1−故答案为：2339．（24-25八年级上·北京海淀·期中）如图，△ABC是等边三角形，AB=8，D是BC边上一点，DE⊥AC于点E．若EC=3，则DB的长为．【答案】2【分析】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，含30°的直角三角形的性质，掌握“直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”是解本题的关键．首先根据等边三角形的性质得到∠C=60°，AB=BC=8，求出∠EDC=30°可得CD=2CE=6，从而可得答案．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，AB=BC=8∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠EDC=90°−60°=30°∵CE=3∴CD=2CE=6∴BD=BC−DC=2．故答案为：2．【题型10将军饮马-最短路径问题】40．（24-25八年级上·北京·期中）如图，等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠CPE的度数是（

）A．22.5° B．30° C．45° D．60°【答案】D【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题．本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．【详解】解：如图，连接BE，与AD交于点P，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC=PB，∴PE+PC=PB+PE≥BE，即BE长就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE=60°，∵BA=BC，AE=EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠EBC=30°，∵PB=PC，∴∠PCB=∠PBC=30°，∴∠CPE=∠PCB+∠PBC=30°+30°=60°，故选：D．41．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14，AD平分∠BAC，点P、Q分别是AB，AD边上的动点，则PQ+BQ的最小值为（）

A．7 B．8 C．9 D．14【答案】A【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．作点P关于直线AD的对称点P'，连接QP'，由△AQP≌△AQP'，得PQ=QP'，欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP'的最小值，即当BP'⊥AC时，【详解】解：如图，作点P关于直线AD的对称点P'，连接QP'

在△AQP和△AQPAP=A∴△AQP≌△AQP∴PQ=QP∴欲求PQ+BQ的最小值，只要求出BQ+QP∴当BP'⊥AC时，BQ+QP'的值最小，此时Q与D重合，P在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=14∴BC=1∴PQ+BQ的最小值是7，故选：A．42．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB=7，AC=4，BC=5，则△APC周长的最小值是（

）A．12 B．11 C．9 D．7【答案】B【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点C关于直线m的对称点为点B，故当点P在AB上时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【详解】解：设直线m交AB于D，连接BP，如图所示：∵直线m是BC的垂直平分线，∴B、C关于直线m对称，∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，∵△APC周长=AP+PC+AC，且AP+CP的最小值等于AB，∴△APC周长的最小值是AB+AC=7+4=11，故选：B．43．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，等边三角形ABC的边长为8，A、B、A1三点在一条直线上，且△ABC≌△A1BC1．若D为线段A．10 B．12 C．16 D．18【答案】C【分析】本题考查全等三角形的性质、等边三角形的性质、轴对称的最短路径问题，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题，连接CA1交BC1于点E，点C、A1关于直线BC1对称，推出当点